第四章 第1节 几何图形初步-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

49　 　 !"#$%& 第 1 节　几何图形初步 线段、射线、直线 题目 1　 工人师傅在安装晾衣架时,一般先 在阳台天花板上选取两个点,然后再进行安 装. 这样做的数学原理是 (　 D　 ) A. 过一点有且只有一条直线 B. 两点之间,线段最短 C. 连接两点之间的线段的长度叫做两点间 的距离 D. 两点确定一条直线 1.两个基本事实 (1)①　 两点　 确定一条直线. (2)两点之间②　 线段　 最短. 2. 直线上一点及其一旁的部分叫做射线􀪍􀪍,这个 点叫做射线的③　 端点　 ;直线上两点及两 点间的部分叫做线段􀪍􀪍,这两个点叫做线段的 ④　 端点　 ,连接两点间的线段的长度叫做 两点间的⑤　 距离　 . 3.线段的中点:把一条线段分成两条相等的线 段的点叫做线段的⑥　 中点　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 角及角平分线 题目 2　 如图,已知射线 OC 交直线 AB 于点 O,OD 平分∠BOC,OE⊥OD,点 M,N 分别 为射线 OD,OB 上任意一点. (1)若∠DOB = 20°,则∠COE = , ∠AOD = ; (2)若∠COE = 55°,则∠AOE = ; (3)若 MN⊥OB,且 MN = 4,则点 M 到射线 OC 的距离为 . 1.角的概念:具有公共端点的两条⑦　 射线　 组成的图形叫做角. 这个公共端点称为角的 顶点,这两条射线是角的两边. 角也可以看成 是由一条⑧　 射线　 绕其端点旋转而形成的 几何图形. 2.角的度量:角的大小用度(°)、分( ′)、秒( ″) 来度量,它们之间是 60 进制,即 1° = 60′, 1′ = 60″. 3.余角、补角及其性质 (1)如果两个角的和等于⑨　 90°　 ,就说这 两个角互为余角􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. (2)如果两个角的和等于⑩　 180° 　 ,就说 这两个角互为补角􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. (3)性质:同角(或等角)的余角相等;同角 (或等角)的补角􀃊􀁉􀁓　 相等　 . 4.角平分线 (1)概念:从一个角的顶点出发,把这个角分 成相等的两个角的􀃊􀁉􀁔　 射线　 ,叫做这个角􀪍 的平分线􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. (2)角平分线定理及其逆定理 定理:角平分线上的点到角两边的􀃊􀁉􀁕　 距离 相等　 . 逆定理:在一个角的内部,到这个角两边 􀃊􀁉􀁖　 距离相等　 的点在这个角的平分线上. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 50　 相交线 题目 3　 根据图形填空: (1)若直线 EG,BD 被直线 AB 所截,则∠1 和∠2 是 ; (2)若直线 EG,BD 被直线 AC 所截,则∠3 和 是邻补角,∠3 和∠5 是 , ∠4 和∠6 是 ,∠3 和 是 同位角,∠5 和 是内错角; (3)若点 E 为线段 AB 的中点,EF⊥AB,连 接 BF,则 BF AF(填“ > ” “ < ”或 “ = ”) . 1.对顶角的性质:对顶角􀃊􀁉􀁗　 相等　 . 2.垂线及性质 (1)垂线:两条直线相交所成的四个角中,如 果有一个角是􀃊􀁉􀁘　 90°　 ,我们就说这两条直 线垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂 线,它们的交点叫做􀃊􀁉􀁙　 垂足　 . (2)垂线段:过直线外一点,作已知直线的垂 线,该点与垂足之间的线段. (3)点到直线的距离:直线外一点到这条直 线的垂线段的长度. (4)垂线的基本性质 ①在同一平面内,过一点有且只有一条直线􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 与已知直线垂直;􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ②直线外一点与直线上各点的所有连线中, 􀃊􀁉􀁚　 垂线段　 最短. (5)线段的垂直平分线 ①概念:经过线段的中点,并且􀃊􀁉􀁛　 垂直于　 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线. ②性质定理:线段垂直平分线上的点到􀃊􀁊􀁒　 线 段两端点　 的距离相等. ③逆定理:到一条线段两端点距离􀃊􀁊􀁓　 相等　 的点在线段的垂直平分线上. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 平行线 题目 4 　 如图,下列条件:① ∠1 = ∠2, ②∠3 + ∠4 = 180°,③ ∠5 + ∠6 = 180°, ④∠7 +∠4 -∠1 =180°, ⑤ ∠7 = ∠2 + ∠3,⑥∠2 = ∠3. 其中能判断直线 a∥b 的 有　 ①②③④⑤　 . (填序号) 1.平行公理及其推论 公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与 已知直线平行. 推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那 么这两条直线也互相平行. 2.平行线的判定 (1)同位角􀃊􀁊􀁔　 相等　 ,两直线平行; (2)内错角􀃊􀁊􀁕　 相等　 ,两直线平行; (3)同旁内角􀃊􀁊􀁖　 互补　 ,两直线平行; (4)在同一平面内,垂直于同一条直线的两 直线平行. 3.平行线的性质 (1)两直线平行,同位角􀃊􀁊􀁗　 相等　 ; (2)两直线平行,内错角􀃊􀁊􀁘　 相等　 ; (3)两直线平行,同旁内角􀃊􀁊􀁙　 互补　 . 【考点巩固练】 如图,AB∥CD,BE 与 DE 相交于点 E.若∠BED = 55°,则∠ABE +∠CDE 的度数为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51　 　 命题 题目 5　 已知命题:若 a > b,则 a2 > b2 . 这个 命题是　 假　 命题(填“真”或“假”);写出 该命题的逆命题为　 若 a2 > b2,则 a > b　 . 1.命题:判断一件事情的语句,叫做命题. 命题 有题设和结论两部分. 2.真命题:如果题设成立,那么结论一定成立, 这样的命题叫做真命题. 3.假命题:如果题设成立时,不能保证结论一定 成立,这样的命题叫做假命题. 4.互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的 题设是另一个命题的结论,且第一个命题的 结论是另一个命题的题设,那么这两个命题 叫做互逆命题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　命题点一 相交线求角度(10 年 4 考) 1. (2023 河南)如图,直线 AB,CD 相交于点 O. 若∠1 =80°,∠2 =30°,则∠AOE 的度数为 (　 　 ) A. 30°　 　 B. 50°　 　 C. 60°　 　 D. 80° 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. (2022 河南)如图,直线 AB,CD 相交于点 O, EO⊥CD,垂足为 O. 若∠1 = 54°,则∠2 的度 数为 (　 B　 ) A. 26° B. 36° C. 44° D. 54° 3. (2023 北京) 如图,∠AOC = ∠BOD = 90°, ∠AOD = 126°,则∠BOC 的大小为 (　 　 ) A. 36° B. 44° C. 54° D. 63° 　命题点二 平行线的性质与判定(10 年 4 考) 4. (2023 临沂)在同一平面内,过直线 l 外一点 P 作 l 的垂线 m,再过 P 作 m 的垂线 n,则直 线 l 与 n 的位置关系是 (　 　 ) A. 相交 B. 相交且垂直 C. 平行 D. 不能确定 5. (2021 河南)如图,a∥b,∠1 = 60°,则∠2 的 度数为 (　 D　 ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 6. (2020 河南)如图,l1∥l2,l3∥l4 . 若∠1 = 70°, 则∠2 的度数为 (　 B　 ) A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 7. (2023 宜昌)如图,小颖按如下方式操作直尺 和含 30°角的三角尺,依次画出了直线 a,b,c. 如果∠1 =70°,则∠2 的度数为 (　 　 ) A. 110° B. 70° C. 40° D. 30° 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. (2023 烟台)一杆古秤在称物时的状态如图所 示.已知∠1 =102°,则∠2 的度数为 . 　命题点三 命题 9. (2023 通辽)下列命题:①a3·a2 = a5;② - π > - 3. 14;③圆周角等于圆心角的一半;④将一 枚质地均匀的硬币抛掷一次时,正面朝上是 必然事件;⑤在一组数据中,如果每个数据都 增加 4,那么方差也增加 4. 其中真命题的个 数是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P28 （２）如图，直线ｍ即为所求． （３）证明：∵ＡＣ平分∠ＯＡＢ， ∴∠ＯＡＣ＝∠ＢＡＣ． ∵直线ｍ垂直平分线段ＡＣ， ∴ＤＡ＝ＤＣ．∴∠ＯＡＣ＝∠ＤＣＡ． ∴∠ＤＣＡ＝∠ＢＡＣ．∴ＣＤ∥ＡＢ． ! ５ "#-'M% 以题代讲抓考点 考点一　二次函数的图象与性质 题目１．（１）直线ｘ＝３ （２）①直线ｘ＝－２　②大　增大　③１３　④－５或１　－５＜ｘ＜１ ⑤ｙ２＞ｙ１＞ｙ３　⑥ｍ＜－５或ｍ＞１ 考点链接 ①一次项系数　②－ｂ２ａ　③ ４ａｃ－ｂ２ ４ａ 　④减小　⑤增大　⑥增大　⑦减小 ⑧＝　⑨原点　⑩两个 考点二　二次函数解析式的确定 题目２．（１）ｙ＝（ｘ＋３）（ｘ－２）　（２）ｙ＝－（ｘ＋１）（ｘ－４） （３）ｙ＝ｘ２－２ｘ－２　ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１　（４）ｙ＝－１２ｘ ２＋３２ｘ＋４ 考点链接 瑏瑡右　瑏瑢下 考点三　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 题目３．（１）－２或４　（２）－２＜ｘ＜４ 考点链接 瑏瑣两个不相等　瑏瑤两个相等　瑏瑥没有　瑏瑦上方　瑏瑧下方 多向思维解真题 １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．Ｂ　５．－１＜ｎ＜０　６．ｙ＝－ｘ２＋１（答案不唯一）　７．Ｂ ８．解：（１）在一次函数ｙ＝－０．４ｘ＋２．８中， 令ｘ＝０，则ｙ＝２．８，∴Ｐ（０，２．８）． 将Ｐ（０，２．８）代入ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋３．２中， 可得ａ＋３．２＝２．８，解得ａ＝－０．４． （２）∵ＯＡ＝３ｍ，ＣＡ＝２ｍ， ∴ＯＣ＝５ｍ． 若选择扣球，令ｙ＝０，则－０．４ｘ＋２．８＝０，解得ｘ＝７， 即落地点距离点Ｏ为７ｍ， ∴落地点到Ｃ点的距离为７－５＝２（ｍ）； 若选择吊球，令ｙ＝０，则－０．４（ｘ－１）２＋３．２＝０，解得ｘ 槡＝±２２＋１（负值舍去）， 即落地点距离点Ｏ为（槡２２＋１）ｍ， ∴落地点到Ｃ点的距离为５－（槡２２＋１）＝（ 槡４－２２）ｍ． 槡∵４－２２＜２， ∴选择吊球，可以使球的落地点到Ｃ点的距离更近． ９．解：（１）由题意，可知抛物线的顶点为（５，３．２）． 设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－５）２＋３．２， 将（０，０．７）代入，得０．７＝２５ａ＋３．２， 解得ａ＝－１１０． ∴抛物线的表达式为 ｙ＝－１１０（ｘ－５） ２＋３．２＝－１１０ｘ ２＋ｘ＋７１０． （２）当ｙ＝１．６时，－１１０ｘ ２＋ｘ＋７１０＝１．６， 解得ｘ＝１或ｘ＝９． ∴她与爸爸的水平距离为 ３－１＝２（ｍ）或 ９－３＝６（ｍ）． 答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是２ｍ或６ｍ． １０．解：（１）４００． （２）由题意，得 Ｗ＝ｐ（ｘ－４０）＝ ５００－１０（ｘ－５０[ ]）（ｘ－４０）＝－１０ｘ２＋ １４００ｘ－４００００＝－１０（ｘ－７０）２＋９０００． ∵－１０＜０， ∴在对称轴左侧，Ｗ随ｘ的增大而增大． 又∵ｐ≥３５０， ∴５００－１０（ｘ－５０）≥３５０，解得ｘ≤６５． ∴当ｘ＝６５时，Ｗ最大，最大值为８７５０． ∴当每盒售价定为６５元时，日销售利润Ｗ（元）最大，最大利润是８７５０元． （３）他们的说法都正确．理由如下： 设日销售额为ｙ元，则ｙ＝ ５００－１０（ｘ－５０[ ]）ｘ＝－１０ｘ２＋１０００ｘ＝－１０（ｘ－ ５０）２＋２５０００． ∵－１０＜０，∴当ｘ＝５０时，ｙ最大，最大值为２５０００． ∴当日销售利润最大时，日销售额不是最大． ∴小强的说法正确． 当Ｗ＝８０００时，８０００＝－１０（ｘ－７０）２＋９０００，解得ｘ１＝６０，ｘ２＝８０． ∵抛物线开口向下， ∴当６０≤ｘ≤８０时，８０００≤Ｗ≤９０００． ∴当日销售利润不低于８０００元时，每盒售价ｘ的范围是６０≤ｘ≤８０． ∴小红的说法正确． 考法拓展 １．Ｃ　２．Ｃ　３．１９ !J#$ 3;K ! １ " VWNI]^ 以题代讲抓考点 考点一　线段、射线、直线 题目１．Ｄ 考点链接 ①两点　②线段　③端点　④端点　⑤距离　⑥中点 考点二　角及角平分线 题目２．（１）７０°　１６０°　（２）５５°　（３）４ 考点链接 ⑦射线　⑧射线　⑨９０°　⑩１８０°　瑏瑡相等　瑏瑢射线 瑏瑣距离相等　瑏瑤距离相等 考点三　相交线 题目３．（１）同位角　（２）∠４　对顶角　同旁内角　∠６　∠６　（３）＝ 考点链接 瑏瑥相等　瑏瑦９０°　瑏瑧垂足　瑏瑨垂线段　瑏瑩垂直于 瑐瑠线段两端点　瑐瑡相等 考点四　平行线 题目４．①②③④⑤ 考点链接 瑐瑢相等　瑐瑣相等　瑐瑤互补　瑐瑥相等　瑐瑦相等　瑐瑧互补 考点巩固练 ３０５° 考点五　命题 题目５．假　若ａ２＞ｂ２，则ａ＞ｂ 多向思维解真题 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．Ｃ　５．Ｄ　６．Ｂ　７．Ｃ　８．７８°　９．Ａ 5673$ LMNOPQRSTUVTW 模型一　两定一动 例１．解：根据两点之间线段最短，可知当 Ｅ，Ｆ，Ｃ三点共线时，ＥＦ＋ＣＦ的值最 小，且最小值为ＣＥ的长． 如图，连接ＣＥ交ＡＤ于点Ｆ． ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝４． ∵Ｅ是 ＡＢ边上一点，且 ＡＥ＝２， ∴点Ｅ是ＡＢ边的中点．∴ＣＥ⊥ＡＢ． ∴在Ｒｔ△ＢＣＥ中，ＣＥ＝ 　 ＢＣ２－ＢＥ槡 ２＝ 　 ４２－２槡 ２＝２　槡３． ∴ＥＦ＋ＣＦ的最小值为２　槡３． 变式训练 １．槡３　２．８　３．４ 模型二　一定两动 例２．解：如图，连接ＢＤ，分别作点Ｃ关于ＡＢ，ＡＤ的对称点Ｅ， Ｆ，连接ＥＭ，ＦＮ，则ＣＭ＝ＥＭ，ＣＮ＝ＦＮ． ∴ＣＭ＋ＭＮ＋ＣＮ＝ＥＭ＋ＭＮ＋ＦＮ． ∴当点Ｅ，Ｍ，Ｎ，Ｆ在同一直线上时，ＥＭ＋ＭＮ＋ＦＮ的最小值等于 线段ＥＦ的长． ∵点Ｂ，Ｄ分别是ＣＥ，ＣＦ的中点， ∴ＢＤ是△ＣＥＦ的中位线， ∴ＥＦ＝２ＢＤ． 又∵∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝ＡＤ 槡＝３， ∴△ＡＢＤ是等边三角形． ∴ＢＤ 槡＝３，∴ＥＦ 槡＝２ ３． ∴ＣＭ＋ＭＮ＋ＣＮ的最小值为 槡２ ３． ∴△ＣＭＮ周长的最小值为 槡２ ３． 变式训练 ４ 槡．２ ７ 模型三　两定两动 例３．解：如图，将点Ｂ沿ＢＣ向右平移２个单位长度得到点Ｂ′，作点Ｂ′关于ＡＤ 的对称点Ｂ″，连接ＣＢ″，交ＡＤ于点Ｆ，在ＡＤ上截取ＥＦ＝２，连接Ｂ′Ｆ，则ＢＥ＝Ｂ′Ｆ， Ｂ″Ｆ＝Ｂ′Ｆ，此时四边形ＢＥＦＣ的周长为 ＢＥ＋ＥＦ＋ＦＣ＋ＢＣ＝Ｂ″Ｆ＋ＥＦ＋ＦＣ＋ ＢＣ＝Ｂ″Ｃ＋ＥＦ＋ＢＣ，当点Ｃ，Ｆ，Ｂ″三点共线时，四边形ＢＥＦＣ的周长最小． ∵ＡＢ＝４，ＢＢ′＝２，∠ＡＢＣ＝６０°， ∴Ｂ′Ｂ″经过点Ａ． ∴ＡＢ′ 槡＝２ ３． ∴Ｂ′Ｂ″ 槡＝４ ３． ∵ＢＣ＝１２，∴Ｂ′Ｃ＝１０． ∴Ｂ″Ｃ＝ Ｂ′Ｂ″２＋Ｂ′Ｃ槡 ２ 槡＝２ ３７． ∴Ｂ″Ｃ＋ＥＦ＋ＢＣ 槡＝１４＋２ ３７． ∴四边形ＢＥＦＣ周长的最小值为 槡１４＋２ ３７． 变式训练 ５．１６　６．Ｂ　７槡                                                                                                                                         ． １０ —５—