第四章 微专题三 利用两点之间线段最短求最值-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

　 　 52　 微专题三　利用两点之间线段最短求最值 模型一　 两定一动 (1)异侧线段和最小值问题 如图 1,在直线 l 两侧各有一个定点 A,B,在直 线 l 上求一点 P,使 PA + PB 的值最小. 作法:如图 2,连接 AB,与直线 l 的交点即为 点 P. 图 1 　 图 2 (2)异侧线段差最大值问题 如图 1,在直线 l 两侧各有一个定点 A,B,在直 线 l 上求一点 P,使 PA - PB 的值最大. 作法:如图 2,作点 B 关于直线 l 的对称点 B′, 连接 AB′并延长,与直线 l 的交点即为点 P. 图 1 　 图 2 (3)同侧线段和最小值问题 如图 1,在直线 l 同侧有两个定点 A,B,在直线 l 上求一点 P,使 PA + PB 的值最小. 作法:如图 2,作点 B 关于直线 l 的对称点 B′, 连接 AB′,与直线 l 的交点即为点 P. 图 1 　 图 2 (4)同侧线段差最大值问题 如图 1,在直线 l 同侧有两个定点 A,B,在直线 l 上求一点 P,使 PA - PB 的值最大. 作法:如图 2,连接 AB 并延长,与直线 l 的交点 即为点 P. 图 1 　 图 2 例 1　 如图,等边三角形 ABC 的边长为 4,AD 是 BC 边上的中线,F 是线段 AD 上的动点,E 是􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 AB 边上一点􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,且 AE = 2,求线段 EF + CF 的最 小值. 解:根据两点之间线段 最短,可知当 E,F,C 三 点共线时,EF + CF 的值 最小, 且最小值为 CE 的长. 如图,连接 CE 交 AD 于点 F. ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB = BC = 4. ∴ EF + CF 的最小值为 2 　 3 . 1. 如图,在菱形 ABCD 中,BC = 2,∠C = 120°, 点 Q为 AB 的中点,点 P 为对角线 BD 上的任 意一点,则 AP + PQ 的最小值为　 3 　 . 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4,面 积是 12,腰 AB 的垂直平分线 EF 分别交 AB, AC 于点 E,F. 若点 D 为底边 BC 的中点,点 M 为线段 EF 上一动点,则△BDM 的周长的 最小值为　 8　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 53　 　 3. 如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,AC = BC = 4,∠BCD = 15°,P 为 CD 上的动点,则 PA - PB 的最大值为　 4　 . 模型二　 一定两动 (1)定点在角的外侧 如图 1,定点 P 在∠AOB 的外侧,在 OA,OB 上 分别求点 M,N,使 PM +MN 的值最小. 作法:如图 2,过点 P 作 PN⊥OB 于点 N,交 OA 于点 M,点 M,N 即为所求. 图 1 　 　 　 　 图 2 (2)定点在角的边上 如图 1,定点 P 在 OA 上,在 OA,OB 上分别求点 M,N,使 PN +MN 的值最小. 作法:如图 2,作点 P 关于 OB 的对称点 P′,过 点 P′作 P′M⊥OA 于点 M,交 OB 于点 N,点 M, N 即为所求. 图 1 　 　 　 　 图 2 (3)定点在角的内部 如图 1,定点 P 在∠AOB 的内部,在 OA,OB 上 分别求点 M,N,使 PN +MN 的值最小. 作法:如图 2,作点 P 关于 OB 的对称点 P′,过 点 P′作 P′M⊥OA 于点 M,交 OB 于点 N,点 M, N 即为所求. 图 1 　 　 　 　 图 2 例 2　 如图,在四边形 ABCD 中,∠A =60°,∠B = ∠D = 90°,AB = AD = 3 ,点 M,N 分别是 AB,AD􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 上的动点􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,求△CMN 周长的最小值. 解:如图,连接 BD,作 点 C 关于 AB,AD 的对 称点 E, F,连接 EM, FN,则 CM = EM, CN = FN. ∴ △CMN 周长的最小值为 2 3 . 4. 如图,在四边形 ABCD 中,∠BAD = 120°,∠B = ∠D = 90°,AB = 1,AD = 2,点 M,N 分别为边 BC,CD 上一点,连接 AM,AN,MN,则△AMN 周长的最小值为　 2 7 　 . 模型三　 两定两动 (1)周长最小值问题 如图 1,在直线 l1和直线 l2上分别求点 M,N,使 四边形 PQMN 的周长最小. 作法:如图 2,分别作点 P,Q 关于两直线的对称 点 P′和 Q′,连接P′Q′,与直线 l1交于点 M,与直 线 l2交于点 N,连接 QM,PN,此时四边形 PQMN 的周长最小为PQ + P′Q′. 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 图 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 54　 (2)造桥选址问题 如图 1,直线 m∥n,在直线 m 上选取点 M,直线 n 上取点 N,使 MN⊥m,且使 AM + MN + NB 的 值最小. 作法:如图 2,将点 A 向下平移至点 A′,使 AA′ = MN,连接 A′B,交直线 n 于点 N,作NM⊥m 于点 M,此时最小值为 A′B +MN. 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 图 2 (3)线段和最小值问题 如图 1,在直线 l 上求点 M,N(M 在左侧)且 MN = a,并使 AM +MN + NB 的值最小. 作法:如图 2,将点 A 向右平移至点 A′,使 AA′ = MN,作 A′关于直线 l 的对称点 A″,连接 A″B 与 直线 l 交于点 N,将点 N 向左平移 a 个单位长 度,得到点 M,此时最小值为 A″B +MN. 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 图 2 (4)造桥选址问题的变形 如图 1,A 为直线 l1上一定点,B 为直线 l2上一定 点,在直线 l1和直线 l2上分别求点 N,M,使 AM + MN +NB 的值最小. 作法:如图 2,过点 A 作关于直线 l2的对称点 A′, 过点 B 作关于直线 l1的对称点 B′,连接 A′B′,与 直线 l2交于点M,与直线 l1交于点N,此时最小值 为线段 A′B′的长. 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 图 2 例 3 　 如图,四边形 ABCD 是平行四边形, AB = 4,BC = 12,∠ABC = 60°,点 E,F 是 AD 边􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 上的动点,且 EF = 2􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,求四边形 BEFC 周长的最 小值. 解: ∵ AB = 4, BB′ = 2, ∠ABC = 60°, ∴ B′B″经过点 A. ∴ AB′ = 2 3 . ∴ B′B″ = 4 3 . ∵ BC = 12,∴ B′C = 10. ∴ B″C = B′B″2 + B′C2 = 2 37 . ∴ B″C + EF + BC = 14 + 2 37 . ∴ 四边形 BEFC 周长的最小值为 14 + 2 37 . 5. 如图,已知直线 l1∥l2,l1,l2之间的距离为 8, 点 P 到直线 l1的距离为6,点 Q 到直线 l2的距 离为 4,PQ = 4 　 30 ,在直线 l1上有一动点 A, 直线 l2上有一动点 B,满足 AB⊥l2,且PA +AB + BQ 最小,此时 PA + BQ = 　 16　 . 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,四边形 OABC 为矩形,OA = 6,OC = 4,D 为 OC 的中点,点 E,F 在线段 OA 上,点 E 在 点 F 的左侧,EF = 2. 当四边形 BDEF 的周长 最小时,点 E 的坐标是 (　 B　 ) A. 12 ,0( ) 　 　 　 　 　 　 B. 4 3 ,0( ) C. 32 ,0( ) D. (2,0) 7. 如图,∠AOB =30°,点 M,N 分别在射线 OA,OB 上,且 OM =1,ON =3,点 P,Q 分别在射线 OB, OA上,则MP +PQ +QN的最小值是　 10 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 （２）如图，直线ｍ即为所求． （３）证明：∵ＡＣ平分∠ＯＡＢ， ∴∠ＯＡＣ＝∠ＢＡＣ． ∵直线ｍ垂直平分线段ＡＣ， ∴ＤＡ＝ＤＣ．∴∠ＯＡＣ＝∠ＤＣＡ． ∴∠ＤＣＡ＝∠ＢＡＣ．∴ＣＤ∥ＡＢ． ! ５ "#-'M% 以题代讲抓考点 考点一　二次函数的图象与性质 题目１．（１）直线ｘ＝３ （２）①直线ｘ＝－２　②大　增大　③１３　④－５或１　－５＜ｘ＜１ ⑤ｙ２＞ｙ１＞ｙ３　⑥ｍ＜－５或ｍ＞１ 考点链接 ①一次项系数　②－ｂ２ａ　③ ４ａｃ－ｂ２ ４ａ 　④减小　⑤增大　⑥增大　⑦减小 ⑧＝　⑨原点　⑩两个 考点二　二次函数解析式的确定 题目２．（１）ｙ＝（ｘ＋３）（ｘ－２）　（２）ｙ＝－（ｘ＋１）（ｘ－４） （３）ｙ＝ｘ２－２ｘ－２　ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１　（４）ｙ＝－１２ｘ ２＋３２ｘ＋４ 考点链接 瑏瑡右　瑏瑢下 考点三　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 题目３．（１）－２或４　（２）－２＜ｘ＜４ 考点链接 瑏瑣两个不相等　瑏瑤两个相等　瑏瑥没有　瑏瑦上方　瑏瑧下方 多向思维解真题 １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．Ｂ　５．－１＜ｎ＜０　６．ｙ＝－ｘ２＋１（答案不唯一）　７．Ｂ ８．解：（１）在一次函数ｙ＝－０．４ｘ＋２．８中， 令ｘ＝０，则ｙ＝２．８，∴Ｐ（０，２．８）． 将Ｐ（０，２．８）代入ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋３．２中， 可得ａ＋３．２＝２．８，解得ａ＝－０．４． （２）∵ＯＡ＝３ｍ，ＣＡ＝２ｍ， ∴ＯＣ＝５ｍ． 若选择扣球，令ｙ＝０，则－０．４ｘ＋２．８＝０，解得ｘ＝７， 即落地点距离点Ｏ为７ｍ， ∴落地点到Ｃ点的距离为７－５＝２（ｍ）； 若选择吊球，令ｙ＝０，则－０．４（ｘ－１）２＋３．２＝０，解得ｘ 槡＝±２２＋１（负值舍去）， 即落地点距离点Ｏ为（槡２２＋１）ｍ， ∴落地点到Ｃ点的距离为５－（槡２２＋１）＝（ 槡４－２２）ｍ． 槡∵４－２２＜２， ∴选择吊球，可以使球的落地点到Ｃ点的距离更近． ９．解：（１）由题意，可知抛物线的顶点为（５，３．２）． 设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－５）２＋３．２， 将（０，０．７）代入，得０．７＝２５ａ＋３．２， 解得ａ＝－１１０． ∴抛物线的表达式为 ｙ＝－１１０（ｘ－５） ２＋３．２＝－１１０ｘ ２＋ｘ＋７１０． （２）当ｙ＝１．６时，－１１０ｘ ２＋ｘ＋７１０＝１．６， 解得ｘ＝１或ｘ＝９． ∴她与爸爸的水平距离为 ３－１＝２（ｍ）或 ９－３＝６（ｍ）． 答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是２ｍ或６ｍ． １０．解：（１）４００． （２）由题意，得 Ｗ＝ｐ（ｘ－４０）＝ ５００－１０（ｘ－５０[ ]）（ｘ－４０）＝－１０ｘ２＋ １４００ｘ－４００００＝－１０（ｘ－７０）２＋９０００． ∵－１０＜０， ∴在对称轴左侧，Ｗ随ｘ的增大而增大． 又∵ｐ≥３５０， ∴５００－１０（ｘ－５０）≥３５０，解得ｘ≤６５． ∴当ｘ＝６５时，Ｗ最大，最大值为８７５０． ∴当每盒售价定为６５元时，日销售利润Ｗ（元）最大，最大利润是８７５０元． （３）他们的说法都正确．理由如下： 设日销售额为ｙ元，则ｙ＝ ５００－１０（ｘ－５０[ ]）ｘ＝－１０ｘ２＋１０００ｘ＝－１０（ｘ－ ５０）２＋２５０００． ∵－１０＜０，∴当ｘ＝５０时，ｙ最大，最大值为２５０００． ∴当日销售利润最大时，日销售额不是最大． ∴小强的说法正确． 当Ｗ＝８０００时，８０００＝－１０（ｘ－７０）２＋９０００，解得ｘ１＝６０，ｘ２＝８０． ∵抛物线开口向下， ∴当６０≤ｘ≤８０时，８０００≤Ｗ≤９０００． ∴当日销售利润不低于８０００元时，每盒售价ｘ的范围是６０≤ｘ≤８０． ∴小红的说法正确． 考法拓展 １．Ｃ　２．Ｃ　３．１９ !J#$ 3;K ! １ " VWNI]^ 以题代讲抓考点 考点一　线段、射线、直线 题目１．Ｄ 考点链接 ①两点　②线段　③端点　④端点　⑤距离　⑥中点 考点二　角及角平分线 题目２．（１）７０°　１６０°　（２）５５°　（３）４ 考点链接 ⑦射线　⑧射线　⑨９０°　⑩１８０°　瑏瑡相等　瑏瑢射线 瑏瑣距离相等　瑏瑤距离相等 考点三　相交线 题目３．（１）同位角　（２）∠４　对顶角　同旁内角　∠６　∠６　（３）＝ 考点链接 瑏瑥相等　瑏瑦９０°　瑏瑧垂足　瑏瑨垂线段　瑏瑩垂直于 瑐瑠线段两端点　瑐瑡相等 考点四　平行线 题目４．①②③④⑤ 考点链接 瑐瑢相等　瑐瑣相等　瑐瑤互补　瑐瑥相等　瑐瑦相等　瑐瑧互补 考点巩固练 ３０５° 考点五　命题 题目５．假　若ａ２＞ｂ２，则ａ＞ｂ 多向思维解真题 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．Ｃ　５．Ｄ　６．Ｂ　７．Ｃ　８．７８°　９．Ａ 5673$ LMNOPQRSTUVTW 模型一　两定一动 例１．解：根据两点之间线段最短，可知当 Ｅ，Ｆ，Ｃ三点共线时，ＥＦ＋ＣＦ的值最 小，且最小值为ＣＥ的长． 如图，连接ＣＥ交ＡＤ于点Ｆ． ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝４． ∵Ｅ是 ＡＢ边上一点，且 ＡＥ＝２， ∴点Ｅ是ＡＢ边的中点．∴ＣＥ⊥ＡＢ． ∴在Ｒｔ△ＢＣＥ中，ＣＥ＝ 　 ＢＣ２－ＢＥ槡 ２＝ 　 ４２－２槡 ２＝２　槡３． ∴ＥＦ＋ＣＦ的最小值为２　槡３． 变式训练 １．槡３　２．８　３．４ 模型二　一定两动 例２．解：如图，连接ＢＤ，分别作点Ｃ关于ＡＢ，ＡＤ的对称点Ｅ， Ｆ，连接ＥＭ，ＦＮ，则ＣＭ＝ＥＭ，ＣＮ＝ＦＮ． ∴ＣＭ＋ＭＮ＋ＣＮ＝ＥＭ＋ＭＮ＋ＦＮ． ∴当点Ｅ，Ｍ，Ｎ，Ｆ在同一直线上时，ＥＭ＋ＭＮ＋ＦＮ的最小值等于 线段ＥＦ的长． ∵点Ｂ，Ｄ分别是ＣＥ，ＣＦ的中点， ∴ＢＤ是△ＣＥＦ的中位线， ∴ＥＦ＝２ＢＤ． 又∵∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝ＡＤ 槡＝３， ∴△ＡＢＤ是等边三角形． ∴ＢＤ 槡＝３，∴ＥＦ 槡＝２ ３． ∴ＣＭ＋ＭＮ＋ＣＮ的最小值为 槡２ ３． ∴△ＣＭＮ周长的最小值为 槡２ ３． 变式训练 ４ 槡．２ ７ 模型三　两定两动 例３．解：如图，将点Ｂ沿ＢＣ向右平移２个单位长度得到点Ｂ′，作点Ｂ′关于ＡＤ 的对称点Ｂ″，连接ＣＢ″，交ＡＤ于点Ｆ，在ＡＤ上截取ＥＦ＝２，连接Ｂ′Ｆ，则ＢＥ＝Ｂ′Ｆ， Ｂ″Ｆ＝Ｂ′Ｆ，此时四边形ＢＥＦＣ的周长为 ＢＥ＋ＥＦ＋ＦＣ＋ＢＣ＝Ｂ″Ｆ＋ＥＦ＋ＦＣ＋ ＢＣ＝Ｂ″Ｃ＋ＥＦ＋ＢＣ，当点Ｃ，Ｆ，Ｂ″三点共线时，四边形ＢＥＦＣ的周长最小． ∵ＡＢ＝４，ＢＢ′＝２，∠ＡＢＣ＝６０°， ∴Ｂ′Ｂ″经过点Ａ． ∴ＡＢ′ 槡＝２ ３． ∴Ｂ′Ｂ″ 槡＝４ ３． ∵ＢＣ＝１２，∴Ｂ′Ｃ＝１０． ∴Ｂ″Ｃ＝ Ｂ′Ｂ″２＋Ｂ′Ｃ槡 ２ 槡＝２ ３７． ∴Ｂ″Ｃ＋ＥＦ＋ＢＣ 槡＝１４＋２ ３７． ∴四边形ＢＥＦＣ周长的最小值为 槡１４＋２ ３７． 变式训练 ５．１６　６．Ｂ　７槡                                                                                                                                         ． １０ —５—