第四章 第3节 全等三角形-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

67　 　 第 3 节　全等三角形 全等三角形 题目 　 如图,点 D,E 分别在△ABC 的边 AC,AB 上,连接 BD,CE 交于点 O,连接 AO. (1)若△ABD≌△ACE,判断下列结论是否正 确,正确的在括号内打“√”,错误的打“ × ”. ①BD = CE (　 　 ) ②△ABC 是等腰三角形 (　 　 ) ③BE = CD (　 　 ) ④BD,CE 是△ABC 的两条高 (　 　 ) ⑤BD,CE 是△ABC 的两条角平分线 (　 　 ) ⑥BD,CE 是△ABC 的两条中线 (　 　 ) ⑦△BCD≌△CBE (　 　 ) ⑧△BOE≌△COD (　 　 ) ⑨△AOE≌△AOD (　 　 ) (2)请从“角平分线”“中线”“高线”中选择 一个合适的条件,补充在下面的横线上,并 写出完整的证明过程. 已知:BD,CE 是△ABC 的两条 ,且 BD = CE. 求证:AB = AC. 1.定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等􀪍􀪍 三角形􀪍􀪍􀪍. 2.性质 (1)全等三角形的对应角、对应边①　 相等　 ; (2 ) 全等三角形的周长 ② 　 相等 　 、 面 积③　 相等　 ; (3)全等三角形对应的中线、高线、角平分 线、中位线都④　 相等　 . 3.判定 判定方法 图形 几何语言 三边分别相等 的两个三角形 全 等, 简 写 为⑤　 SSS　 ∵ AB = DE, BC = EF, AC = DF, ì î í ï ï ïï ∴ △ABC≌△DEF 两 边 及 其 夹 角 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形全等,简写 为⑥　 SAS　 ∵ AB = DE, ∠B =∠E, BC = EF, ì î í ï ï ïï ∴ △ABC≌△DEF 两 角 及 其 夹 边 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形全等,简写 为⑦　 ASA　 ∵ ∠A =∠D, AB = DE, ∠B =∠E, ì î í ï ï ïï ∴ △ABC≌△DEF 两角分别相等 且其中一组等 角的对边相等 的两个三角形 全等,简写为 ⑧　 AAS　 ∵ ∠C =∠F, ∠A =∠D, AB = DE, ì î í ï ï ïï ∴ △ABC≌△DEF 斜边和一条直 角边分别相等 的两个直角三 角形全等,简 写为⑨　 HL　 ∵ AB = DE, AC = DF,{ ∴ Rt △ABC ≌ Rt△DEF 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 68　 4.全等三角形的常见模型 模型 图形示例 归纳总结 轴 对 称 模 型 两个三角形关于某 一直线对称, 且这 条直线两边的部分 能完全重合, 重合 的顶点就是全等三 角形的对应顶点 旋 转 模 型 可看成由三角形绕 某一 个 点 旋 转 而 成,故一般有一对 相等的角隐含在平 行线、对顶角、某些 角的和或者差中 平 移 模 型 可看成是由一个三 角形沿其一条边所 在直线平移得到 模型 图形示例 归纳总结 三 垂 直 模 型 也叫双直角三角形, 其中的证明多数可以 用到同(等)角的余角 相等这一结论,相等 的角就是对应角 5.证明三角形全等的思路 已知两边 找夹角→SAS 找直角→HL 或 SAS 找第三边→SSS ì î í ï ï ï ï 已知一边 和一角 边为角的对边,找另一角→AAS 边为角的 邻边 找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS ì î í ïï ï ì î í ïï ï 已知两角 找夹边→ASA 找其中一角的对边→AAS { ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　命题点 全等三角形的性质与判定 　　　 (必考，未单独考查) 1. (2023 长春)如图,工人师傅设计了一种测零 件内径 AB 的卡钳,卡钳交叉点 O 为 AA′,BB′ 的中点,只要量出 A′B′的长度,就可以知道该 零件内径 AB 的长度 . 依据的数学基本事 实是 ( 　 　 ) A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两条直线被一组平行线所截,所得的对应 线段成比例 D. 两点之间线段最短 2. (2023 凉山州)如图,在△ABF 和△DCE 中, 点 E,F 在 BC 上,BE = CF,∠B =∠C,添加下列 条件仍无法证明△ABF≌△DCE 的是 (　 　 ) A. ∠AFB =∠DEC　 　 　 B. AB = DC C. ∠A =∠D D. AF = DE 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. (2023 台州)如图,锐角三角形 ABC 中,AB = AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,连接 BE, CD. 下列命题中,假命题 ∙∙∙ 是 (　 　 ) A. 若 CD = BE,则∠DCB =∠EBC B. 若∠DCB =∠EBC,则 CD = BE C. 若 BD = CE,则∠DCB =∠EBC D. 若∠DCB =∠EBC,则 BD = CE 4. (2023 宁夏)如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°, AB = AC,BC = 2,点 D 在 BC 上,且 BD∶ CD = 1∶ 3. 连接 AD,将线段 AD 绕 点 A 顺时针旋转 90°得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 69　 　 到线段 AE,连接 BE,DE,则△BDE 的面积是 (　 　 ) A. 14 　 　 　 B. 3 8 　 　 　 C. 3 4 　 　 　 D. 3 2 5. (2023福建)如图,OA = OC,OB = OD,∠AOD = ∠COB. 求证:AB = CD. 6. (2023 大连)如图,在△ABC 和△ADE 中,延长 BC 交 DE 于 F,BC = DE,AC = AE,∠ACF + ∠AED = 180°. 求证:AB = AD. 7. (2023 长沙)如图,AB = AC,CD⊥AB,BE⊥ AC,垂足分别为 D,E. (1)求证:△ABE≌△ACD; (2)若 AE = 6,CD = 8,求 BD 的长. 8. (2023 营口)如图,点 A,B,C,D 在同一条直 线上,点 E,F 分别在直线 AB 的两侧,且 AE = BF,∠A =∠B,∠ACE =∠BDF. (1)求证:△ACE≌△BDF; (2)若 AB = 8,AC = 2,求 CD 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P31 综上所述，ＡＰ的长为 ９４或１． 图１　　　　　图２ ４．解：∵在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＣ＝３， ∴ＢＣ＝６，ＡＢ 槡＝３３． 由题意，可知当△ＡＢ′Ｄ为直角三角形时，可以分以下两种情况进行讨论： ①当∠ＡＤＢ′＝９０°时，如图１，则ＡＣ∥Ｂ′Ｄ． ∴∠ＡＣＢ′＝∠ＤＢ′Ｃ＝∠Ｂ＝３０°，∠ＢＣＢ′＝３０°． 由折叠的性质，可得∠ＤＣＢ′＝１２∠ＢＣＢ′＝１５°． ∴∠ＡＣＤ＝４５°，∠ＡＤＣ＝４５°． ∴ＡＣ＝ＡＤ＝３．∴ＢＤ＝ＡＢ－ＡＤ 槡＝３３－３； ②当∠ＤＡＢ′＝９０°时，如图２，则Ｂ′，Ａ，Ｃ三点共线． 由折叠的性质，可得∠Ｂ′＝∠Ｂ＝３０°． ∴ＡＤ＝１２Ｂ′Ｄ＝ １ ２ＢＤ． 又∵ＡＢ 槡＝３３，∴ＢＤ＝ ２ ３ＡＢ 槡＝２３． 综上所述，ＢＤ的长为 槡３３－３或 槡２３． 图１ 　　　 图２ ! ３ "#c5H;I 以题代讲抓考点 考点　全等三角形 题目．（１）①√　②√　③√　④×　⑤×　⑥×　⑦√　⑧√　⑨√ （２）高线 证明：∵ＢＤ，ＣＥ是△ＡＢＣ的两条高， ∴ＢＤ⊥ＡＣ，ＣＥ⊥ＡＢ．∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ＝９０°． 在△ＡＤＢ和△ＡＥＣ中， ∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ， ∠ＤＡＢ＝∠ＥＡＣ， ＢＤ＝ＣＥ { ， ∴△ＡＤＢ≌△ＡＥＣ（ＡＡＳ）．∴ＡＢ＝ＡＣ．（答案不唯一） 考点链接 ①相等　②相等　③相等　④相等　⑤ＳＳＳ　⑥ＳＡＳ　⑦ＡＳＡ　⑧ＡＡＳ　⑨ＨＬ 多向思维解真题 １．Ａ　２．Ｄ　３．Ａ　４．Ｂ ５．证明：∵∠ＡＯＤ＝∠ＣＯＢ， ∴∠ＡＯＤ－∠ＢＯＤ＝∠ＣＯＢ－∠ＢＯＤ，即∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ． 在△ＡＯＢ和△ＣＯＤ中， ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ， ＯＢ＝ＯＤ { ， ∴△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ（ＳＡＳ）．∴ＡＢ＝ＣＤ． ６．证明：∵∠ＡＣＦ＋∠ＡＥＤ＝１８０°，∠ＡＣＦ＋∠ＡＣＢ＝１８０°， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ． 在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中， ＢＣ＝ＤＥ， ∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ， ＡＣ＝ＡＥ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＳＡＳ）．∴ＡＢ＝ＡＤ． ７．（１）证明：∵ＣＤ⊥ＡＢ，ＢＥ⊥ＡＣ，∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°． 在△ＡＢＥ和△ＡＣＤ中， ∠ＡＥＢ＝∠ＡＤＣ， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ， ＡＢ＝ＡＣ { ， ∴△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ（ＡＡＳ）． （２）解：∵△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ，∴ＡＤ＝ＡＥ＝６． 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２＝ ６２＋８槡 ２＝１０． ∵ＡＢ＝ＡＣ＝１０，∴ＢＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝１０－６＝４． ８．（１）证明：在△ＡＣＥ和△ＢＤＦ中， ∠ＡＣＥ＝∠ＢＤＦ， ∠Ａ＝∠Ｂ， ＡＥ＝ＢＦ { ， ∴△ＡＣＥ≌△ＢＤＦ（ＡＡＳ）． （２）解：∵△ＡＣＥ≌△ＢＤＦ，ＡＣ＝２，∴ＢＤ＝ＡＣ＝２． 又∵ＡＢ＝８，∴ＣＤ＝ＡＢ－ＡＣ－ＢＤ＝４． 567e$ f23;K@ghij 模型一　轴对称模型 例１．证明：∵线段ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｅ，∴∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＣ． 在△ＡＢＥ和△ＤＣＥ中， ＡＥ＝ＤＥ， ∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＣ， ＢＥ＝ＣＥ { ， ∴△ＡＢＥ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ）．∴∠Ａ＝∠Ｄ． 变式训练 １．Ｄ　２．Ａ ３．（１）证明：∵∠ＢＤＣ＝９０°，∠ＤＢＣ＝４５°， ∴∠ＢＣＤ＝１８０°－∠ＢＤＣ－∠ＤＢＣ＝４５°． ∴∠ＤＢＣ＝∠ＢＣＤ．∴ＤＢ＝ＤＣ． 在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中． ＡＢ＝ＡＣ， ＤＢ＝ＤＣ， ＡＤ＝ＡＤ { ， ∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ（ＳＳＳ）．∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ． （２）解：∵△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ． ∵∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＣ＋∠ＢＤＣ＝３６０°，∠ＢＤＣ＝９０°， ∴∠ＡＤＢ＝１２×（３６０°－９０°）＝１３５°． 模型二　平移模型 例２．证明：∵ＢＥ＝ＣＦ，∴ＢＥ＋ＥＣ＝ＣＦ＋ＥＣ，即ＢＣ＝ＥＦ． ∵ＡＢ∥ＤＥ，ＡＣ∥ＤＦ，∴∠Ｂ＝∠ＤＥＦ，∠ＡＣＢ＝∠Ｆ． 在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中， ∠Ｂ＝∠ＤＥＦ， ＢＣ＝ＥＦ， ∠ＡＣＢ＝∠Ｆ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＳＡ）．∴ＡＣ＝ＤＦ． 变式训练 ４．证明：∵ＡＢ∥ＤＥ，∴∠ＣＢＡ＝∠ＦＥＤ． ∵ＢＥ＝ＣＦ，∴ＢＥ＋ＥＣ＝ＣＦ＋ＥＣ，即ＢＣ＝ＥＦ． 在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中， ＡＢ＝ＤＥ， ∠ＣＢＡ＝∠ＦＥＤ， ＢＣ＝ＥＦ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＳＡＳ）． ５．（１）证明：∵ＢＣ∥ＥＦ，∴∠Ｂ＝∠Ｅ． ∵ＡＤ＝１，ＡＥ＝２．５，∴ＤＥ＝ＡＥ－ＡＤ＝２．５－１＝１．５． ∵ＡＢ＝１．５，∴ＡＢ＝ＤＥ． 又∵∠Ｃ＝∠Ｆ，∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＡＳ）． （２）解：ＤＦ∥ＡＣ．理由如下： ∵△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ． ∵∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＣ＝∠ＥＤＦ＋∠ＡＤＦ＝１８０°， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＤＦ．∴ＤＦ∥ＡＣ． 模型三　旋转模型 例３．证明：∵∠１＝∠２，∴∠１＋∠ＣＡＤ＝∠２＋∠ＣＡＤ． ∴∠ＥＡＤ＝∠ＢＡＣ． 在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中， ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＡＳＡ）．∴ＡＣ＝ＡＥ． 变式训练 ６．Ｂ　７．Ｂ ８．证明：（１）∵∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ， ∴∠ＢＣＥ＋∠ＥＣＡ＝∠ＡＣＤ＋∠ＥＣＡ．∴∠ＢＣＡ＝∠ＥＣＤ． 在△ＢＣＡ和△ＥＣＤ中， ＢＣ＝ＥＣ， ∠ＢＣＡ＝∠ＥＣＤ， ＣＡ＝ＣＤ { ， ∴△ＢＣＡ≌△ＥＣＤ（ＳＡＳ）．∴ＡＢ＝ＤＥ． （２）如图，过点Ｃ作ＣＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，ＣＮ⊥ＤＥ于点Ｎ， 由（１），得Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＤＥＣ，ＡＢ＝ＤＥ． ∵Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＣＭ，Ｓ△ＤＥＣ＝ １ ２ＣＮ·ＤＥ， ∴ＣＭ＝ＣＮ，∴ＯＣ平分∠ＢＯＤ． 模型四　三垂直模型 例４．解：设ＣＤ＝ｘ， ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°． ∵ＥＦ⊥ＥＣ，∴∠ＦＥＣ＝９０°． ∴∠ＡＦＥ＋∠ＡＥＦ＝９０°，∠ＡＥＦ＋∠ＤＥＣ＝９０°． ∴∠ＡＦＥ＝∠ＤＥＣ． 在△ＡＦＥ和△ＤＥＣ中                                                                                                                                         ， —８—