第一章 第2节 整式-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

7　 　 第 2 节　整　式 代数式的相关概念 题目 1　 用代数式表示: (1) f 的11 倍再加上2 可以表示为 ; (2)一个数 a 的 18 与这个数的和可以表示为 ; (3)一个教室有 2 扇门和 4 扇窗户,n 个这样 的教室有 扇门和 扇窗户; (4)产量由m kg 增长15% 后,达到 kg. 1.代数式:用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方和 开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫 做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式. 2.列代数式 (1)关键是找出问题中的数量关系,如:路程 = 速度 ×时间,售价 =标价 ×折扣等; (2)要抓住一些关键词语,如:“大”“多”“增 长”“和”“共”常用“ + ”,“差” “下降” “少” “小”常用“ - ”,“倍”常用“ × ”等. 3.代数式求值 (1)直接代入法:把已知字母的值代入代数 式,并按原来的运算顺序计算求值; (2)整体代入法: ①观察已知条件和所求代数式的关系; ②将所求代数式变形成与已知代数式成倍数 关系,一般会用到提公因式法、平方差公式、 完全平方公式; ③把已知代数式看成一个整体,代入所求代 数式中求值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 整式的相关概念 题目 2　 填表: 2a2 - 1. 2h vt3 xy 2 系数 　 2　 　 - 1. 2　 　 　 　 　 　 1　 次数 　 2　 　 1　 　 2　 　 3　 1.单项式:表示数或字母的①　 积　 的式子叫做 单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式. (1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的 系数􀪍􀪍; (2)一个单项式中,所有字母指数的②　 和　 叫做这个单项式的次数􀪍􀪍. 2.多项式:几个单项式的③　 和　 叫做多项式. 其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母 的项叫做④　 常数项　 ,次数最高项的次数 叫做这个多项式的次数. 3.整式:单项式与多项式统称为整式. 4.同类项:所含字母⑤　 相同　 ,并且⑥　 相同　 字母的指数也相同的项叫做同类项(常数项 都是同类项);把多项式中的同类项合并成 一项,叫做合并同类项. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 整式的运算 题目 3　 计算下列各式: (1)2a2 + a2 = 　 3a2 　 ; (2)a·a2 = 　 a3 　 ; (3)a6 ÷ a2 = 　 a4 　 ; (4)(a2) 3 = 　 a6 　 ;　 (5)(a2b) 2 = 　 a4b2 　 ; (6)(a + b)(a - b) = 　 a2 - b2 　 ; (7)(3a - 2)(4a + 1) = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 8　 1.整式的加减法 (1)整式加减法的本质就是合并同类项. (2) 合并同类项法则􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍:字母及字母的指数 ⑦　 不变　 ,系数相加作为新的系数. (3)去括号法则:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍括号前是“ + ”时,去掉括号 后,括号内各项不变号,如 a + ( b + c) = a + ⑧　 b + c　 ;括号前是“ - ”时,去掉括号后, 括号内各项都变号,如a - (b + c) =⑨　 a - b - c　 . (4)整式加减法的运算法则:几个整式相加 减,如果有括号,要先去括号,然后再⑩　 合 并同类项　 . 2.幂的运算 同底数 幂相乘 底数不变,指数相加.即 am·an =􀃊􀁉􀁓　 am +n 　 (m,n 都是正整数) 同底数 幂相除 底数不变,指数相减.即 am ÷an =􀃊􀁉􀁔　 am -n 　 (a≠0,m,n 都是正整数,并且m >n) 幂的 乘方 底数不变,指数相乘. 即(am)n =􀃊􀁉􀁕　 amn 　 (m,n 都是正整数) 积的 乘方 各因式分别乘方的积. 即(ab) n = 􀃊􀁉􀁖　 an bn 　 (n 为正整数) 3.整式的乘法 单项式乘 单项式 把系数、同底数幂分别相乘,作为积的 因式,只在一个单项式里含有的字母,则 连同它的指数直接作为积的一个因式. 如 2ab·3a2 = (2 ×3)(a·a2)·b =6a3b 单项式乘 多项式 用单项式去乘多项式的每一项,再把 所得的积相加 . 如 m ( a + b + c) = 􀃊􀁉􀁗　 ma + mb + mc　 多项式乘 多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多 项式的每一项,再把所得的积相加. 如 (a + b)(m + n) =􀃊􀁉􀁘　 　 　 　 　 　 　 乘法公式 平方差公式:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 (a + b)(a - b) =􀃊􀁉􀁙　 a2 - b2 　 　 　 ; 完全平方公式:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 (a ± b) 2 =􀃊􀁉􀁚　 a2 ± 2ab + b2 　 　 　 　 4.整式的除法 单项式除 以单项式 把系数、同底数幂分别相除,作为商 的因式,对于只在被除式里含有的字 母,则连同它的指数作为商的一个因 式. 如 6a3 b ÷ 3a = (6 ÷ 3) × ( a3b ÷ a) = 2a2b 多项式除 以单项式 用多项式的每一项分别除以这个单 项式,再把所得的商相加. 如 ( a2 + 3a) ÷ a = a2 ÷ a + 3a ÷ a = a + 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 因式分解 题目 4　 (1)分解因式: ①x2 + x = 　 x(x + 1)　 ;　 ②m(a -3) +2(3 - a) = 　 (a -3)(m -2)　 ; ③x2y - 4y = 　 y(x + 2)(x - 2)　 ;　 ④x2 + 12x + 36 = 　 (x + 6) 2 　 . (2)利用几何图形可以得到一些相关的代 数关系式,请根据下图分解因式:2a2 + 5ab + 2b2 = . 1.定义:把一个多项式化成几个整式的􀃊􀁉􀁛　 积　 的形式,叫做把这个多项式因式分解. 2.基本方法 (1)提公因式法:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍ma + mb + mc = 􀃊􀁊􀁒　 m(a + b + c)　 . 公因式 的确定 系数:取各项系数的最大公约数 字母:取各项相同的字母 指数:取各项相同字母的最低次数 ì î í ï ï ïï (2)公式法 ①平方差公式:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍a 2 - b2 =􀃊􀁊􀁓　 (a + b)(a - b)　 , ②完全平方公式:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍a 2 ±2ab +b2 =􀃊􀁊􀁔　 (a ±b)2　 . (3)十字相乘法(选学内容) 对于形如 x2 + px + q 的式子,若 q = a·b 且 p = a + b,则 x2 + px + q 可分解为(x + a)(x + b). 3.因式分解的一般步骤 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9　 　 　命题点一 列代数式及代数式求值（2023年新考查） 1. (2023 河南)某校计划给每个年级配发 n 套 劳动工具,则 3 个年级共需配发 套 劳动工具. 2. (2023 长春)2023 长春马拉松于 5 月 21 日在 南岭体育场鸣枪开跑,某同学参加了 7. 5 公里 健康跑项目,他从起点开始以平均每分钟 x 公 里的速度跑了10 分钟,此时他离健康跑终点的 路程为 公里. (用含 x 的代数式表示) 3. (2023 内江)若 a,b 互为相反数,c 为 8 的立 方根,则 2a + 2b - c = . 　命题点二 整式的运算（10 年 7 考） 4. (2022 河南)下列运算正确的是 (　 D　 ) A. 2 3 - 3 = 2　 　 　 　 B. (a + 1) 2 = a2 + 1 C. (a2) 3 = a5 D. 2a2·a = 2a3 5. (2022 河南) 《孙子算经》中记载:“凡大数之 法,万万曰亿,万万亿曰兆. ”说明了大数之间 的关系:1 亿 =1 万 ×1 万,1 兆 =1 万 ×1 万 × 1 亿. 则 1 兆等于 (　 C　 ) A. 108 　 　 B. 1012 　 　 C. 1016 　 　 D. 1024 6. (2021 河南)下列运算正确的是 (　 C　 ) A. ( - a) 2 = - a2 B. 2a2 - a2 = 2 C. a2·a = a3 D. (a - 1) 2 = a2 - 1 7. (2020 河南)电子文件的大小常用 B,KB, MB,GB 等作为单位,其中 1 GB = 210 MB, 1 MB =210 KB,1 KB = 210 B. 某视频文件的大 小约为 1 GB,1 GB 等于 (　 A　 ) A. 230 B B. 830 B C. 8 × 1010 D. 2 × 1030 B 8. (2019 河南)下列计算正确的是 (　 D　 ) A. 2a + 3a = 6a B. ( - 3a) 2 = 6a2 C. (x - y) 2 = x2 - y2 D. 3 2 - 2 = 2 2 9. (2023 泰州)若 2a - b + 3 = 0,则 2(2a + b) - 4b 的值为 . 1. (2023 随州)设有边长分别为 a 和 b(a > b) 的 A 类和 B 类正方形纸片、长为 a 宽为 b 的 C 类矩形纸片若干张. 如图所示要拼一 个边长为 a + b 的正方形,需要 1 张 A 类纸 片、1 张 B 类纸片和 2 张 C 类纸片. 若要拼 一个长为 3a + b、宽为 2a + 2b 的矩形,则需 要 C 类纸片的张数为 (　 　 ) A. 6　 　 　 B. 7　 　 　 C. 8　 　 　 D. 9 2. (2023 深圳)已知实数 a,b,满足 a + b = 6, ab = 7,则 a2b + ab2 的值为 . 　命题点三 整式的化简求值（10 年 2 考） 10. (2023河南节选)化简:(x -2y)2 - x(x -4y). 11. (2023兰州)计算:(x +2y)(x -2y) -y(3 -4y). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P3 书 参 考 答 案 基础讲练册 !"#$ %&' ! １ " $% 以题代讲抓考点 考点一　实数的分类 题目１．（１）①④⑤⑥⑦　（２）②③⑧⑨⑩瑏瑡　（３）①④⑤ （４）①②③⑦⑧⑨⑩瑏瑡　（５）⑤⑥　（６）④ 考点链接 ①有理数　②无限不循环　③０ 教材拓展 有理数集合： ２２ ７，３．１４１５９２６５，－８，０．６，０，槡３６ 无理数集合：槡７， ３ 槡２， π ３ 考点二　实数的相关概念 题目２．（１）如图所示　（２）在　（３）右　＞　（４）如图所示 （５）如图所示　２　相等　互为相反数 考点链接 ④一一对应　⑤大　⑥＜　⑦＜　⑧符号　⑨－ａ　⑩相等　瑏瑡ａ　瑏瑢０ 瑏瑣－ａ　瑏瑤大　瑏瑥 １ａ　瑏瑦±１ 考点三　科学记数法 题目３．５．５×１０７　１×１０－８　－３．０１×１０－４　１×１０９ 考点链接 瑏瑧ａ×１０ｎ 考点四　算术平方根、平方根与立方根 题目４．（１）６　－０．９　±７３　－３　－４ （２）①√　②×　③×　④×　⑤× 考点链接 瑏瑨互为相反数　瑏瑩负数　瑐瑠负数 考点五　实数的大小比较 题目５．（１）＞　（２）＜　（３）＞　（４）＜　（５）＜　（６）ｂ　１，ｂ　－２，－１，ａ，０ 考点链接 瑐瑡小　瑐瑢大　瑐瑣＞　瑐瑤＜　瑐瑥＝　瑐瑦＞ 考点六　实数的运算 题目６．（１）１６　（２）－２７　（３）１　（４）４　（５）１　（６）槡３　（７）４　（８）０ 考点链接 瑐瑧相同　瑐瑨较大　瑐瑩０　瑑瑠相反数　瑑瑡正　瑑瑢负　瑑瑣倒数　瑑瑤乘方　瑑瑥加减　 瑑瑦从左到右　瑑瑧１　瑑瑨 １ ａｐ 考点七　二次根式及其运算 题目７．（１）解：①ｘ－３≥０，即ｘ≥３；②－ｘ≥０，即ｘ≤０； ③ｘ＋１≥０且ｘ－２≠０，即ｘ≥－１且ｘ≠２； ④ｘ－２≥０，即ｘ≥２． （２）Ｄ　（３） 槡４　３ ２　槡 ２ ２　（４）Ｃ 考点链接 瑑瑩≥０　瑒瑠最简二次根式　瑒瑡ａ　瑒瑢（ａ≥０）　瑒瑣（ａ＜０）　瑒瑤槡ａ·槡ｂ　瑒瑥ｂ＞０　 瑒瑦≥　瑒瑧≥　瑒瑨最简二次根式　瑒瑩相同　瑓瑠槡ａｂ　瑓瑡ａ≥０，ｂ＞０ 考点巩固练 槡３－７ 多向思维解真题 １．槡２（答案不唯一） ２．Ａ　３．Ａ　４．Ｃ　５．Ｃ　６．Ｂ　７．Ｃ　８．９　９．Ａ　１０．Ａ　１１．Ｃ　１２．３２ １３．解：原式＝３－３＋１５ ＝１５． １４．解：原式＝３－１＋１２ ＝５２． １５．解：原式＝１３－ １ ３＋１ ＝１． １６．解：原式 槡 槡＝３＋２＋１－３ ＝３． １７．Ｄ　１８．Ｃ　１９．ｘ≥９ 考法拓展 １．Ａ　２．Ｄ　３．Ａ　４．８（答案不唯一）　５．３ ! ２ ($ )' 以题代讲抓考点 考点一　代数式的相关概念 题目１．（１）１１ｆ＋２　（２）１８ａ＋ａ　（３）２ｎ　４ｎ　（４）（１＋１５％）ｍ 考点二　整式的相关概念 题目２．２　－１．２　 １３　１　２　１　２　３ 考点链接 ①积　②和　③和　④常数项　⑤相同　⑥相同 考点三　整式的运算 题目３．（１）３ａ２　（２）ａ３　（３）ａ４　（４）ａ６　（５）ａ４ｂ２　（６）ａ２－ｂ２　（７）１２ａ２－５ａ－２ 考点链接 ⑦不变　⑧ｂ＋ｃ　⑨ａ－ｂ－ｃ　⑩合并同类项　瑏瑡ａｍ＋ｎ　瑏瑢ａｍ－ｎ　瑏瑣ａｍｎ　瑏瑤ａｎｂｎ 瑏瑥ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ　瑏瑦ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ　瑏瑧ａ２－ｂ２　瑏瑨ａ２±２ａｂ＋ｂ２ 考点四　因式分解 题目４．（１）①ｘ（ｘ＋１）　②（ａ－３）（ｍ－２）　③ｙ（ｘ＋２）（ｘ－２）　④（ｘ＋６）２ （２）（２ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ） 考点链接 瑏瑩积　瑐瑠ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）　瑐瑡（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）　瑐瑢（ａ±ｂ）２ 多向思维解真题 １．３ｎ　２．（７．５－１０ｘ）　３．－２　４．Ｄ　５．Ｃ　６．Ｃ　７．Ａ　８．Ｄ　９．－６ １０．解：原式＝ｘ２－４ｘｙ＋４ｙ２－ｘ２＋４ｘｙ ＝４ｙ２． １１．解：原式＝ｘ２－４ｙ２－３ｙ＋４ｙ２ ＝ｘ２－３ｙ． 考法拓展 １．Ｃ　２．４２ ! ３ ($ *' 以题代讲抓考点 考点　分式及其运算 题目１．０ 题目２．解：（１）分式的基本性质　（２）最简分式或整式 （３）ｘ（ｘ－２） ｘ２ ÷（ｘ－２） ２ ｘ 　 １ ｘ－２　０，２　１　１　 １ １－２＝－１ （４）最后结果应化为最简分式或整式；若括号前是“－”号，去括号时注意把括 号内每一项都变号．（答案不唯一，合理即可） 考点链接 ①字母　②分式的分母不为０（Ｂ≠０）　③分式的分子为０且分母不为０（Ａ＝０ 且Ｂ≠０）　④没有公因式　⑤分式的分子和分母同乘（或除以）同一个不等于 ０的整式，分式的值不变　⑥ａ±ｂｃ　⑦ ｂｃ±ａｄ ａｃ 　⑧ ａｃ ｂｄ　⑨ ａｄ ｂｃ　⑩ ａｎ ｂｎ 　瑏瑡乘方　 瑏瑢乘除　瑏瑣 ａ－ｂ 多向思维解真题 １．ｘ≠１　２．ｘ≥－５且ｘ≠０　３．－１　４．Ｂ　５．Ｄ ６．解：原式＝（ｘ＋１）（ｘ－１）ｘ ÷ ｘ－１ ｘ ＝（ｘ＋１）（ｘ－１）ｘ · ｘ ｘ－１ ＝ｘ＋１． ７．解：原式＝ｘ－１ｘ· ｘ２ ２（ｘ－１） ＝ｘ２． ８．解：原式＝ａ＋１－１ａ＋１ ÷ ａ ａ２－１ ＝ ａａ＋１· （ａ＋１）（ａ－１） ａ ＝ａ－１． 当ａ＝　槡５＋１时，原式 槡＝５＋１－１＝ 　 槡５． ９．解：原式＝２（ｘ＋２ｙ） （ｘ＋２ｙ）２ ＝ ２ｘ＋２ｙ． 由ｘ＋２ｙ－１＝０，可得ｘ＋２ｙ＝１． 将ｘ＋２ｙ＝１代入，可得原式＝２． １０．解：Ｍ＝ａ． 由题意，可得 Ｍ ａ＋１＝ Ｍ·ａ ａ（ａ＋１）＝ ａ２ ａ（ａ＋１）， ∴Ｍ＝ａ． 原式＝ ａ ２ ａ（ａ＋１）－ １ ａ（ａ＋１） ＝ ａ ２－１ ａ（ａ＋１） ＝（ａ＋１）（ａ－１）ａ（ａ＋１                                                                                                                                         ） —１—