1.2.2空间中的平面与空间向量（同步课件）数学人教B版选择性必修第一册

1.2.2 空间中的平面与空间向量 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第1章 空间向量 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大。如图,牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢?  我们已经知道，空间中的直线，根据它的方向向量和一个点，可以描述这条直线的位置。那么，对于空间中的平面，能否引进类似的向量来描述其位置？ 尝试与发现 根据共面向量基本定理，同一个平面内的所有向量都可以用两个不共线的向量来表示. 这两个不共线的向量也称作一组基底. 因此有同学提出，可以用基底来表示一个平面. 这种方法的缺点就是需要两个向量. 那么能不能类似于直线的方向向量，只用一个向量来表示平面呢？ 一、平面的法向量 如果是空间中的一个平面，n是空间中的一个 非零向量，且表示n的有向线段所在的直线 与平面垂直，则称n为平面的一个法向量。 此时，也称n与平面垂直，记作n⊥。 n l 一、平面的法向量 n l 法向量的性质： (1)如果直线l⊥平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量； (2)如果n是平面的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都平行； (3)如果n是平面的一个法向量，A为平面上一个点，则平面的位置可由n和A唯一确定。 尝试与发现 (1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，分别探讨n//v与n⊥v时，直线l与平面的关系； (2)如果n1是平面1的一个法向量，n2是平面2的一个法向量，分别探讨n1⊥n2与n1//n2时，平面1与平面2的关系. 尝试与发现1 n//v n v n v v是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量 l⊥ l l n⊥v l 尝试与发现2 n1⊥n2 n1 n2 n2 n1是平面1的一个法向量，n2是平面2的一个法向量 1⊥2 n1//n2 1 2 n1 1 2 【典型例题一】 例1. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B与A1C1的中点，求证：MN//平面ADD1A1. B C D A M B1 A1 D1 C1 证明：以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)， 因为M，N分别是A1B，A1C1的中点， 所以M(,0,)，N() 所以 又因为AB⊥平面ADD1A1， 所以是平面ADD1A1的一个法向量，且=(1,0,0) 所以可得，即， 由图可知，MN不在平面ADD1A1内，因此MN//平面ADD1A1 x y z N 【平面法向量的求法】 法一：观察法 在立体图形中直接观察与平面垂直的直线. B C D A B1 A1 D1 C1 法二：方程组法 在平面内任意选取两个不共线的向量a，b， 通过解方程组，求得与a,b都垂直的向量n，即为平面的法向量. 【典型例题二】 例2. 如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中，O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量。 解：由已知可得，， ， 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)， 则可解得， 令x=bc，则y=ac，z=ab， 因此n=(bc,ac,ab)为平面ABC的一个法向量. O A B C x y z 【典型例题二】 例2. 如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中，O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量。 解：由已知可得，， ， 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)， 则可解得， 令x=bc，则y=ac，z=ab， 因此n=(bc,ac,ab)为平面ABC的一个法向量. O A B C x y z 【典型例题二】 练习1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 (1)求直线CD的方向向量； (2)求平面BCC1B1的法向量； (3)求平面MCA1的法向量。 (1)解：由题意可知，D(0, 0, 0), C(0, 4, 0), 所以直线CD的方向向量是 【典型例题二】 练习1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 (1)求直线CD的方向向量； (2)求平面BCC1B1的法向量； (3)求平面MCA1的法向量。 (2)解：因为y轴垂直于平面BCC1B1， 所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. 【典型例题二】 (3)求平面MCA1的法向量。 所以，则 解：因为AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点, 所以M(3,2,0), C(0,4,0), A1(3,0,2). 所以 设n=(x,y,z)是平面MCA1的法向量， 则 取z =3, 则x=2, y=3. 尝试与发现 已知AB是平面内的一条斜线，且B为斜足，设A1是A在平面内的射影，而l是平面内的一条直线，判断下列命题是否成立，并用空间向量证明： (1)当l⊥A1B时，l⊥AB； (2)当l⊥AB时，l⊥A1B. A A1 B l (1)求证：当l⊥A1B时，l⊥AB； A A1 B l 证明：设//l 因为A1A⊥，且l，所以⊥ 即=0 因为l⊥A1B，所以⊥，即=0 因为 所以==0 所以⊥，即l⊥AB (2)求证：当l⊥AB时，l⊥A1B； A A1 B l 证明：设//l 因为A1A⊥，且l，所以⊥ 即=0 因为l⊥AB，所以⊥，即=0 因为 所以==0 所以⊥，即l⊥A1B 二、三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. A A1 B l 【典型例题三】 例3. 如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是一个正方体，求证：A1D⊥BD1. 证明：连接AD1， 因为ABCD-A1B1C1D1是正方体， 所以AB⊥平面ADD1A1， 所以BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1 又因为ADD1A1是正方形， 所以A1D⊥AD1， 因此根据三垂线定理可知，A1D⊥BD1 A B C D O A1 D1 C1 B1 【典型例题三】 例4. 如图所示的三棱锥O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为ΔCAB的AB边上的高，求证：OD⊥AB. 证明：因为CO⊥OA，CO⊥OB， OA∩OB=O，OA，OB平面OAB， 所以CO⊥平面OAB， 因此CD在平面OAB内的射影为OD， 又因为CD⊥AB， 所以根据三垂线定理的逆定理可知，OD⊥AB O A B C D 当堂练习 1.若A(-1,0,1)，B(1,4,7)两点都在直线上，则直线l的一个方向向量为( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) A 当堂练习 2.已知向量n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量，下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A.n1=(0,-3,1) B.n2=(2,0,1) C.n3=(-2,-3,1) D.n4=(-2,3,-1) D 当堂练习 3.若平面α，β的法向量分别为a=(2,-1,0)，b=(-1,-2,0)，则α与β的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 B 课堂小结 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 $$