第四章 第2节 三角形及其性质-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

55　 　 第 2 节　三角形及其性质 三角形的分类及性质 题目 1　 如图,已知△ABC,AB = 3. (1)若 AC = 5,则线段 BC 的长 的取值范围是　 2 < BC < 8　 ; (2)若∠C∶ ∠A∶ ∠B = 5∶ 6∶ 7, 则∠A 的度数为　 60°　 ; (3)若∠C ∶ ∠A ∶ ∠B = 1 ∶ 2 ∶ 3,则△ABC 是 　 直角三角形. 1.三角形的分类 三 角 形 按边分 三边都不相等的三角形 等腰三角形 “底边≠腰长”的 等腰三角形 ①　 等边三角形　 ì î í ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ïï 按角分:锐角三角形、②　 直角三角形　 、 钝角三角形 ì î í ï ïï ï ï 2.三角形的性质 (1)三角形具有稳定性. (2)三边关系:三角形的任意两边之和③　 大于第三边,两边之差④　 小于　 第三边. 若 一个三角形的三边分别为 a,b,c,则 a - b < c < a + b. (3)角的关系 ①内角和定理:三角形三个内角的和等 于⑤　 180°　 . ②内外角关系:三角形任意一个外角⑥　 等 于　 与它不相邻的两个内角之和,任意一个外 角⑦　 大于　 任何一个与它不相邻的内角. (4)边角关系:同一个三角形中,等边对等 角,大边对大角,小边对小角. 【教材拓展】 1. (华师七下 P78 例 1)如图,D 是△ABC 的 BC 边上一点,∠B =∠BAD,∠ADC =80°,∠BAC = 70°,则∠B = ,∠C = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角形中的重要线段 题目 2 　 如图,在△ABC 中,CD,CE,CF 分 别是△ABC 的高线、角平分线、中线. (1)若∠B = 35°,则∠BCD = 　 55°　 ; (2)若 AC = 8 cm,△BCF 的周长比△ACF 的周长多 2 cm,则 BC 的长为　 10 cm　 ; (3)若 AB = 6,CD = 4,则 S△ABC = 　 12 　 , S△BCF = 　 6　 ;若 BF =6EF,则 S△CEF = 　 1　 . 名称 图形 性质 面积关系 拓展 中线 AD是△ABC 的中线 BD =CD = ⑧　 　 BC S△ABD = S△ACD = 1 2 S△ABC 重心:三 角 形 三 条 中 线 的交点 高线 AD是△ABC 的高线 AD⊥BC,即 ∠ADB = ∠ADC = ⑨　 90°　 S△ABC = 1 2 BC·AD, S△ABD S△ADC =BDDC 垂心:三 角 形 三 条 高 线 的交点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 56　 (续表) 名称 图形 性质 面积关系 拓展 角平 分线 AD是△ABC 的角平分线 ∠1=∠2 = 1 2 ∠BAC S△ABD ∶ S△ACD = BD∶ CD = AB∶ AC 内心:三 角 形 三 条 角 平 分 线 的 交点. 内 心 到 三 角 形 三 边 的 距 离相等 中 位 线 DE是△ABC 的中位线 DE ⑩ 　 ∥ 　 BC 且 DE = 􀃊􀁉􀁓　 　 BC S△ADE = 1 4 S△ABC 三 角 形 中 遇 到 中点,常 利 用 中 位 线 定 理 证 明 线 段 间 数 量 关 系,简记 为“已知 中 点 找 中位线” 【教材拓展】 2. (人教八上 P52 第6 题)如图,AD 是△ABC 的 角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E, F,连接 EF,EF 与 AD 相交于点 G. AD 与 EF 垂直吗? 证明你的结论. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 等腰、等边三角形的性质与判定 题目 3　 如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 上一 点,连接 AD. (1)若 AB = AD = DC,∠B = 72°,则∠DAC = 　 36°　 ; (2)若△ABD 是等边三角形,CD = AD,则 ∠C = 　 30°　 ; (3)若 AB = 4,BC = 6,CD = 2,∠B = 60°,则 AD = 　 4　 . 1.等腰三角形的性质与判定 (1)性质 ①两腰相等,两个底角􀃊􀁉􀁔　 相等　 (简称“等􀪍 边对等角􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍”); ②顶角的平分线、底边上的高线和底边上的 中线互相重合,简称“三线合一􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍”; ③是轴对称图形,有一条对称轴; ④两腰上的高相等,两腰上的中线相等,两底 角的平分线也相等. (2)判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形(定 义法); ②有两个角相等的三角形是等腰三角形,简 称􀃊􀁉􀁕　 等角对等边　 . (3)面积计算公式:S = 12 ah,其中 a 是底边 长,h 是底边上的高. 2.等边三角形的性质与判定 (1)性质 ①具有等腰三角形的所有性质; ②三边相等; ③三内角相等,且每一个内角都等于􀃊􀁉􀁖　 60°　 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57　 　 ④是轴对称图形,有 3 条对称轴. (2)判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形(定 义法); ②三个角都相等的三角形是等边三角形; ③有一个角是 60°的􀃊􀁉􀁗　 等腰三角形　 是等 边三角形. (3)面积计算公式:S = 12 ah = 3 4 a 2,其中 a 是 等边三角形的边长,h 是任意边上的高. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直角三角形的性质与判定 题目 4 　 如图,已知△ABC 为直角三角形, ∠BAC = 90°,点 D 为 BC 边上一点, 连接 AD. (1)若∠C = 30°,则∠B = 　 60°　 ; (2)若 BD = 4,点 D 为 BC 的中点,则 AD = 　 4　 ; (3) 若∠ADB = 90°,∠C = 30°,AD = 4,则 DC = 　 4 3 　 . 1.直角三角形的性质 (1)两锐角之和等于􀃊􀁉􀁘　 90°　 ; (2)斜边上的中线等于斜边的一半; (3)30°角所对的直角边等于斜边的一半; (4)勾股定理􀪍􀪍􀪍􀪍:若一个直角三角形的两条直角 边长分别为 a,b,斜边长为 c,则有 a2 + b2 = c2. 2.直角三角形的判定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形 (定义法); (2)有两个角互余的三角形是直角三角形; (3)勾股定理的逆定理􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍:若 a 2 + b2 = c2,则以 a,b,c 为边的三角形是直角三角形. 3.面积计算公式:S = 12 ab = 1 2 ch,其中 a,b 为两 个直角边,c 为斜边,h 为斜边上的高. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　命题点一 三角形及其边、角关系 1. (2023 福建)若某三角形的三边长分别为 3, 4,m,则 m 的值可以是 (　 　 ) A. 1　 　 　 B. 5　 　 　 C. 7　 　 　 D. 9 2. (2023 十堰)一副三角板按如图所示放置,点 A 在 DE 上,点 F 在 BC 上. 若∠EAB = 35°,则 ∠DFC = °. 　命题点二 特殊三角形的性质与判定(2016年考查) 3. (2023 武威)如图,BD 是等边三角形 ABC 的 边 AC 上的高,以点D为圆心,DB 长为半径作弧 交 BC 的延长线于点 E, 则∠DEC = (　 　 ) A. 20°　 　 　 　 B. 25° C. 30° D. 35° 4. (2023 兰州)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为 BA 延长线上一点,F 为 CE 的中点,以 B 为圆 心,BF 长为半径的圆弧过 AD 与 CE 的交点 G,连接 BG.若 AB =4,CE =10,则 AG = (　 　 ) A. 2　 　 　 B. 2. 5　 　 　 C. 3　 　 　 D. 3. 5 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 5. (2023 徐州)如图,在△ABC 中,∠B = 90°, ∠A = 30°,BC = 2,D 为 AB 的中点. 若点 E 在 边 AC 上,且ADAB = DE BC,则 AE 的长为 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 1 或 32 D. 1 或 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 58　 6. (2023 随州)如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°, AC = 8,BC = 6,D 为 AC 上一点. 若 BD 是 ∠ABC 的平分线,则 AD = . 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. (2023 荆州)如图,CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上 的中线,E 为 AC 的中点. 若 AC = 8,CD = 5,则 DE = . 8. (2023 长沙)如图,已知 ∠ABC = 50°,点 D 在 BA 上,以点 B 为圆心,BD 长 为半径画弧,交 BC 于点 E,连接 DE,则∠BDE 的度数是 度. 　命题点三 与三角形有关的几何变换问题 　　　　 （10 年 3 考） 9. (2022 河南)如图,在 Rt△ABC 中, ∠ACB = 90°,AC = BC = 2 2 ,点 D 为 AB 的中点,点 P 在 AC 上,且 CP = 1,将 CP 绕点 C 在平面内旋转,点 P 的 对应点为点 Q,连接 AQ,DQ. 当∠ADQ = 90° 时,AQ 的长为　 5或 13 　 . 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. (2023 通辽)如图,等边三角形 ABC 的边长为 6 cm,动点 P 从点 A 出发以 2 cm / s 的速度沿 AB 向 点 B 匀速运动,过点 P 作 PQ⊥AB,交边 AC 于点 Q,以 PQ 为边作等边三角形 PQD,使 点 A,D 在 PQ 异侧. 当点 D 落在 BC 边上 时,点 P 需移动 s. 11. (2023 徐州) 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,CA = CB = 3,点 D 在边 BC 上. 将△ACD 沿 AD 折 叠,使点 C 落在点 C′处,连接 BC′,则 BC′的 最小值为 . 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. (2023 绥化)如图,△ABC 是边长 为 6 的等边三角形,点 E 为高 BD 上的动点,连接 CE,将 CE 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 CF,连接 AF,EF,DF, 则△CDF 周长的最小值是 . 13. (2023 龙东) 如图,在 Rt△ACB 中,∠BAC = 30°,CB = 2,点 E 是 斜边 AB 的中点,把 Rt△ABC 绕 点 A 顺时针旋转,得 Rt△AFD,点 C,点 B 旋 转后的对应点分别是点 D,点 F,连接 CF, EF,CE. 在旋转的过程中,△CEF 面积的最 大值是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P29 ! ２ "#H;I./XY 以题代讲抓考点 考点一　三角形的分类及性质 题目１．（１）２＜ＢＣ＜８　（２）６０°　（３）直角 考点链接 ①等边三角形　②直角三角形　③大于　④小于　⑤１８０°　⑥等于　⑦大于 教材拓展 １．４０°　７０° 考点二　三角形中的重要线段 题目２．（１）５５°　（２）１０ｃｍ　（３）１２　６　１ 考点链接 ⑧ １２　⑨９０°　⑩∥　瑏瑡 １ ２ 教材拓展 ２．解：ＡＤ与ＥＦ垂直． 证明：∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＦ． ∵ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ，∴∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＤ＝９０°． 在△ＡＤＥ和△ＡＤＦ中， ∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＤ， ∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＦ， ＡＤ＝ＡＤ { ， ∴△ＡＤＥ≌△ＡＤＦ（ＡＡＳ）．∴ＡＥ＝ＡＦ． 又∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴ＡＤ⊥ＥＦ． 考点三　等腰三角形的性质与判定 题目３．（１）３６°　（２）３０°　（３）４ 考点链接 瑏瑢相等　瑏瑣等角对等边　瑏瑤６０°　瑏瑥等腰三角形 考点四　直角三角形的性质与判定 题目４．（１）６０°　（２）４　（３） 槡４ ３ 考点链接 瑏瑦９０° 多向思维解真题 １．Ｂ　２．１００　３．Ｃ　４．Ｃ　５．Ｄ　６．５　７．３　８．６５　９．槡５或槡１３　１０．１ １１．槡３２－３　１２． 槡３＋３３　１３． 槡４＋３ 567J$ 3;KX7?YZ[\]^R BC&#;82_KL 模型一　利用角平分线的性质 例１．解：如图，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ． ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＢ⊥ＡＢ， ∴ＤＥ＝ＤＢ＝　槡３，即点Ｄ到ＡＣ的距离是槡３． 变式训练 １．Ｂ　２．４３ ３．解：如图，过点Ｇ作ＧＥ⊥ＡＤ于点Ｅ，ＥＧ的延长线交ＢＣ于点Ｆ． ∵四边形ＡＢＣＤ为平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ， ∴ＥＦ⊥ＢＣ． ∵ＢＧ，ＡＧ分别平分∠ＡＢＣ与∠ＢＡＤ， ∴ＧＥ＝ＧＨ＝５，ＧＦ＝ＧＨ＝５． ∴ＥＦ＝５＋５＝１０． 又∵ＢＣ＝ＡＤ＝１２，∴ＳＡＢＣＤ＝ＢＣ·ＥＦ＝１２×１０＝１２０． 模型二　角平分线＋平行线 例２．解：∵ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠ＢＥＦ＝∠ＥＦＣ＝８２°，∠ＥＧＦ＝∠ＢＥＧ． ∵ＥＧ平分∠ＢＥＦ， ∴∠ＥＧＦ＝∠ＢＥＧ＝∠ＦＥＧ＝４１°． 变式训练 ４．Ｂ　５．槡２ ３ ６．解：如图，过点Ｅ作ＥＧ∥ＡＯ交ＡＣ于点Ｇ， 则∠ＯＡＥ＝∠ＡＥＧ． ∵ＡＥ平分∠ＯＡＣ， ∴∠ＯＡＥ＝∠ＣＡＥ． ∴∠ＣＡＥ＝∠ＡＥＧ．∴ＡＧ＝ＥＧ． 同理，可得ＥＦ＝ＣＦ． ∵ＡＯ∥ＧＥ，ＯＣ∥ＥＦ， ∴∠ＯＡＣ＝∠ＥＧＦ，∠ＯＣＡ＝∠ＥＦＧ． ∴△ＡＯＣ∽△ＧＥＦ． ∵∠ＡＯＣ＝９０°，ＡＯ＝ＯＣ＝２，∴ＡＣ 槡＝２ ２． ∴ＥＧ∶ＥＦ∶ＧＦ＝ＯＡ∶ＯＣ∶ＡＣ 槡＝１∶１∶２． 设ＥＧ＝ＡＧ＝ｋ，则ＥＦ＝ＣＦ＝ｋ，ＦＧ 槡＝２ｋ， 易得Ｆ ｋ＋槡２２ｋ， 槡２ ２( )ｋ． ∵ＡＣ 槡＝２ ２，∴ｋ＋ｋ 槡＋２ｋ 槡＝２ ２． ∴ｋ 槡＝２ ２－２． ∴点Ｆ的坐标为（槡２， 槡２－２）． 模型三　“三线合一” 例３．９ 变式训练 ７．４　８．３０° ９．解：如图，连接ＣＦ，ＣＧ． 由题，可知ＡＣ＝ＢＣ＝６，ＣＥ＝ＣＤ＝４． ∵点Ｆ是ＡＢ的中点，∴ＣＦ平分∠ＡＣＢ，ＣＦ⊥ＡＢ． ∵点Ｇ是ＤＥ的中点，∴ＣＧ平分∠ＤＣＥ，ＣＧ⊥ＤＥ． ∴∠ＦＣＢ＝３０°，∠ＧＣＥ＝６０°，∠ＦＣＧ＝９０°． ∴ＣＦ＝槡３２ＢＣ 槡＝３３，ＣＧ＝ ＣＥ ２＝２． ∴在Ｒｔ△ＦＣＧ中，ＦＧ＝ ＣＦ２＋ＣＧ槡 ２＝ （槡３３） ２＋２槡 ２ 槡＝ ３１． BC-#?@KL 模型一　多个中点或中点＋平行 例１．解：如图，过点 Ｄ作 ＤＦ∥ＡＣ交 ＡＢ于点 Ｆ，则∠ＢＦＤ＝９０°． ∵Ｄ是ＢＣ边的中点， ∴ＢＤ＝ＤＣ，ＡＦ＝ＢＦ． ∴ＤＦ＝１２ＡＣ＝３． 又∵∠ＤＥＢ＝３０°，∴ＤＥ＝２ＤＦ＝６． 变式训练 １．Ｂ　２．５４ ３．证明：如图，过点Ｂ作ＢＦ∥ＣＤ交ＡＣ于点Ｆ，易得ＡＦ＝ＣＦ． ∵ＡＢ＝ＡＣ，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点， ∴ＡＥ＝ＡＦ． 在△ＡＢＦ和△ＡＣＥ中， ＡＦ＝ＡＥ， ∠Ａ＝∠Ａ， ＡＢ＝ＡＣ { ， ∴△ＡＢＦ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）．∴ＢＦ＝ＣＥ． ∵ＢＤ＝ＡＢ，ＡＦ＝ＣＦ，∴ＤＣ＝２ＢＦ． ∵ＣＥ＝ＢＦ，∴ＤＣ＝２ＣＥ． 模型二　直角三角形斜边上的中点 例２．解：如图，连接ＢＤ． ∵Ｄ是ＡＣ的中点， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝４５°，ＢＤ＝ＡＤ＝ＣＤ，ＢＤ⊥ＡＣ． ∵∠ＥＤＢ＋∠ＦＤＢ＝９０°，∠ＦＤＢ＋∠ＣＤＦ＝９０°， ∴∠ＥＤＢ＝∠ＣＤＦ． 在△ＢＥＤ和△ＣＦＤ中， ∠ＥＢＤ＝∠Ｃ， ＢＤ＝ＣＤ， ∠ＥＤＢ＝∠ＦＤＣ { ， ∴△ＢＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＳＡ）．∴ＢＥ＝ＣＦ＝３． ∵ＡＢ＝ＢＣ，∴ＡＥ＝ＢＦ＝４． 在Ｒｔ△ＢＥＦ中，ＥＦ＝ ＢＥ２＋ＢＦ槡 ２＝ ３２＋４槡 ２＝５． 变式训练 ４．Ａ　５．槡６３５ ６．解：如图，连接ＡＣ，ＣＦ． ∵四边形ＡＢＣＤ和四边形ＣＥＦＧ都是正方形， ∴∠ＡＣＤ＝４５°，∠ＦＣＧ＝４５°，ＡＣ 槡＝２ＢＣ＝１，ＣＦ 槡＝２ＣＥ＝３． ∴∠ＡＣＦ＝４５°＋４５°＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＣＦ中，ＡＦ＝ ＡＣ２＋ＣＦ槡 ２＝ １２＋３槡 ２ 槡＝ １０． ∵点Ｈ是ＡＦ的中点， ∴ＣＨ＝１２ＡＦ＝ 槡１０ ２． 模型三　等腰三角形底边上的中线 例３．解：如图，连接ＡＭ． ∵ＡＢ＝ＡＣ，点Ｍ为ＢＣ的中点， ∴ＡＭ⊥ＢＣ，ＢＭ＝ＣＭ＝１２ＢＣ＝５． 在Ｒｔ△ＡＭＣ中，由勾股定理， 得ＡＭ＝ 　 ＡＣ２－ＣＭ槡 ２＝ 　 １３２－５槡 ２＝１２． ∵ＭＮ⊥ＡＣ， ∴Ｓ△ＡＭＣ＝ １ ２ＣＭ·ＡＭ＝ １ ２ＡＣ·ＭＮ，即 １ ２×５×１２＝ １ ２×１３×ＭＮ． ∴ＭＮ＝６０１３． 变式训练 ７．Ｂ　８．槡７ ９．解：如图，连接ＡＥ． ∵ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１２，点Ｅ是ＢＣ中点， ∴ＡＥ⊥ＢＣ，ＢＥ＝ＣＥ＝６                                                                                                                                         ． —６—