第四章 第4节 相似三角形-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

73　 　 第 4 节　相似三角形 比例线段 题目 1　 如图,已知△ABC, 点 D 为 AB 的中点,过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E,则 AE EC = 　 1　 , DE BC = 　 　 　 　 . 1.比例的性质 (1 ) 基本性质: ab = c d ⇔ ① 　 ad = bc 　 (abcd≠0) . (2)合比性质: ab = c d⇔ a ± b b = c ± d d (bd≠0) . (3)等比性质: ab = c d = … = m n (b + d + … + n≠0)⇔a + c +… + mb + d +… + n =②　 　 　 　 　 . 2.黄金分割 如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果ACAB = BC AC,那么就说线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫黄金比,且 ACAB = 5 - 1 2 ≈ 0. 618. 一条线段有两个黄金分割点,简记为: 长 全 = 短 长 = 5 - 12 . 3.平行线分线段成比例 (1)定理:两条直线被一组平行线所截,所得􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的对应线段成比例.􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 两边(或两边的延长线),所得到的对应线段􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 成比例.􀪍􀪍􀪍􀪍 【考点巩固练】 如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,DE∥ AC. 若 BD = 4,DA = 2,BE = 3,则 EC = 　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 相似三角形 题目 2 　 如图,在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上一点,AD = 2,BD = 1. (1)添加一个条件(不添加辅助线): 　 ,使△ADE∽△ABC; (2)若△ADE∽△ABC. ①对应边、对应角的关系为:ADAB = = ,∠ADE = ,∠AED = ; ②C△ADE ∶ C△ABC = ,S△ADE ∶ S△ABC = ; (3)若 DE∥BC,则 DE∶ BC = ; (4) 若 △ADE 与 △ABC 相似, AC = 4,则 AE = 　 . 1.性质 (1)相似三角形的③　 对应角 　 相等,对应 边④　 成比例　 ; (2)相似三角形的对应高线的比、对应中线的 比和对应角平分线的比都等于⑤　 相似比　 ; (3)相似三角形的周长的比等于⑥　 相似比　 , 面积比等于⑦　 相似比的平方　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 74　 2.判定 文字语言 图形 几何语言 平行于三 角形一边 的直线和 其他两边 相交,所构 成的三角 形与原三 角形相似 ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC 两角分别 相等的两 个三角形 相似 　 ∵ ∠A =∠A′, ∠B =∠B′, ∴ △ABC∽△A′B′C′ 两边对应 成比例且 夹角相等 的两个三 角形相似 　 ∵ ABA′B′ = BC B′C′, ∠B =∠B′, ∴ △ABC∽△A′B′C′ 三边对应 成比例的 两个三角 形相似 　 ∵ ABA′B′ = BC B′C′ = CA C′A′, ∴ △ABC∽△A′B′C′ 3.相似三角形的常见模型 模型 图形示例 文字语言 平行 线型 若 DE ∥ BC, 则 △ADE∽△ABC 斜 交 型 若∠1 = ∠2,则 △ADE∽△ABC 模型 图形示例 文字语言 一线 三等 角型 若∠B = ∠ACE = ∠D, 则△ABC∽△CDE 4.证明三角形相似的思路 平行截线→用平行线的性质找等角 一对等角 找另一对等角 找该角的两边对应成比例{ 两边对应成比例 找夹角相等 找第三边也对应成比例 找一对直角 ì î í ï ï ïï 直角三角形 找一对锐角相等 斜边、直角边对应成比例{ 等腰三角形 找顶角相等 找一对底角相等 找底和腰对应成比例 ì î í ï ï ïï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïï 5.相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角⑧　 相等 　 　 　 , ⑨　 对应边　 成比例; (2)相似多边形的周长比等于⑩　 相似比　 , 面积比等于􀃊􀁉􀁓　 相似比的平方　 . 6.位似 (1)定义:一般地,如果两个相似多边形任意 一组对应顶点 P,P′所在的直线都经过同一 点 O,且 OP′ = k·OP(k≠0),那么这样的两 个多边形叫做位似多边形,点 O 叫做位似中 心,k 就是这两个相似多边形的相似比. (2)性质 ①任意一组对应点到位似中心的距离之比等 于相似比; ②任意一组对应点所在直线都相交于一点; ③对应边互相平行或在同一直线上; ④位似图形是特殊的相似图形,具有相似图 形的所有性质. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 75　 　 　命题点一 平行线分线段成比例(2015 年考查) 1. (2023 吉林)如图,在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,过点 D作 DE∥BC,交 AC 于点 E.若AD =2, BD = 3,则AEAC的值是 (　 　 ) A. 25 　 　 　 B. 1 2 　 　 　 C. 3 5 　 　 　 D. 2 3 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. (2023 恩施)如图,在△ABC 中,DE∥BC 分别 交 AC,AB 于点 D,E,EF∥AC 交 BC 于点 F, AE BE = 2 5 ,BF = 8,则 DE 的长为 (　 　 ) A. 165 B. 16 7 C. 2 D. 3 3. (2023 北京)如图,直线 AD,BC 交于点 O, AB∥EF∥CD. 若 AO = 2,OF = 1,FD = 2,则 BE EC的值为 . 　命题点二 相似三角形的性质与判定 　　　　 (必考，未单独考查) 4. (2023 安徽)如图,点 E 在正方形 ABCD 的对 角线 AC 上,EF⊥AB 于点 F,连接 DE 并延长, 交边 BC 于点 M,交边 AB 的延长线于点 G. 若 AF = 2,FB = 1,则 MG = (　 　 ) A. 2 3 　 　 B. 3 52 　 　 C. 5 + 1　 　 D. 10 5. (2023 江西)《周髀算经》中记载了“偃矩以望 高”的方法. “矩”在古代指两条边呈直角的曲 尺(即图中的 ABC) . “偃矩以望高”的意思是 把“矩”仰立放,可测量物体的高度如图,点 A,B,Q 在同一水平线上,∠ABC 和∠AQP 均 为直角,AP 与 BC 相交于点 D. 测得 AB = 40 cm,BD = 20 cm,AQ = 12 m,则树高 PQ = m. 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. (2023 临沂)如图,三角形纸片 ABC 中,AC = 6,BC = 9,分别沿与 BC,AC 平行的方向,从靠 近 A 的 AB 边的三等分点剪去两个角,得到的 平行四边形纸片的周长是 . 7. (2023 常德)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 8,BC = 6,D 是 AB 上一点,且 AD = 2,过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E. 将△ADE 绕 A 点顺时针旋转到图 2 的位置,则图 2 中 BD CE的值为 . 图 1 　 　 　 　 　 图 2 8. (2023 邵阳)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点 B 是 线段 AD 上的一点,且 CB⊥BE. 已知 AB = 8, AC = 6,DE = 4. (1)证明:△ABC∽△DEB; (2)求线段 BD 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P32 (LAFE=LDEC, 多向思蜂解真题 6解：1》在△配中，∠C=0.C=8m,配=6m, ∠A·∠D A册=yA+C=家+6=0(m1. LEF =EC 142N3号4前56647号 题意，得=1m.P-2m.则P(0-2) AAE≌△ECA4S.AB=C=王 最1)证明：…AC⊥AD,D⊥AD, POAC,△m△AC ,DE=2,.A0=x+2 .LAm乙0=0。∠C+∠A配=0n 30 :筹形A(D的周长为16. ,CB⊥E,∠AG+∠ED=90 ,∴2{x+x411=16.解得1=3，再AE=3 ÷乙C-∠EBL.:△1C△5家 (2)如因，过点0作0馆⊥于点玉，则上8。∠C=90 变式谓练 9.4 2)解：△AC一△张E-面 AR C ∠B=∠B..△OF∽△BC 4 I证明：，ELAD,,F⊥0，：∠CFA=∠A章=0 X:很-C6.成4普-品解得励 :∠C0 .∠B+∠B4F=∠R4F+∠CF=0.3∠B=∠CE 微专题七相似三角形的常见模型 在△4CF和△中. 横型一平行线型 时0-2…字= r∠CFAT∠AEB 例1解，E∥B配△5∽△C 路理.得-5分+6=0.解得有=2=3 ∠C4P=∠N 0ct℃5 LAC=。 A△4CFC△HEAA8,AF=8 又，=36，∴E=12 六当1为列2，或3时.△P的图积等于装， 1山.1)证期：由题意，得AG=C,2A=90,AD4DE,E1E 度式引峰 模型三一线三等角型 ∠40G=∠CFB=0 1.1D2.:3 鲜3解：：四边那AD为正方悉，-“.AB=C又 ∠ACB+∠CE=90,∠CD◆∠00=0 3(1)证阴：西边形ACD是平行四边形 ,BE=AB-AE=9-2=J,F=G-GF=9-3=6 六∠CE=∠DC AnG上AF=∠G,∠4F。∠DF ·∠G=0,∠En+∠CG=0 在△AG和ACB中， AABF∽△P, 在△EFB中，∠EFB+∠BEF=90。 [ZAINC=ZCE8, (2)解国边形ACD是平行裤近彩， i∠FG=∠EF ∠0AG=∠Cg 0,△△E益-品 是，∠EF=∠G=90, AC-BC. 品△A0Ga△CEICAAS) 又：4棉疗0G六△5∽△G深-密 限AE △na0c答-院 (2)解：g△AC△CE第，m=0, cw9号 AD=4o =40 cm=CE.ME==30em=C 一院最哈子解得G23 E .DE =T0 en. 安式圳练 4G=G=EF=2.3=2=u.5. d8=子x(0+0)×0-2x分x30×0=120(m) 提型二斜交型 7.+,8 家.解：到，过点C作沙4轴点2 第4节相似三角形 易2粉C-万-m需-品 L0g=00 以代讲抓考点 又，∠B。∠B,∴△C-△B4 .∠0a4G+∠GD=0 考点一比例线使 ∠RC=0, 品器irc 云∠G+∠r40=0 要日11 变式擦 .∠aCD■Cr以 考点结接 40 ”∠04=∠AG=90 5,(I)证明：如圈，连接c, △A∽△AC (ad de 考点现图落 心=m帝是 漂提2 ∠AG■∠PB, 议=年，期A山=2 +AAC一△H去∠A=∠ =32+()2=(8 考点二相银三角形 ,人BC=人cB.∠n+∠C=0 解得=1，一=-1（不合整意，命去 是日2(1)∠AFD=LC(答鲨不一) ∠C1+44=L0=0:G⊥ 2.AD -2.0C=L 2光48c2:39 00是⊙0的半经，℃是⊙0的切线， 4,1, (2)解1由(1，得△ACP容，4m=3PM .4=1×4=4. 323a学号 考点结接 ·“祭 当y=4时，=，即△A鸭右平移1个单位长度时，点程落在该双生线上 “点4的横坐标为玉 灯对应角国成比树5围比相做比⑦相以比的平方相等 设A=,周AB=3,P8=,℃=·西=2x 象解：存在 西对应边)相但比相阁北转平方 抛物找T=-2:+4x+6与x轴交于A,整两点，与y轴交于点C。 8令1=0.甲-22++6=0. 一9