第一章 第1节 实数-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

初中数学必背公式 序号 知识点 必背公式 1 幂的运算 am·an = am + n(m,n 为整数)　 (am) n = amn(m,n 为整数) (ab) n = an·bn(n 为整数) am ÷ an = am - n(m,n 为整数,a≠0)　 ab( ) n = a n bn (n 为整数,b≠0) a0 = 1(a≠0)　 a - p = 1 ap (a≠0,p 为正整数) 2 整式的乘 法公式 平方差公式:(a + b)(a - b) = a2 - b2 完全平方公式:(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2,(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2 3 二次根式 的乘除 乘法: a· b = ab(a≥0,b≥0) 除法: a b = ab (a≥0,b > 0) 4 一元二次 方程 (1)一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)根的判别式:Δ = b2 - 4ac. ①当 Δ > 0 时,方程有两个不相等的实数根,为 x1 = - b + 　 b2 - 4ac 2a , x2 = - b - 　 b2 - 4ac 2a ; ②当 Δ = 0 时,方程有两个相等的实数根,为 x1 = x2 = - b 2a; ③当 Δ < 0 时,方程没有实数根. (2)一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)根与系数的关系: x1 + x2 = - b a ,x1x2 = c a . 5 二次函数 二次函数 y = a(x - h) 2 + k(a≠0)或 y = ax2 + bx + c(a≠0) . ①对称轴:直线 x = h 或直线 x = - b2a; ②顶点坐标:(h,k)或 - b2a, 4ac - b2 4a( ) . 6 锐角三角 函数 sin α = α 的对边 斜边 ,cos α = α 的邻边 斜边 ,tan α = α 的对边α 的邻边 7 与圆有关 的公式 圆周长 C = 2πR,圆面积 S = πR2,弧长 l = nπR180 ,扇形面积 S = nπR2 360 = 1 2 lR 8 平均数 算术平均数:x = x1 + x2 +… + xn n 加权平均数:x = x1 f1 + x2 f2 +… + xk fk n (这里 f1 + f2 + … + fk = n,f1,f2,…,fk 分 别叫做 x1,x2,…,xk 的权) 9 方差与标 准差 方差:s2 = 1n [(x1 - x) 2 + (x2 - x) 2 +… + (xn - x) 2] 标准差:s = 　 s2 1　 　 !"#$%& 第 1 节　实　数 实数的分类 题目 1　 请将下列各数分类,并将其对应的 序号填在横线上. ①1,② 2,③ 5,④0,⑤ -1,⑥ - 12 ,⑦0. 3 · , ⑧π,⑨sin 60°,⑩0. 010 010 001…(相邻两 个 1 之间依次多一个 0),􀃊􀁉􀁓tan 30°. (1)有理数: 　 ; (2)无理数: 　 ; (3)整数: 　 ; (4)正数: 　 ; (5)负数: 　 ; (6)既不是正数也不是负数: 　 . 1.按定义分类 实 数 ①　 有理数　 整数 正整数 零 }自然数 负整数 ì î í ï ï ïï 分数 正分数 负分数{ } 有限小数或无 限循环小数 ì î í ï ï ïï ï ï ï 无理数 正无理数 负无理数{ }②　 无限不循环小数 ì î í ï ï ï ï ïï 无理数的常见形式: (1)开方开不尽的数,如 2 , 3 , 5 等; (2)化简后含有根号的三角函数值,如 tan 30°, sin 45°等; (3)π 及化简后含 π 的数,如 π,π2 等; (4)有规律的无限不循环小数,如0.010 010 001… (相邻两个 1 之间依次多一个 0) . 2.按正负分类 实数 正数( > 0) ③　 0　 (既不是正数,也不是负数) 负数( < 0) ì î í ï ï ïï 【教材拓展】 (人教七下 P57 第2 题)把下列各数分别填在相 应的集合中: 22 7 ,3. 141 592 65, 7 , - 8, 32 ,0. 6,0, 36 ,π3 . 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 实数的相关概念 题目 2　 请依据如图所示的一条数轴,回答 下列问题: (1)请你在数轴上标出原点的位置并用字 母 O 表示; (2)表示实数 - 5的点　 在　 该数轴上(填 “在”或“不在”); (3)表示数 - 1 的点在表示数 - 2 的点的 　 右　 边,则 - 1 　 > 　 - 2; (4)已知点 A 表示的数为 - 3,请在数轴上 描出点 A,并描出表示数 - 3 的相反数所对 应的点 B; (5)在数轴上画出表示 - 2 的点,这样的 点有　 2　 个,到原点的距离　 相等　 ,它们 的关系是　 互为相反数　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 2　 1.数轴 三要素:原点、正方向、单位长度. 实数与数轴上的点④　 一一对应　 ;在数轴 上,右边的点表示的数比左边的点表示的数 ⑤　 大　 　 ,负数⑥　 < 　 0 ⑦　 < 　 正数. 2.相反数 定义:只有 ⑧　 符号 　 不同的两个数互为 相反数,实数 a 的相反数是⑨　 　 　 　 　 . 性质:(1)0 的相反数是 0; (2)若 a,b 互为相反数,则 a + b = 0; (3)在数轴上,互为相反数的两个数对应的 点到原点的距离⑩　 相等　 . 3.绝对值 定义:数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫 做数 a 的绝对值,记做 a . 性质: a = 􀃊􀁉􀁓　 a　 (a > 0), 􀃊􀁉􀁔　 0　 (a = 0), 􀃊􀁉􀁕　 - a　 (a < 0) . ì î í ï ï ïï 绝对值具有 非负性 几何意义:数轴上表示这个数的点到原点的 距离,离原点越远的点表示的数的绝对值越 􀃊􀁉􀁖　 　 　 　 . 4.倒数 定义:乘积是 1 的两个数互为倒数,非零实数 a 的倒数为􀃊􀁉􀁗　 　 　 　 . 性质:(1)0 没有倒数; (2)若 a,b 互为倒数,则 ab = 1; (3)倒数等于本身的数是􀃊􀁉􀁘　 ±1　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 科学记数法 题目 3　 请用科学记数法表示下列各数: 55 000 000 = 　 5. 5 × 107 　 ; 0. 000 000 01 = 　 1 × 10 -8 　 ; - 0. 000 301 = 　 - 3. 01 × 10 -4 　 ; 10 亿 = 　 1 × 109 　 . 1.定义:把一个数写成􀃊􀁉􀁙　 　 　 　 的形式(其 中1≤ a < 10,n 为整数),这种记数法称为 科学记数法. 2. n 值的确定: 当 原数 ≥10 时,n 为正整数,n 等于原数的 整数位数减 1(即把原数化为 a 时,小数点向 左移动的位数); 当 0≤ 原数 < 1 时,n 为负整数,n 的绝对值 为原数左起第一个非 0 数字前所有 0 的个数 (包括小数点前的0). 原数含有计数(计量)单位时,要先把计 数(计量)单位按进率进行转化,再用科学记 数法表示. 常考的单位有万、亿、纳米等,其中 1 万 = 104,1 亿 = 108,1 纳米 = 10 -9米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 算术平方根、平方根与立方根 题目 4　 (1)求下列各式的值: 36 = 　 6　 ; - 0. 81 = 　 - 0. 9　 ; ± 499 = 　 　 　 　 ; - 3 27 = 　 - 3　 ; 3 - 64 = 　 - 4　 . (2)判断下列说法是否正确: ① 0 的平方根是 0 (　 √　 ) ② 1 的平方根是 1 (　 × 　 ) ③ -1 的平方根是 - 1 (　 × 　 ) ④ 0. 01 是 0. 1 的一个平方根 (　 × 　 ) ⑤ ±4 是 64 的立方根 (　 × 　 ) a(a≥0) a(a < 0) 性质 平方根 ± a 无 正数有两个平方根,且 􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 ;0 的平方根 为 0;􀃊􀁉􀁛　 　 　 　 没有平 方根 算术平 方根 a 无 0 的算术平方根为 0;负 数没有算术平方根 立方根 3 a 3 a 正数的立方根是正数;0 的立方根是 0;负数的立 方根是􀃊􀁊􀁒　 　 　 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3　 　 (1)初中常见的非负数:实数的绝对值( a )、实 数的偶次方(a2 n)、实数的算术平方根( a). (2)非负数的性质:若 a + b2 + c = 0,则 a = b = c = 0. (3) a具有双重非负性:①被开方数 a 是非负 数,即 a≥0;② a是非负数,即 a≥0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 实数的大小比较 题目 5　 已知实数 - 2, - 1,0,1,a,b 在数轴 上对应的位置如图所示,请完成下列问题: (1)a + 1 　 > 　 0; (2) - 2 + b 　 < 　 0; (3)a + b 　 > 　 0; (4) a 　 < 　 b ; (5) 1b 　 < 　 1; (6)这6 个实数中,最大的数是　 b　 ,比 0 大 的数是　 1,b　 ,非正数是　 -2, -1,a,0　 . 1.类别比较法:负数 < 0 < 正数,两个负数比较 大小,绝对值大的反而􀃊􀁊􀁓　 小　 . 2.数轴比较法:将两个数表示在数轴上,右边的点 表示的数总比左边的点表示的数􀃊􀁊􀁔　 大　 . 3.作差比较法:设 a,b 是任意两个实数,则 a - b > 0⇔a 􀃊􀁊􀁕　 > 　 b;a - b < 0⇔a 􀃊􀁊􀁖　 < 　 b; a - b =0⇔a 􀃊􀁊􀁗　 = 　 b. 4.倒数比较法:若1a > 1 b ,ab > 0,则 a < b. 5.平方比较法: a > b⇔a 􀃊􀁊􀁘　 > 　 b(a > 0, b > 0) . (主要应用于二次根式的估值及无理 数的大小比较) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 实数的运算 题目 6　 计算下列各式: (1)24 = ; (2)( - 3) 3 = ; (3)( - 5) 0 = ; (4) 14( ) -1 = ; (5)( - 1) 2 024 = ; (6) 3 - 1 + 30 = 　 3 　 ;　 (7) 38 + - 6 - 22 = 　 4　 ;　 (8) 12 4 - (5 - π) 0 = 　 0　 . 1.四则运算法则 加法 同号两数相加,取􀃊􀁊􀁙　 相同　 的符号,并把 绝对值相加; 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值 􀃊􀁊􀁚　 较大　 的加数的符号,并用较大的绝 对值减去较小的绝对值;互为相反数的两 个数相加得􀃊􀁊􀁛　 0　 ; 一个数同 0 相加,仍得这个数 减法 减去一个数,等于加上这个数的􀃊􀁋􀁒　 相反数　 , 即 a - b = a + ( - b) 乘法 两数相乘,同号得􀃊􀁋􀁓　 正　 ,异号得􀃊􀁋􀁔　 负　 , 并把绝对值相乘;任何数与 0 相乘都得 0􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 除法 除以一个不等于 0 的数,等于乘这个数的 􀃊􀁋􀁕　 倒数　 ,即 a ÷ b = a·1b (b≠0) 混合 运算 先􀃊􀁋􀁖　 乘方 　 ,再乘除,后􀃊􀁋􀁗　 加减 　 ;有 括号时,先计算括号里面的;同级运算,按 照􀃊􀁋􀁘　 从左到右　 的顺序进行运算 2.常见的几种实数运算 乘方 an = a·a·…·aüþ ýï ï ï ï n个a (n 为正整数) 零次幂 a0 =􀃊􀁋􀁙　 1　 (a≠0) 负整数 指数幂 a - p =􀃊􀁋􀁚　 　 　 　 (a≠0,p 为正整数), 特别地,a - 1 = 1a (a≠0) -1 的奇 偶次幂 - 1 的奇数次幂为 - 1, - 1 的偶数次幂 为 1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 4　 二次根式及其运算 题目 7　 (1)请写出使下列各式有意义的 x 的取值范围. ① x - 3 ;② - x;③ x + 1x - 2 ;④ x - 2 3 . 解:①x - 1≥0,即 x≥1;② - x≥0,即 x≤0; ③x + 1≥0 且 x - 2≠0,即 x≥ -1 且 x≠2; ④x - 2≥0,即 x≥2. (2)下列各组二次根式中,化简后是同类二 次根式的是 (　 D　 ) A. 8与 3 　 　 　 　 　 B. 5与 15 C. 2与 12 D. 27与 75 (3)计算下列各式: ① 8 = 　 4　 × 2 = 2 2 ; ② 3 ×6 = 　 3 2 　 ; ③ 12 = . (4)估计 17的值在 (　 D　 ) A. 2 和 3 之间 B. 3 和 4 之间 C. 4 和 5 之间 D. 5 和 6 之间 1.二次根式的相关概念 二次根式 形如 a (a 􀃊􀁋􀁛　 ≥0　 )的式子叫做 二次根式 最简二次 根式 同时满足下列两个条件的二次根式 叫做最简二次根式: (1)被开方数中不含能开得尽方的 因数或因式; (2)被开方数不含分母 同类二次 根式 几个二次根式化成􀃊􀁌􀁒　 最简二次根　 后,如果被开方数相同,那么这几个 二次根式就叫做同类二次根式 2.二次根式的性质 (1)( a) 2 =􀃊􀁌􀁓　 a　 (a≥0) . (2) a2 = a = a 􀃊􀁌􀁔　 (a≥0)　 , - a 􀃊􀁌􀁕　 (a < 0)　 .{ (3) ab =􀃊􀁌􀁖　 a· b 　 (a≥0,b≥0) . (4) ab = a b (a≥0,􀃊􀁌􀁗　 b > 0　 ) . (5)二次根式的双重非负性:a 􀃊􀁌􀁘　 ≥　 　 　 0, a􀃊􀁌􀁙　 ≥　 　 0. 3.二次根式的运算 (1)加减:一般地,二次根式加减时,可以先将各 二次根式分别化成􀃊􀁌􀁚　 最简二次根式　 ,再将 被开方数􀃊􀁌􀁛　 相同　 的二次根式进行合并. (2)乘法: a· b = 􀃊􀁍􀁒　 ab 　 (a≥0,b≥0). (3)除法: a b = ab (􀃊􀁍􀁓　 a≥0,b > 0　 ) . 4.二次根式的估值 第一步作平方:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍对需估值的二次根式作平方 运算,如( 6 ) 2 = 6; 第二步找两数:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍找出与第一步中所得数相邻 的两个能开得尽方的数,如 4 < 6 < 9; 第三步定范围:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍第二步中两数开方确定的范 围,即是估值所在的范围,如 2 < 6 < 3. 【考点巩固练】 (2023 兰州)如图,将面积为 7 的正方形 OABC 和面积为 9 的正方形 ODEF 分别绕原点 O 顺时 针旋转,使 OA,OD 落在数轴上,点 A,D 在数轴 上对应的数字分别为 a,b,则 b - a = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5　 　 　命题点一 实数的分类（2020 年考查） 1. (2020 河南)请写出一个大于 1 且小于 2 的 无理数　 2 (答案不唯一)　 . 1. (2023 凉山州)下列各数中,为有理数的是 (　 　 ) A. 38 　 　 　 　 　 　 　 B. 3. 232 232 223… C. π3 D. 2 　命题点二 实数的相关概念（10 年 6 考） 2. (2022 河南) - 12 的相反数是 (　 A　 ) A. 12 　 　 B. 2　 　 C. - 2　 　 D. - 1 2 2. (2023 恩施)如图,数轴上点 A 所表示的数 的相反数是 (　 　 ) A. 9　 　 B. - 19 　 　 C. 1 9 　 　 D. - 9 3. (2021 河南) - 2 的绝对值是 (　 A　 ) A. 2　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. - 2 C. 12 D. - 1 2 4. (2023 荷泽)实数 a,b,c 在数轴上对应点的 位置如图所示,下列式子正确的是 (　 B　 ) A. c(b - a) < 0 B. b(c - a) < 0 C. a(b - c) > 0 D. a(c + b) > 0 　命题点三 科学记数法（10 年 8 考） 5. (2023 河南)2022 年河南省出版的 4. 59 亿册 图书,为贯彻落实党的二十大关于深化全民 阅读活动的重要精神,建设学习型社会提供 了丰富的图书资源. 数据“4. 59 亿”用科学记 数法表示为 (　 B　 ) A. 4. 59 × 107 B. 45. 9 × 108 C. 4. 59 × 108 D. 0. 459 × 109 6. (2021 河南)河南人民济困最“给力”! 据报 道,2020 年河南人民在济困方面捐款达到 2. 94亿元. 数据“2. 94 亿”用科学记数法表示 为 (　 B　 ) A. 2. 94 × 107 B. 2. 94 × 108 C. 0. 294 × 108 D. 0. 294 × 109 7. (2019 河南)成人每天维生素 D 的摄入量约 为 0. 000 004 6 克. 数据“0. 000 004 6”用科学 记数法表示为 (　 C　 ) A. 46 × 10 -7 B. 4. 6 × 10 -7 C. 4. 6 × 10 -6 D. 0. 46 × 10 -5 8. (2023 武汉)新时代十年来,我国建成世界上 规模最大的社会保障体系. 其中基本医疗保 险的参保人数由 5. 4 亿增加到 13. 6 亿,参保 率稳定在95%.将数据 13. 6 亿用科学记数法表 示为 1. 36 × 10n 的形式,则 n 的值是 (备注:1 亿 = 100 000 000) . 　命题点四 实数的大小比较（10 年 4 考） 9. (2023 河南)下列各数中,最小的数是 (　 　 ) A. - 1　 　 　 B. 0　 　 　 C. 1　 　 　 D. 3 10. (2023 宁波)在 - 2, - 1,0,π 这四个数中, 最小的数是 (　 A　 ) A. - 2 B. - 1 C. 0 D. π 11. (2023 扬州)已知 a = 5 ,b = 2,c = 3 ,则 a, b,c 的大小关系是 (　 　 ) A. b > a > c B. a > c > b C. a > b > c D. b > c > a 3. (2023 临沂)在实数 a,b,c 中,若 a + b = 0, b - c > c - a > 0,则下列结论:① a > b , ②a > 0,③b < 0,④c < 0,正确的个数有 (　 　 ) A. 1 个　 　 　 　 　 　 　 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 6　 　命题点五 实数的运算（10 年 9 考） 12. (2019 河南)计算: 4 - 2 - 1 = 　 　 　 　 . 13. (2023 河南节选)计算: - 3 - 9 + 5 -1 . 14. (2022 河南节选)计算:3 27 - 13( ) 0 + 2 -1 . 15. (2021 河南节选)计算: 3 - 1 - 19 + (3 - 3 ) 0 . 16. (2023 济南)计算: - 3 + 1 2( ) -1 + (π + 1) 0 - tan 60°. 　命题点六 二次根式及其运算(未单独考查) 17. (2023 衡阳)对于二次根式的乘法运算,一 般地,有 a· b = ab . 该运算法则成立的 条件是 (　 　 ) A. a > 0,b > 0 B. a < 0,b < 0 C. a≤0,b≤0 D. a≥0,b≥0 18. (2023 烟台)下列二次根式中,与 2是同类 二次根式的是 (　 　 ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 19. (2023 怀化)要使代数式 x - 9 有意义,则 x 的取值范围是 . 4. (2023 黄冈)请写出一个正整数 m 的值使 得 8m是整数,m = . 5. (2023 包头)若 a,b 为两个连续整数,且 a < 3 < b,则 a + b = . 　解题讲方法 不要忽略二次根式中的隐含条件 在二 次 根 式 的 运 算 中, 要 注 意 　 a2 和 ( 　 a) 2 的区别: (1)a 的取值范围不同: a2 中 a 为任意实数, ( a) 2 中 a≥0; (2)计算结果不同: a2 = a ,( a) 2 = a. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P1 书 参 考 答 案 基础讲练册 !"#$ %&' ! １ " $% 以题代讲抓考点 考点一　实数的分类 题目１．（１）①④⑤⑥⑦　（２）②③⑧⑨⑩瑏瑡　（３）①④⑤ （４）①②③⑦⑧⑨⑩瑏瑡　（５）⑤⑥　（６）④ 考点链接 ①有理数　②无限不循环　③０ 教材拓展 有理数集合： ２２ ７，３．１４１５９２６５，－８，０．６，０，槡３６ 无理数集合：槡７， ３ 槡２， π ３ 考点二　实数的相关概念 题目２．（１）如图所示　（２）在　（３）右　＞　（４）如图所示 （５）如图所示　２　相等　互为相反数 考点链接 ④一一对应　⑤大　⑥＜　⑦＜　⑧符号　⑨－ａ　⑩相等　瑏瑡ａ　瑏瑢０ 瑏瑣－ａ　瑏瑤大　瑏瑥 １ａ　瑏瑦±１ 考点三　科学记数法 题目３．５．５×１０７　１×１０－８　－３．０１×１０－４　１×１０９ 考点链接 瑏瑧ａ×１０ｎ 考点四　算术平方根、平方根与立方根 题目４．（１）６　－０．９　±７３　－３　－４ （２）①√　②×　③×　④×　⑤× 考点链接 瑏瑨互为相反数　瑏瑩负数　瑐瑠负数 考点五　实数的大小比较 题目５．（１）＞　（２）＜　（３）＞　（４）＜　（５）＜　（６）ｂ　１，ｂ　－２，－１，ａ，０ 考点链接 瑐瑡小　瑐瑢大　瑐瑣＞　瑐瑤＜　瑐瑥＝　瑐瑦＞ 考点六　实数的运算 题目６．（１）１６　（２）－２７　（３）１　（４）４　（５）１　（６）槡３　（７）４　（８）０ 考点链接 瑐瑧相同　瑐瑨较大　瑐瑩０　瑑瑠相反数　瑑瑡正　瑑瑢负　瑑瑣倒数　瑑瑤乘方　瑑瑥加减　 瑑瑦从左到右　瑑瑧１　瑑瑨 １ ａｐ 考点七　二次根式及其运算 题目７．（１）解：①ｘ－３≥０，即ｘ≥３；②－ｘ≥０，即ｘ≤０； ③ｘ＋１≥０且ｘ－２≠０，即ｘ≥－１且ｘ≠２； ④ｘ－２≥０，即ｘ≥２． （２）Ｄ　（３） 槡４　３ ２　槡 ２ ２　（４）Ｃ 考点链接 瑑瑩≥０　瑒瑠最简二次根式　瑒瑡ａ　瑒瑢（ａ≥０）　瑒瑣（ａ＜０）　瑒瑤槡ａ·槡ｂ　瑒瑥ｂ＞０　 瑒瑦≥　瑒瑧≥　瑒瑨最简二次根式　瑒瑩相同　瑓瑠槡ａｂ　瑓瑡ａ≥０，ｂ＞０ 考点巩固练 槡３－７ 多向思维解真题 １．槡２（答案不唯一） ２．Ａ　３．Ａ　４．Ｃ　５．Ｃ　６．Ｂ　７．Ｃ　８．９　９．Ａ　１０．Ａ　１１．Ｃ　１２．３２ １３．解：原式＝３－３＋１５ ＝１５． １４．解：原式＝３－１＋１２ ＝５２． １５．解：原式＝１３－ １ ３＋１ ＝１． １６．解：原式 槡 槡＝３＋２＋１－３ ＝３． １７．Ｄ　１８．Ｃ　１９．ｘ≥９ 考法拓展 １．Ａ　２．Ｄ　３．Ａ　４．８（答案不唯一）　５．３ ! ２ ($ )' 以题代讲抓考点 考点一　代数式的相关概念 题目１．（１）１１ｆ＋２　（２）１８ａ＋ａ　（３）２ｎ　４ｎ　（４）（１＋１５％）ｍ 考点二　整式的相关概念 题目２．２　－１．２　 １３　１　２　１　２　３ 考点链接 ①积　②和　③和　④常数项　⑤相同　⑥相同 考点三　整式的运算 题目３．（１）３ａ２　（２）ａ３　（３）ａ４　（４）ａ６　（５）ａ４ｂ２　（６）ａ２－ｂ２　（７）１２ａ２－５ａ－２ 考点链接 ⑦不变　⑧ｂ＋ｃ　⑨ａ－ｂ－ｃ　⑩合并同类项　瑏瑡ａｍ＋ｎ　瑏瑢ａｍ－ｎ　瑏瑣ａｍｎ　瑏瑤ａｎｂｎ 瑏瑥ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ　瑏瑦ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ　瑏瑧ａ２－ｂ２　瑏瑨ａ２±２ａｂ＋ｂ２ 考点四　因式分解 题目４．（１）①ｘ（ｘ＋１）　②（ａ－３）（ｍ－２）　③ｙ（ｘ＋２）（ｘ－２）　④（ｘ＋６）２ （２）（２ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ） 考点链接 瑏瑩积　瑐瑠ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）　瑐瑡（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）　瑐瑢（ａ±ｂ）２ 多向思维解真题 １．３ｎ　２．（７．５－１０ｘ）　３．－２　４．Ｄ　５．Ｃ　６．Ｃ　７．Ａ　８．Ｄ　９．－６ １０．解：原式＝ｘ２－４ｘｙ＋４ｙ２－ｘ２＋４ｘｙ ＝４ｙ２． １１．解：原式＝ｘ２－４ｙ２－３ｙ＋４ｙ２ ＝ｘ２－３ｙ． 考法拓展 １．Ｃ　２．４２ ! ３ ($ *' 以题代讲抓考点 考点　分式及其运算 题目１．０ 题目２．解：（１）分式的基本性质　（２）最简分式或整式 （３）ｘ（ｘ－２） ｘ２ ÷（ｘ－２） ２ ｘ 　 １ ｘ－２　０，２　１　１　 １ １－２＝－１ （４）最后结果应化为最简分式或整式；若括号前是“－”号，去括号时注意把括 号内每一项都变号．（答案不唯一，合理即可） 考点链接 ①字母　②分式的分母不为０（Ｂ≠０）　③分式的分子为０且分母不为０（Ａ＝０ 且Ｂ≠０）　④没有公因式　⑤分式的分子和分母同乘（或除以）同一个不等于 ０的整式，分式的值不变　⑥ａ±ｂｃ　⑦ ｂｃ±ａｄ ａｃ 　⑧ ａｃ ｂｄ　⑨ ａｄ ｂｃ　⑩ ａｎ ｂｎ 　瑏瑡乘方　 瑏瑢乘除　瑏瑣 ａ－ｂ 多向思维解真题 １．ｘ≠１　２．ｘ≥－５且ｘ≠０　３．－１　４．Ｂ　５．Ｄ ６．解：原式＝（ｘ＋１）（ｘ－１）ｘ ÷ ｘ－１ ｘ ＝（ｘ＋１）（ｘ－１）ｘ · ｘ ｘ－１ ＝ｘ＋１． ７．解：原式＝ｘ－１ｘ· ｘ２ ２（ｘ－１） ＝ｘ２． ８．解：原式＝ａ＋１－１ａ＋１ ÷ ａ ａ２－１ ＝ ａａ＋１· （ａ＋１）（ａ－１） ａ ＝ａ－１． 当ａ＝　槡５＋１时，原式 槡＝５＋１－１＝ 　 槡５． ９．解：原式＝２（ｘ＋２ｙ） （ｘ＋２ｙ）２ ＝ ２ｘ＋２ｙ． 由ｘ＋２ｙ－１＝０，可得ｘ＋２ｙ＝１． 将ｘ＋２ｙ＝１代入，可得原式＝２． １０．解：Ｍ＝ａ． 由题意，可得 Ｍ ａ＋１＝ Ｍ·ａ ａ（ａ＋１）＝ ａ２ ａ（ａ＋１）， ∴Ｍ＝ａ． 原式＝ ａ ２ ａ（ａ＋１）－ １ ａ（ａ＋１） ＝ ａ ２－１ ａ（ａ＋１） ＝（ａ＋１）（ａ－１）ａ（ａ＋１                                                                                                                                         ） —１—