1.2.3直线与平面的夹角（同步课件）数学人教B版选择性必修第一册

1.2.3 直线与平面的夹角 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第1章 空间向量 日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象。 例如，在握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度。 那么，怎样来刻画直线与平面所成的角呢？ 尝试与发现 如图，设l是平面的一条斜线，m是平面内的任意一条直线。能否将m与l所成的角定义为直线l与平面所成的角？如果不能，该怎样规定直线l与平面所成的角？ l m 平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角， 称为这条斜线与平面所成的角。 一、直线与平面的夹角 l A1 A B 若直线与平面垂直，则直线与平面所成角为90°； 若直线与平面平行，或直线在平面内，则直线与平面所成角为0°. 直线与平面所成角范围：[0°，90°] 尝试与发现 如图，设AO是平面的一条斜线，O是斜足， A1为A在平面内的射影，而OM是平面内 的一条射线，A1M⊥OM，记 ∠AOA1=θ1，∠A1OM=θ2，∠AOM=θ (1)从直观上判断θ1与θ的大小关系； (2)说明AM⊥OM是否成立，探究θ1，θ2，θ三者之间的等量关系。 M O A A1 θ1 θ2 θ 易知ΔAA1O，ΔAA1M，ΔA1OM，ΔAMO都是直角三角形. 设OA=1，则在RtΔAA1O中，OA1=OAcosθ1=cosθ1 在RtΔA1OM中，OM=OA1cosθ2=cosθ1cosθ2 在RtΔAMO中，OM=OAcosθ=cosθ 所以，cosθ=cosθ1cosθ2， 所以，cosθ≤cosθ1， 因为θ与θ1都是锐角，所以θ≥θ1 这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。 【典型例题一】 例1. 如图所示，已知∠BAC在平面内，过该角的顶点A引平面的斜线AP，且使∠PAB=∠PAC，求证：斜线AP在平面内的射影平分∠BAC. C A P M B 证明：设点P在平面内的射影为点M，则AM为AP在平面内的射影. 根据前面的结论有 复习回顾 如何用空间向量求两条直线的夹角？ 两条直线l1，l2夹角的范围： 两个向量夹角的范围： 探究与发现 如何用空间向量求直线与平面的夹角？ l l l l 探究与发现 如何用空间向量求直线与平面的夹角？ l l 二、用空间向量求直线与平面的夹角 若直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量分别为平面的法向量为，则 l l A B A B 【典型例题二】 例2. 已知ABCD-A1B1C1D1是正方体，求B1D1与平面A1BCD1所成角的大小. 解：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1) 所以，，， 设平面A1BCD1的一个法向量为n=(x,y,z)， 则取z=1，则n=(0,1,1) 因为cos<，n>=，所有<，n>=， 从而可知B1D1与平面A1BCD1所成角的大小为 例题小结 用空间向量求直线平面所成角的步骤和方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求直线的方向向量与平面法向量的夹角 ③直线平面所成的角的 正弦值 【典型例题二】 练习. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求直线CD与平面MCA1所成角的正弦值。 【典型例题二】 所以， 解：因为AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点, 所以M(3,2,0), C(0,4,0), A1(3,0,2)，D(0,0,0). 所以， 设n=(x,y,z)是平面MCA1的法向量， 取z =3, 则x=2, y=3，则n=(2,3,3) 所以cos<，n>= 设直线CD与平面MCA1所成角为θ，所以sinθ=|cos<，n>|= 当堂练习 1.判断 (1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角. (　　) (2)若直线与平面相交,则该直线与平面所成角的范围为(0°，90°). (　　) × × 当堂练习 2.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos<m，n>= ，则l与α所成的角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° A 当堂练习 3.如图，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求CS与平面ABCD所成的角的正弦值. 课堂小结 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 $$