第三章 第5节 二次函数-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

　 　 44　 第 5 节　二次函数 二次函数的图象与性质 题目 1　 已知抛物线 y = ax2 + bx + c(a≠0). (1)若该抛物线经过点(2,n),(4,n),则其 对称轴为 . (2)已知抛物线的解析式为 y = - x2 -4x + c. ①抛物线的对称轴为 ; ②当 x > - 3 时,y 有最 值;当 x < - 3 时,y 随 x 的增大而 ; ③当 - 1≤x≤2 时,y 的最小值为 1,则 c 的 值为 ; ④若抛物线经过点( - 5,2),则当 y = 2 时, x = ;当 y > 2 时, x 的取值范围 是 ; ⑤若( -3,y1),( -2,y2),(1,y3)是抛物线上的 点,则 y1,y2,y3的大小关系为 ; ⑥若 P( -5,y1),Q(m,y2)是抛物线上两点,且 y1 > y2,则实数m的取值范围是 . 1.二次函数的概念 一般地,形如 y = ax2 + bx + c(a,b,c 是常数, a≠0)的函数叫做二次函数,其中 x 是自变 量,a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、 ①　 一次项系数　 和常数项. 特别地,当 a≠0, b = c =0 时,y = ax2 是二次函数的特殊形式. 2.二次函数的图象与性质 (1)二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0)的图象 是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线, 其一般形式为 y = ax2 + bx + c(a≠0),由配方 法可化成 y = a(x - h) 2 + k(a≠0)的形式,其 中 h =②　 　 　 　 　 ,k =③　 　 　 　 　 . (2)二次函数 y = a( x - h) 2 + k ( a≠0) 或 y = ax2 + bx + c(a≠0)的图象与性质 a > 0 a < 0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 x = h 或 x = - b2a 顶点 坐标 (h,k)或 - b2a, 4ac - b2 4a( ) 最值 当 x = h 时,y 取 最小 值 k 或 当 x = - b2a时,y 取 最小值 4ac - b2 4a x = h 时,y 取最 大值 k 或当 x = - b2a 时, y 取最 大值 4ac - b2 4a 增减性 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而④　 减小　 ;在对称轴 右侧,y 随 x 的增 大而⑤　 增大　 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而⑥　 增大　 ;在对称轴 右侧,y 随 x 的增 大而⑦　 减小　 (3)二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0)的图象 与系数 a,b,c 符号的关系 a 决定抛 物线的开 口方向 a > 0 开口向上 a < 0 开口向下 a, b 共同 决定抛物 线对称轴 的位置 b ⑧ = 0 对称轴为 y 轴 ab > 0 对称轴在 y 轴左侧 ab < 0 对称轴在 y 轴右侧 左同 右异 c 决定抛 物线与 y 轴交点的 位置 c = 0 经过⑨　 原点　 c > 0 与 y 轴正半轴相交 c < 0 与 y 轴负半轴相交 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45　 　 (续表) b2 - 4ac 决定抛物 线与 x 轴 的 交 点 个数 b2 - 4ac = 0 与 x 轴有唯一交点(即 顶点) b2 - 4ac > 0 与 x 轴有⑩　 两个 　 交点 b2 - 4ac < 0 与 x 轴没有交点 特殊关系 当 x = 1 时,y = a + b + c 当 x = - 1 时,y = a - b + c 若 a + b + c > 0,则当 x = 1 时,y > 0 若 a - b + c <0,则当 x = -1 时,y <0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二次函数解析式的确定 题目 2　 已知抛物线 y = ax2 + bx + c. (1)若抛物线 y = x2 + bx + c 与 x 轴交于点 ( - 3,0),(2,0),则抛物线的解析式为 　 y = (x + 3)(x - 2)　 ; (2)若抛物线 y = ax2 + bx + 4 经过点( - 1, 0),(4,0),则抛物线的解析式为　 y = - (x +1)·(x - 4)　 ; (3)若抛物线 y = ax2 - 2x + c 与 y 轴交于点 (0, - 2),抛物线的对称轴为直线 x = 1,则 抛物线的解析式为　 y = x2 - 2x - 2　 ;若将 此抛物线向右平移 1 个单位长度,则平移后 的抛物线解析式为　 y = x2 - 4x + 1　 ; (4)若抛物线 y = ax2 + bx +4 经过点( -1,2), (3,4),则抛物线的解析式为　 　 　 　 　 　 　 . 1.用待定系数法确定抛物线的解析式 (1)一般式􀪍􀪍􀪍􀪍:y = ax 2 + bx + c(a,b,c 为常数, a≠0) . 已知图象上任意三个点的坐标,则设一 般式,将其他已知条件代入,求出 a,b,c 的值. (2)顶点式􀪍􀪍􀪍:y = a(x - h) 2 + k(a,h,k 为常数, a≠0) . 已知图象的顶点坐标或对称轴或最 值,则选择顶点式,将其他已知条件代入,求 出待定系数 a 的值即可. (3)交点式(双根式)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍:y = a(x - x1)(x - x2)(a≠ 0,x1,x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标) . 已 知图象与 x 轴的交点坐标(x1,0),(x2,0),则 设交点式,将第三个点的坐标或其他已知条 件代入,求出待定系数 a 的值即可. 2.二次函数图象的平移 平移前的 解析式 平移方向 及距离 平移后的 解析式 口诀 顶点坐标 y = a(x - h ) 2 + k (a≠0) 向左 平 移 m 个 单 位 长度 y =a(x -h + m)2 +k 左“ + ” (h -m,k) 向􀃊􀁉􀁓 　 右 平移 m 个 单位长度 y =a(x -h - m)2 +k 右“ - ” (h +m,k) y = a(x - h ) 2 + k (a≠0) 向上 平 移 m 个 单 位 长度 y = a ( x - h) 2 + k +m 上“ + ” (h,k +m) 向􀃊􀁉􀁔 　 下 平移 m 个 单位长度 y = a ( x - h) 2 + k -m 下“ - ” (h,k -m) 平移前后 a 值不变 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 题目 3　 已知抛物线 y = - x2 + bx + c 与直 线y = x + b交于点( - 2,m),(4,n),回答下 列问题: (1)关于 x 的方程 - x2 + bx + c = x + b 的解 为x = 　 - 2 或 4　 ; (2)关于 x 的不等式 - x2 + bx + c > x + b 的 解集为　 - 2 < x < 4　 . 1.二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)的解是 二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0)的图象与 x 轴(即 y = 0)交点的横坐标. (1)当 b2 - 4ac > 0 时,抛物线 y = ax2 + bx + c(a≠0)与 x 轴有两个交点,方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)有􀃊􀁉􀁕　 两个不相等　 的实数根. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 46　 (2)当 b2 - 4ac = 0 时,抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)与 x 轴有一个交点,方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)有􀃊􀁉􀁖　 两个相等　 的实数根. (3)当 b2 - 4ac < 0 时,抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)与 x 轴没有交点,方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)􀃊􀁉􀁗　 没有　 实数根. 2.二次函数与不等式的关系 (1)不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为函数y = ax2 + bx + c 的图象位于 x 轴􀃊􀁉􀁘　 上方　 对应 的点的横坐标的取值范围. (2)不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集为函数y = ax2 + bx + c 的图象位于 x 轴􀃊􀁉􀁙　 下方　 对应 的点的横坐标的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　命题点一 二次函数的图象与性质（10 年 10 考） 1. (2023 河南)二次函数 y = ax2 + bx 的图象如 图所示,则一次函数 y = x + b 的图象一定不 经过 (　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. (2019 河南)已知抛物线 y = - x2 + bx +4 经过 ( -2,n)和(4,n)两点,则 n 的值为 (　 B　 ) A. - 2 B. - 4 C. 2 D. 4 3. (2023 兰州)已知二次函数 y = -3(x -2)2 -3, 下列说法正确的是 (　 　 ) A. 对称轴为 x = - 2 B. 顶点坐标为(2,3) C. 函数的最大值是 - 3 D. 函数的最小值是 - 3 4. (2023 衡阳)已知 m > n > 0,若关于 x 的方程 x2 + 2x - 3 - m = 0 的解为 x1,x2 ( x1 < x2),关 于 x 的方程 x2 + 2x - 3 - n = 0 的解为 x3, x4(x3 < x4),则下列结论正确的是 (　 　 ) A. x3 < x1 < x2 < x4 B. x1 < x3 < x4 < x2 C. x1 < x2 < x3 < x4 D. x3 < x4 < x1 < x2 5. (2023 福建)已知抛物线 y = ax2 -2ax + b(a > 0)经过 A(2n + 3,y1),B(n - 1,y2)两点. 若 A, B 分别位于抛物线对称轴的两侧,且 y1 < y2, 则 n 的取值范围是 . 6. (2023 上海)一个二次函数 y = ax2 + bx + c 的 顶点在 y 轴正半轴上,且其对称轴左侧的部 分是上升的,那么这个二次函数的解析式可 以是 . 1. (2023 日照)在平面直角坐标系 xOy 中,抛 物线 y = ax2 + bx(a≠0)满足 3a + b > 0, a + b < 0.{ 已 知点( - 3,m),(2,n),(4, t)在该抛物线 上,则 m,n,t 的大小关系为 (　 　 ) A. t < n < m　 　 　 　 B. m < t < n C. n < t < m D. n < m < t 2. (2023 通辽)如图,抛物线 y = ax2 + bx + c(a≠0)与 x 轴交于点(x1,0),(2,0),其中 0 < x1 < 1,下列四个结论:①abc < 0;②a + b + c > 0;③2b + 3c < 0;④不等式 ax2 + bx + c < - c2 x + c 的解集为 0 < x < 2. 其中正确 结论的个数是 (　 　 ) A. 1　 　 　 B. 2　 　 　 C. 3　 　 　 D. 4 　命题点二 二次函数图象的平移 7. (2023 徐州)在平面直角坐标系中,将二次函 数 y = (x + 1) 2 + 3 的图象向右平移 2 个单位 长度,再向下平移 1 个单位长度,所得拋物线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47　 　 对应的函数表达式为 (　 　 ) A. y = (x + 3) 2 + 2　 　 　 B. y = (x - 1) 2 + 2 C. y = (x - 1) 2 + 4 D. y = (x + 3) 2 + 4 3. (2023 长春)2023 年 5 月 8 日,C919 商业 首航完成———中国民航商业运营国产大飞 机正式起步. 12 时 31 分航班抵达北京首都 机场,穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗 尘”,是国际民航中高级别的礼仪) . 如图 1, 在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面 向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看 作形状相同的抛物线的一部分. 如图 2,当 两辆消防车喷水口 A, B 的水平距离为 80 米时,两条水柱在物线的顶点 H 处相 遇,此时相遇点 H 距地面 20 米,喷水口 A, B 距地面均为 4 米. 若两辆消防车同时后 退 10 米,两条水柱的形状及喷水口 A′,B′ 到地面的距离均保持不变,则此时两条水 柱相遇点 H′距地面 米. 图 1 　 图 2 　解题讲方法 确定平移后抛物线的解析式的方法 1.平移顶点法 (1) 将 抛 物 线 的 解 析 式 化 成 顶 点 式 y = a(x - h) 2 + k,得到顶点坐标(h,k); (2)将点( h,k) 平移,得到平移后抛物线的 顶点; (3)利用顶点式,确定平移后抛物线的解析式. 2.平移任意两点法 先求出原抛物线上任意两点平移后的坐标, 利用待定系数法,确定抛物线的解析式. 3.直接平移法 利用“左加右减,上加下减”的平移规律,直接 将一般式进行平移(注意:左右平移变自变量,􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 上下平移变常数项􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍) . 如将抛物线 y = ax 2 + bx 向右平移 h(h > 0)个单位,得到抛物线 y = a(x - h) 2 + b(x - h),向下平移 k(k > 0)个单 位长度,得到抛物线 y = ax2 + bx - k. 　命题点三 二次函数的实际应用(10 年 3 考) 8. (2023 河南)小林同学不仅是一名羽毛球运 动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比 赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析. 如图,在平面直角坐标系中,点 A,C 在 x 轴上, 球网 AB 与 y 轴的水平距离 OA =3 m,CA =2 m, 击球点 P 在 y 轴上. 若选择扣球,羽毛球的飞 行高度 y(m)与水平距离 x(m)近似满足一次 函数关系 y = - 0. 4x + 2. 8;若选择吊球,羽毛 球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)近似满 足二次函数关系 y = a(x - 1) 2 + 3. 2. (1)求点 P 的坐标和 a 的值; (2)小林分析发现,上面两种击球方式均能 使球过网. 要使球的落地点到 C 点的距离更 近,请通过计算判断应选择哪种击球方式. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 48　 9. (2022 河南)小红看到一处喷水景观,喷出的 水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷 水头P 距地面0.7 m,水柱在距喷水头P 水平距 离5 m 处达到最高,最高点距地面 3. 2 m. 建立 如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的 表达式为 y = a( x - h) 2 + k,其中 x(m)是水 柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面 的高度. (1)求抛物线的表达式; (2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头 P 水 平距离 3 m. 身高 1. 6 m 的小红在水柱下方走 动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸 爸的水平距离. 10. (2023 十堰)“端午节”吃粽子是中国传统习 俗,在“端午节”来临前,某超市购进一种品 牌粽子,每盒进价是 40 元,并规定每盒售价 不得少于 50 元,日销售量不低于 350 盒,根 据以往销售经验发现,当每盒售价定为 50 元 时,日销售量为 500 盒,每盒售价每提高 1 元,日销售量减少 10 盒,设每盒售价为 x 元,日销售量为 p 盒. (1)当 x = 60 时,p = ; (2)当每盒售价定为多少元时,日销售利润 W(元)最大? 最大利润是多少? (3)小强说:“当日销售利润最大时,日销售 额不是最大. ”小红说:“当日销售利润不低于 8 000元时,每盒售价 x 的范围为 60≤x≤80. ” 你认为他们的说法正确吗? 若正确,请说明 理由;若不正确,请直接写出正确的结论. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P24 （２）如图，直线ｍ即为所求． （３）证明：∵ＡＣ平分∠ＯＡＢ， ∴∠ＯＡＣ＝∠ＢＡＣ． ∵直线ｍ垂直平分线段ＡＣ， ∴ＤＡ＝ＤＣ．∴∠ＯＡＣ＝∠ＤＣＡ． ∴∠ＤＣＡ＝∠ＢＡＣ．∴ＣＤ∥ＡＢ． ! ５ "#-'M% 以题代讲抓考点 考点一　二次函数的图象与性质 题目１．（１）直线ｘ＝３ （２）①直线ｘ＝－２　②大　增大　③１３　④－５或１　－５＜ｘ＜１ ⑤ｙ２＞ｙ１＞ｙ３　⑥ｍ＜－５或ｍ＞１ 考点链接 ①一次项系数　②－ｂ２ａ　③ ４ａｃ－ｂ２ ４ａ 　④减小　⑤增大　⑥增大　⑦减小 ⑧＝　⑨原点　⑩两个 考点二　二次函数解析式的确定 题目２．（１）ｙ＝（ｘ＋３）（ｘ－２）　（２）ｙ＝－（ｘ＋１）（ｘ－４） （３）ｙ＝ｘ２－２ｘ－２　ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１　（４）ｙ＝－１２ｘ ２＋３２ｘ＋４ 考点链接 瑏瑡右　瑏瑢下 考点三　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 题目３．（１）－２或４　（２）－２＜ｘ＜４ 考点链接 瑏瑣两个不相等　瑏瑤两个相等　瑏瑥没有　瑏瑦上方　瑏瑧下方 多向思维解真题 １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．Ｂ　５．－１＜ｎ＜０　６．ｙ＝－ｘ２＋１（答案不唯一）　７．Ｂ ８．解：（１）在一次函数ｙ＝－０．４ｘ＋２．８中， 令ｘ＝０，则ｙ＝２．８，∴Ｐ（０，２．８）． 将Ｐ（０，２．８）代入ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋３．２中， 可得ａ＋３．２＝２．８，解得ａ＝－０．４． （２）∵ＯＡ＝３ｍ，ＣＡ＝２ｍ， ∴ＯＣ＝５ｍ． 若选择扣球，令ｙ＝０，则－０．４ｘ＋２．８＝０，解得ｘ＝７， 即落地点距离点Ｏ为７ｍ， ∴落地点到Ｃ点的距离为７－５＝２（ｍ）； 若选择吊球，令ｙ＝０，则－０．４（ｘ－１）２＋３．２＝０，解得ｘ 槡＝±２２＋１（负值舍去）， 即落地点距离点Ｏ为（槡２２＋１）ｍ， ∴落地点到Ｃ点的距离为５－（槡２２＋１）＝（ 槡４－２２）ｍ． 槡∵４－２２＜２， ∴选择吊球，可以使球的落地点到Ｃ点的距离更近． ９．解：（１）由题意，可知抛物线的顶点为（５，３．２）． 设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－５）２＋３．２， 将（０，０．７）代入，得０．７＝２５ａ＋３．２， 解得ａ＝－１１０． ∴抛物线的表达式为 ｙ＝－１１０（ｘ－５） ２＋３．２＝－１１０ｘ ２＋ｘ＋７１０． （２）当ｙ＝１．６时，－１１０ｘ ２＋ｘ＋７１０＝１．６， 解得ｘ＝１或ｘ＝９． ∴她与爸爸的水平距离为 ３－１＝２（ｍ）或 ９－３＝６（ｍ）． 答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是２ｍ或６ｍ． １０．解：（１）４００． （２）由题意，得 Ｗ＝ｐ（ｘ－４０）＝ ５００－１０（ｘ－５０[ ]）（ｘ－４０）＝－１０ｘ２＋ １４００ｘ－４００００＝－１０（ｘ－７０）２＋９０００． ∵－１０＜０， ∴在对称轴左侧，Ｗ随ｘ的增大而增大． 又∵ｐ≥３５０， ∴５００－１０（ｘ－５０）≥３５０，解得ｘ≤６５． ∴当ｘ＝６５时，Ｗ最大，最大值为８７５０． ∴当每盒售价定为６５元时，日销售利润Ｗ（元）最大，最大利润是８７５０元． （３）他们的说法都正确．理由如下： 设日销售额为ｙ元，则ｙ＝ ５００－１０（ｘ－５０[ ]）ｘ＝－１０ｘ２＋１０００ｘ＝－１０（ｘ－ ５０）２＋２５０００． ∵－１０＜０，∴当ｘ＝５０时，ｙ最大，最大值为２５０００． ∴当日销售利润最大时，日销售额不是最大． ∴小强的说法正确． 当Ｗ＝８０００时，８０００＝－１０（ｘ－７０）２＋９０００，解得ｘ１＝６０，ｘ２＝８０． ∵抛物线开口向下， ∴当６０≤ｘ≤８０时，８０００≤Ｗ≤９０００． ∴当日销售利润不低于８０００元时，每盒售价ｘ的范围是６０≤ｘ≤８０． ∴小红的说法正确． 考法拓展 １．Ｃ　２．Ｃ　３．１９ !J#$ 3;K ! １ " VWNI]^ 以题代讲抓考点 考点一　线段、射线、直线 题目１．Ｄ 考点链接 ①两点　②线段　③端点　④端点　⑤距离　⑥中点 考点二　角及角平分线 题目２．（１）７０°　１６０°　（２）５５°　（３）４ 考点链接 ⑦射线　⑧射线　⑨９０°　⑩１８０°　瑏瑡相等　瑏瑢射线 瑏瑣距离相等　瑏瑤距离相等 考点三　相交线 题目３．（１）同位角　（２）∠４　对顶角　同旁内角　∠６　∠６　（３）＝ 考点链接 瑏瑥相等　瑏瑦９０°　瑏瑧垂足　瑏瑨垂线段　瑏瑩垂直于 瑐瑠线段两端点　瑐瑡相等 考点四　平行线 题目４．①②③④⑤ 考点链接 瑐瑢相等　瑐瑣相等　瑐瑤互补　瑐瑥相等　瑐瑦相等　瑐瑧互补 考点巩固练 ３０５° 考点五　命题 题目５．假　若ａ２＞ｂ２，则ａ＞ｂ 多向思维解真题 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．Ｃ　５．Ｄ　６．Ｂ　７．Ｃ　８．７８°　９．Ａ 5673$ LMNOPQRSTUVTW 模型一　两定一动 例１．解：根据两点之间线段最短，可知当 Ｅ，Ｆ，Ｃ三点共线时，ＥＦ＋ＣＦ的值最 小，且最小值为ＣＥ的长． 如图，连接ＣＥ交ＡＤ于点Ｆ． ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝４． ∵Ｅ是 ＡＢ边上一点，且 ＡＥ＝２， ∴点Ｅ是ＡＢ边的中点．∴ＣＥ⊥ＡＢ． ∴在Ｒｔ△ＢＣＥ中，ＣＥ＝ 　 ＢＣ２－ＢＥ槡 ２＝ 　 ４２－２槡 ２＝２　槡３． ∴ＥＦ＋ＣＦ的最小值为２　槡３． 变式训练 １．槡３　２．８　３．４ 模型二　一定两动 例２．解：如图，连接ＢＤ，分别作点Ｃ关于ＡＢ，ＡＤ的对称点Ｅ， Ｆ，连接ＥＭ，ＦＮ，则ＣＭ＝ＥＭ，ＣＮ＝ＦＮ． ∴ＣＭ＋ＭＮ＋ＣＮ＝ＥＭ＋ＭＮ＋ＦＮ． ∴当点Ｅ，Ｍ，Ｎ，Ｆ在同一直线上时，ＥＭ＋ＭＮ＋ＦＮ的最小值等于 线段ＥＦ的长． ∵点Ｂ，Ｄ分别是ＣＥ，ＣＦ的中点， ∴ＢＤ是△ＣＥＦ的中位线， ∴ＥＦ＝２ＢＤ． 又∵∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝ＡＤ 槡＝３， ∴△ＡＢＤ是等边三角形． ∴ＢＤ 槡＝３，∴ＥＦ 槡＝２ ３． ∴ＣＭ＋ＭＮ＋ＣＮ的最小值为 槡２ ３． ∴△ＣＭＮ周长的最小值为 槡２ ３． 变式训练 ４ 槡．２ ７ 模型三　两定两动 例３．解：如图，将点Ｂ沿ＢＣ向右平移２个单位长度得到点Ｂ′，作点Ｂ′关于ＡＤ 的对称点Ｂ″，连接ＣＢ″，交ＡＤ于点Ｆ，在ＡＤ上截取ＥＦ＝２，连接Ｂ′Ｆ，则ＢＥ＝Ｂ′Ｆ， Ｂ″Ｆ＝Ｂ′Ｆ，此时四边形ＢＥＦＣ的周长为 ＢＥ＋ＥＦ＋ＦＣ＋ＢＣ＝Ｂ″Ｆ＋ＥＦ＋ＦＣ＋ ＢＣ＝Ｂ″Ｃ＋ＥＦ＋ＢＣ，当点Ｃ，Ｆ，Ｂ″三点共线时，四边形ＢＥＦＣ的周长最小． ∵ＡＢ＝４，ＢＢ′＝２，∠ＡＢＣ＝６０°， ∴Ｂ′Ｂ″经过点Ａ． ∴ＡＢ′ 槡＝２ ３． ∴Ｂ′Ｂ″ 槡＝４ ３． ∵ＢＣ＝１２，∴Ｂ′Ｃ＝１０． ∴Ｂ″Ｃ＝ Ｂ′Ｂ″２＋Ｂ′Ｃ槡 ２ 槡＝２ ３７． ∴Ｂ″Ｃ＋ＥＦ＋ＢＣ 槡＝１４＋２ ３７． ∴四边形ＢＥＦＣ周长的最小值为 槡１４＋２ ３７． 变式训练 ５．１６　６．Ｂ　７槡                                                                                                                                         ． １０ —５—