第三章 第4节 反比例函数-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

41　 　 第 4 节　反比例函数 反比例函数的图象与性质 题目 1　 在如图所示的坐标平面内有一点 P(1,3),已知反比例函数 y = kx (k≠0)的图 象经过点 P. (1)补全下表: x … -3 -2 - 1 12 2 3 … y = kx … -1 - 3 2 - 3 6 3 2 1 … (2)描点并画出函数图象; (3)该函数图象位于第 　 一、三 　 象限;当 x < 0 时,y 随 x 的增大而　 减小　 ;当 x > 0 时,y 　 > 　 0,当 x < 0 时,y 　 < 　 0; (4)若点(m,n)在该反比例函数图象上,则 点( - m, - n)　 在　 (填“在”或“不在”)该 反比例函数图象上. 1.反比例函数的概念 一般地,形如 y = kx (k 为常数,k≠0)的函数叫 做反比例函数.其中 x 是自变量,y 是函数,自变 量 x 的取值范围是不等于①　 0　 的一切实数. 2.反比例函数的图象与性质 解析式 y = kx (k 为常数,k≠0) k k > 0 k < 0 图象 位置 第②　 一、三 　 象 限(x,y 同号) 第③　 二、四 　 象 限(x,y 异号) 增减性 在每一个象限内,y 随 x 的增大而④　 　 ,且 第一象限的 y 值大于 第三象限的 y 值 在每一个象限内,y 随 x的增大而⑤　 　 ,且 第二象限的 y 值大 于第四象限的 y 值 对称性 (1)关于直线 y = x,y = - x 成轴对称; (2)关于⑥　 原点　 成中心对称; (3)在同一平面直角坐标系中,正比例函 数与反比例函数的图象若有交点,则两个 交点关于原点对称 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 反比例函数解析式的确定及 k 的几何意义 题目 2　 如图,若反比例函数 y = kx (x < 0) 的图象经过点 A,AB⊥x 轴于点 B,且△AOB 的面积为 6,则 k = 　 - 12　 . 1.用待定系数法确定反比例函数的解析式 (1)基本思路 因为反比例函数 y = kx (k≠0)中只有一个待定 系数 k,所以只需一对 x,y 的对应值就可以确定 系数 k 的值,从而确定反比例函数的解析式. (2)一般步骤 一设:􀪍􀪍􀪍 设 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y = k x (k≠0); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 42　 二列:􀪍􀪍􀪍把已知 x 与 y 的一对对应值同时代入 y = kx (k≠0),得到关于 k 的方程; 三解:􀪍􀪍􀪍解方程,求出 k 的值; 四代:􀪍􀪍􀪍将求出的 k 值代入所设解析式中,即可 得到所求反比例函数的解析式. 2.利用 k的几何意义确定反比例函数的解析式 根据已知条件与关于 k 的几何意义的基本图 形确定⑦　 k 　 ,结合函数图象所在象限确 定 k 的符号,从而确定 k 的值. 3.反比例函数中 k 的几何意义 (1)如图 1,过反比例函数图象上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,两条垂线与 x 轴、y 轴围 成的矩形的面积等于⑧　 k 　 . (2)如图 1,若点 A 是反比例函数图象上任意 一点,过点 A 作 x 轴(或 y 轴)的垂线,则所作 垂线、x 轴(或 y 轴)与线段 OA 围成的三角形 的面积等于⑨　 　 　 　 　 . (3)如图 2,双曲线 y = kx (k≠0)和直线 y = mx 交于点 P,P′,过点 P 向 x 轴作垂线,过点 P′向 y 轴作垂线,两垂线的交点为 A,则 S△APP′ =⑩　 2 k 　 . 图 1 　 　 图 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　命题点一 反比例函数的图象与性质（10年 3考） 1. (2022 河南)呼气式酒精测试仪中装有酒精 气体传感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾 车. 酒精气体传感器是一种气敏电阻(图 1 中 的 R1),R1 的阻值随呼气酒精浓度 K 的变化 而变化(如图 2),血液酒精浓度 M 与呼气酒 精浓度 K 的关系见图 3. 下列说法不正确的 是 (　 C　 ) 图 3 A. 呼气酒精浓度 K 越大,R1 的阻值越小 B. 当 K = 0 时,R1 的阻值为 100 C. 当 K = 10 时,该驾驶员为非酒驾状态 D. 当 R1 = 20 时,该驾驶员为醉驾状态 2. (2020 河南) 若点 A ( - 1, y1 ),B (2, y2 ), C(3,y3)在反比例函数 y = - 6 x 的图象上,则 y1,y2,y3的大小关系是 (　 C　 ) A. y1 > y2 > y3 　 　 　 　 　 B. y2 > y3 > y1 C. y1 > y3 > y2 D. y3 > y2 > y1 3. (2023 温州)在温度不变的条件下,通过一次 又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加压后气 体对汽缸壁所产生的压强 p(kPa)与汽缸内 气体的体积 V(mL)成反比例,p 关于 V 的函 数图象如图所示. 若压强由 75 kPa 加压到 100 kPa,则气体体积压缩了 mL. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43　 　 　命题点二 反比例函数中 k的几何意义 　　　　 (10 年 3 考) 4. (2021 河南)如图,大、小两个正方形的中心 均与平面直角坐标系的原点 O 重合,边分别 与坐标轴平行,反比例函数 y = kx 的图象与大 正方形的一边交于点 A(1,2),且经过小正方 形的顶点 B. (1)求反比例函数的解析式; (2)求图中阴影部分的面积. 解:(1) ∵ 反比例 函数 y = kx 的图 象经过点 A ( 1, 2), ∴ k = 1 × 2 = 2. 　命题点三 反比例函数与一次函数综合 　　　　 (10 年 5 考) 5. (2023 黄冈)如图,一次函数 y1 = kx + b(k≠0) 与函数为 y2 = m x (x > 0)的图象交于 A(4,1), B 12 ,a( )两点. (1)求这两个函数的解析式; (2)根据图象,直接写出满足 y1 - y2 > 0 时 x 的取值范围; (3)点 P 在线段 AB 上,过点 P 作 x 轴的垂 线,垂足为 M,交函数 y2 的图象于点 Q. 若 △POQ 的面积为 3,求点 P 的坐标. 　命题点四 反比例函数与几何图形综合 　　　　 (10 年 2 考) 6. (2023 河南)小军借助反比例函数图象设计 “鱼形”图案,如图,在平面直角坐标系中,以 反比例函数 y = kx 图象上的点 A( 3 ,1)和点 B 为顶点,分别作菱形 AOCD 和菱形 OBEF, 点 D,E 在 x 轴上,以点 O 为圆心,OA 长为半 径作AC ( ,连接 BF. (1)求 k 的值; (2)求扇形 AOC 的半径及圆心角的度数; (3)请直接写出图中阴影部分面积之和. 7. (2022 河南)如图,反比例函数 y = kx (x > 0) 的图象经过点 A(2,4)和点 B,点 B 在点 A 的 下方,AC 平分∠OAB,交 x 轴于点 C. (1)求反比例函数的表达式; (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段 AC 的 垂直平分线;(要求:不写作法,保留作图痕迹) (3)线段 OA 与(2)中所作的垂直平分线相交 于点 D,连接 CD. 求证:CD∥AB. 解:(1)∵ 反比例函数 y = kx (x > 0)的图象经过点 A(2,4), ∴ DA = DC. ∴ ∠OAC =∠DCA. ∴ ∠DCA =∠BAC. ∴ CD∥AB. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P20 567+$ *EFG4%HI BC&#2PQR$SKLAM%NO 例　Ｂ 变式训练 １．Ｄ　２．Ｄ　３．Ｄ BC- 2PQRTUVWKLAM%NO 模型一　判断函数图象 例１．Ｄ 变式训练 １．Ａ　２．Ｂ　３．Ｄ 模型二　分析函数图象 例２．Ｃ 变式训练 ４．槡２５＋２　５．Ｃ　６．Ｄ ! ３ "#&'M%ANO*XY 以题代讲抓考点 考点一　一次函数解析式的确定 题目１．（１）３　（２）２　（３）ｙ＝１２ｘ＋ ５ ２ 考点链接 ①ｋ≠０　②０　③ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０） 考点二　一次函数的图象与性质 题目２．（１）二、三、四　减小　（２）＜　 ＞　（３）＞　 ＜　（４）Ａ　（５）一、三　 增大　（６）ｙ＝ｘ＋１　（０，１） 考点链接 ④减小　⑤ｙ＝ｋ（ｘ＋ｍ）＋ｂ　⑥ｙ＝ｋ（ｘ－ｍ）＋ｂ　⑦ｙ＝ｋｘ＋ｂ＋ｍ ⑧ｙ＝ｋｘ＋ｂ－ｍ 考点三　一次函数与方程（组）、一元一次不等式的关系 题目３．（１）ｘ＝２　（２） ｘ＝３， ｙ{ ＝１　（３）ｘ＞－２　ｘ＜０ 考点四　一次函数的实际应用 题目４．（３０－ｘ）　１５ｘ＋１０（３０－ｘ）　５ｘ＋３００　ｘ≥３０－ｘ２ 　ｘ≥１０　１０≤ｘ≤３０ 　＞　增大　１０　１０　２０ 多向思维解真题 １．ｙ＝２ｘ＋１（答案不唯一）　２．ｙ＝ｘ（答案不唯一）　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｃ ６．解：（１）设购买甲种头盔的单价为ｘ元，乙种头盔的单价为ｙ元． 根据题意，得 ｘ－ｙ＝１１， ２０ｘ＋３０ｙ＝２９２０{ ，解得 ｘ＝６５，ｙ＝５４{ ． 答：甲、乙两种头盔的单价分别是６５元，５４元． （２）设购买ｍ只甲种头盔，总费用为ｗ元． 根据题意，可得ｗ＝０．８×６５ｍ＋（５４－６）（４０－ｍ）＝４ｍ＋１９２０． ∵４＞０，∴ｗ随ｍ的增大而增大． 又∵ｍ≥ １２（４０－ｍ），解得ｍ≥１３ １ ３， ∴当ｍ＝１４时，ｗ取最小值，ｗ最小 ＝４×１４＋１９２０＝１９７６． 答：购买１４只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小，最小费用为１９７６元． ７．解：（１）∵ｙ１＝ｋ１ｘ＋ｂ的图象过（０，３０），（１０，１８０）， ∴ ３０＝ｂ， １８０＝１０ｋ１＋ｂ{ ，∴ ｋ１＝１５， ｂ＝３０{ ． ｋ１的实际意义是：打六折后的每次健身费用为１５元． ｂ的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为３０元． （２）打折前的每次健身费用为１５÷０．６＝２５（元）． ｋ２＝２５×０．８＝２０． （３）选择方案一所需费用更少． 理由：∵ｋ１＝１５，ｂ＝３０，∴ｙ１＝１５ｘ＋３０． ∵ｋ２＝２０，∴ｙ２＝２０ｘ． 当ｘ＝８时， ｙ１＝１５×８＋３０＝１５０，ｙ２＝２０×８＝１６０． ∵１５０＜１６０，∴选择方案一所需费用更少． ! ４ "#Z[\M% 以题代讲抓考点 考点一　反比例函数的图象与性质 题目１．（１）－３　６　（２）如图所示　（３）一、三　减小　＞　＜　（４）在 考点链接 ①０　②一、三　③二、四　④减小　⑤增大　⑥原点 考点二　反比例函数解析式的确定及ｋ的几何意义 题目２．－１２ 考点链接 ⑦ ｋ　⑧ ｋ　⑨ １２ ｋ　⑩２ｋ 多向思维解真题 １．Ｃ　２．Ｃ　３．２０ ４．解：（１）∵反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象经过点Ａ（１，２）， ∴ｋ＝１×２＝２． ∴反比例函数的解析式为ｙ＝２ｘ． （２）如图，∵反比例函数ｙ＝２ｘ的图象过点Ｂ， ∴正方形ＯＣＢＤ的面积为２． 由图，可知ＯＥ＝２， ∴正方形ＯＥＦＧ的面积为２×２＝４． ∴阴影部分的面积为４×（４－２）＝８． ５．解：（１）将Ａ（４，１）代入ｙ２＝ ｍ ｘ（ｘ＞０）中， 可得１＝ｍ４，解得ｍ＝４． ∴反比例函数的解析式为ｙ２＝ ４ ｘ（ｘ＞０）． ∵Ｂ １２，( )ａ在ｙ２＝４ｘ（ｘ＞０）的图象上， ∴ａ＝４１ ２ ＝８．∴Ｂ １２，( )８． 将Ａ（４，１），Ｂ １２，( )８分别代入ｙ１＝ｋｘ＋ｂ， 得 ４ｋ＋ｂ＝１， １ ２ｋ＋ｂ＝８ { ，解得 ｋ＝－２，ｂ＝９{ ． ∴一次函数的解析式为ｙ１＝－２ｘ＋９． （２）由（１），可知Ａ（４，１），Ｂ １２，( )８．当ｙ１－ｙ２＞０时，ｙ１＞ｙ２，此时直线 ＡＢ在 反比例函数图象上方，对应的ｘ的取值范围是 １２＜ｘ＜４．故答案为 １ ２＜ｘ＜４． （３）设点Ｐ（ｐ，－２ｐ＋９），则Ｑ ｐ，４( )ｐ ． ∴ＰＱ＝－２ｐ＋９－４ｐ． ∴Ｓ△ＰＯＱ＝ １ ２ＰＱ·ｘＰ＝ １ ２× －２ｐ＋９－ ４( )ｐ ·ｐ＝３， 整理，得２ｐ２－９ｐ＋１０＝０， 解得ｐ１＝２，ｐ２＝ ５ ２． 当ｐ＝２时，－２ｐ＋９＝－２×２＋９＝５； 当ｐ＝５２时，－２ｐ＋９＝－２× ５ ２＋９＝４． ∴点Ｐ的坐标为（２，５）或 ５２，( )４． ６．解：（１）将Ａ（槡３，１）代入ｙ＝ ｋ ｘ中，得１＝ ｋ 槡３ ，解得ｋ 槡＝３． （２）如图，连接ＡＣ，交ｘ轴于点Ｍ． ∵四边形ＡＯＣＤ是菱形， ∴ＡＣ⊥ＯＤ，Ｍ是ＡＣ的中点． ∵Ａ（槡３，１），∴ＡＭ＝１，ＯＭ 槡＝３，ＡＣ＝２． ∴ＯＡ＝ （槡３） ２ ＋１槡 ２＝２． ∴ＯＡ＝ＯＣ＝ＡＣ．∴△ＡＯＣ是等边三角形． ∴∠ＡＯＣ＝６０°． ∴扇形ＡＯＣ的半径为２，圆心角为６０°． （３）如图，设ＢＦ交ＯＥ于点Ｎ． 由题，可知Ｓ△ＦＮＯ＝Ｓ△ＢＮＯ＝ ｋ ２ ＝ 槡３ ２． ∴Ｓ△ＦＢＯ＝２×槡 ３ ２ 槡＝３． ∵ＯＤ＝２ＯＭ 槡＝２３，∴Ｓ菱形ＡＯＣＤ＝ １ ２ＯＤ·ＡＣ 槡＝２３． 又∵Ｓ扇形ＡＯＣ＝ ６０π×２２ ３６０ ＝ ２π ３， ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＦＢＯ＋Ｓ菱形ＡＯＣＤ－Ｓ扇形ＡＯＣ 槡 槡＝３＋２３－ ２π ３ 槡＝３３－ ２π ３． ７．解：（１）∵反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象经过点Ａ（２，４）， ∴ｋ＝２×４＝８． ∴反比例函数的表达式为ｙ＝８ｘ                                                                                                                                         ． —４— （２）如图，直线ｍ即为所求． （３）证明：∵ＡＣ平分∠ＯＡＢ， ∴∠ＯＡＣ＝∠ＢＡＣ． ∵直线ｍ垂直平分线段ＡＣ， ∴ＤＡ＝ＤＣ．∴∠ＯＡＣ＝∠ＤＣＡ． ∴∠ＤＣＡ＝∠ＢＡＣ．∴ＣＤ∥ＡＢ． ! ５ "#-'M% 以题代讲抓考点 考点一　二次函数的图象与性质 题目１．（１）直线ｘ＝３ （２）①直线ｘ＝－２　②大　增大　③１３　④－５或１　－５＜ｘ＜１ ⑤ｙ２＞ｙ１＞ｙ３　⑥ｍ＜－５或ｍ＞１ 考点链接 ①一次项系数　②－ｂ２ａ　③ ４ａｃ－ｂ２ ４ａ 　④减小　⑤增大　⑥增大　⑦减小 ⑧＝　⑨原点　⑩两个 考点二　二次函数解析式的确定 题目２．（１）ｙ＝（ｘ＋３）（ｘ－２）　（２）ｙ＝－（ｘ＋１）（ｘ－４） （３）ｙ＝ｘ２－２ｘ－２　ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１　（４）ｙ＝－１２ｘ ２＋３２ｘ＋４ 考点链接 瑏瑡右　瑏瑢下 考点三　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 题目３．（１）－２或４　（２）－２＜ｘ＜４ 考点链接 瑏瑣两个不相等　瑏瑤两个相等　瑏瑥没有　瑏瑦上方　瑏瑧下方 多向思维解真题 １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．Ｂ　５．－１＜ｎ＜０　６．ｙ＝－ｘ２＋１（答案不唯一）　７．Ｂ ８．解：（１）在一次函数ｙ＝－０．４ｘ＋２．８中， 令ｘ＝０，则ｙ＝２．８，∴Ｐ（０，２．８）． 将Ｐ（０，２．８）代入ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋３．２中， 可得ａ＋３．２＝２．８，解得ａ＝－０．４． （２）∵ＯＡ＝３ｍ，ＣＡ＝２ｍ， ∴ＯＣ＝５ｍ． 若选择扣球，令ｙ＝０，则－０．４ｘ＋２．８＝０，解得ｘ＝７， 即落地点距离点Ｏ为７ｍ， ∴落地点到Ｃ点的距离为７－５＝２（ｍ）； 若选择吊球，令ｙ＝０，则－０．４（ｘ－１）２＋３．２＝０，解得ｘ 槡＝±２２＋１（负值舍去）， 即落地点距离点Ｏ为（槡２２＋１）ｍ， ∴落地点到Ｃ点的距离为５－（槡２２＋１）＝（ 槡４－２２）ｍ． 槡∵４－２２＜２， ∴选择吊球，可以使球的落地点到Ｃ点的距离更近． ９．解：（１）由题意，可知抛物线的顶点为（５，３．２）． 设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－５）２＋３．２， 将（０，０．７）代入，得０．７＝２５ａ＋３．２， 解得ａ＝－１１０． ∴抛物线的表达式为 ｙ＝－１１０（ｘ－５） ２＋３．２＝－１１０ｘ ２＋ｘ＋７１０． （２）当ｙ＝１．６时，－１１０ｘ ２＋ｘ＋７１０＝１．６， 解得ｘ＝１或ｘ＝９． ∴她与爸爸的水平距离为 ３－１＝２（ｍ）或 ９－３＝６（ｍ）． 答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是２ｍ或６ｍ． １０．解：（１）４００． （２）由题意，得 Ｗ＝ｐ（ｘ－４０）＝ ５００－１０（ｘ－５０[ ]）（ｘ－４０）＝－１０ｘ２＋ １４００ｘ－４００００＝－１０（ｘ－７０）２＋９０００． ∵－１０＜０， ∴在对称轴左侧，Ｗ随ｘ的增大而增大． 又∵ｐ≥３５０， ∴５００－１０（ｘ－５０）≥３５０，解得ｘ≤６５． ∴当ｘ＝６５时，Ｗ最大，最大值为８７５０． ∴当每盒售价定为６５元时，日销售利润Ｗ（元）最大，最大利润是８７５０元． （３）他们的说法都正确．理由如下： 设日销售额为ｙ元，则ｙ＝ ５００－１０（ｘ－５０[ ]）ｘ＝－１０ｘ２＋１０００ｘ＝－１０（ｘ－ ５０）２＋２５０００． ∵－１０＜０，∴当ｘ＝５０时，ｙ最大，最大值为２５０００． ∴当日销售利润最大时，日销售额不是最大． ∴小强的说法正确． 当Ｗ＝８０００时，８０００＝－１０（ｘ－７０）２＋９０００，解得ｘ１＝６０，ｘ２＝８０． ∵抛物线开口向下， ∴当６０≤ｘ≤８０时，８０００≤Ｗ≤９０００． ∴当日销售利润不低于８０００元时，每盒售价ｘ的范围是６０≤ｘ≤８０． ∴小红的说法正确． 考法拓展 １．Ｃ　２．Ｃ　３．１９ !J#$ 3;K ! １ " VWNI]^ 以题代讲抓考点 考点一　线段、射线、直线 题目１．Ｄ 考点链接 ①两点　②线段　③端点　④端点　⑤距离　⑥中点 考点二　角及角平分线 题目２．（１）７０°　１６０°　（２）５５°　（３）４ 考点链接 ⑦射线　⑧射线　⑨９０°　⑩１８０°　瑏瑡相等　瑏瑢射线 瑏瑣距离相等　瑏瑤距离相等 考点三　相交线 题目３．（１）同位角　（２）∠４　对顶角　同旁内角　∠６　∠６　（３）＝ 考点链接 瑏瑥相等　瑏瑦９０°　瑏瑧垂足　瑏瑨垂线段　瑏瑩垂直于 瑐瑠线段两端点　瑐瑡相等 考点四　平行线 题目４．①②③④⑤ 考点链接 瑐瑢相等　瑐瑣相等　瑐瑤互补　瑐瑥相等　瑐瑦相等　瑐瑧互补 考点巩固练 ３０５° 考点五　命题 题目５．假　若ａ２＞ｂ２，则ａ＞ｂ 多向思维解真题 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．Ｃ　５．Ｄ　６．Ｂ　７．Ｃ　８．７８°　９．Ａ 5673$ LMNOPQRSTUVTW 模型一　两定一动 例１．解：根据两点之间线段最短，可知当 Ｅ，Ｆ，Ｃ三点共线时，ＥＦ＋ＣＦ的值最 小，且最小值为ＣＥ的长． 如图，连接ＣＥ交ＡＤ于点Ｆ． ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝４． ∵Ｅ是 ＡＢ边上一点，且 ＡＥ＝２， ∴点Ｅ是ＡＢ边的中点．∴ＣＥ⊥ＡＢ． ∴在Ｒｔ△ＢＣＥ中，ＣＥ＝ 　 ＢＣ２－ＢＥ槡 ２＝ 　 ４２－２槡 ２＝２　槡３． ∴ＥＦ＋ＣＦ的最小值为２　槡３． 变式训练 １．槡３　２．８　３．４ 模型二　一定两动 例２．解：如图，连接ＢＤ，分别作点Ｃ关于ＡＢ，ＡＤ的对称点Ｅ， Ｆ，连接ＥＭ，ＦＮ，则ＣＭ＝ＥＭ，ＣＮ＝ＦＮ． ∴ＣＭ＋ＭＮ＋ＣＮ＝ＥＭ＋ＭＮ＋ＦＮ． ∴当点Ｅ，Ｍ，Ｎ，Ｆ在同一直线上时，ＥＭ＋ＭＮ＋ＦＮ的最小值等于 线段ＥＦ的长． ∵点Ｂ，Ｄ分别是ＣＥ，ＣＦ的中点， ∴ＢＤ是△ＣＥＦ的中位线， ∴ＥＦ＝２ＢＤ． 又∵∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝ＡＤ 槡＝３， ∴△ＡＢＤ是等边三角形． ∴ＢＤ 槡＝３，∴ＥＦ 槡＝２ ３． ∴ＣＭ＋ＭＮ＋ＣＮ的最小值为 槡２ ３． ∴△ＣＭＮ周长的最小值为 槡２ ３． 变式训练 ４ 槡．２ ７ 模型三　两定两动 例３．解：如图，将点Ｂ沿ＢＣ向右平移２个单位长度得到点Ｂ′，作点Ｂ′关于ＡＤ 的对称点Ｂ″，连接ＣＢ″，交ＡＤ于点Ｆ，在ＡＤ上截取ＥＦ＝２，连接Ｂ′Ｆ，则ＢＥ＝Ｂ′Ｆ， Ｂ″Ｆ＝Ｂ′Ｆ，此时四边形ＢＥＦＣ的周长为 ＢＥ＋ＥＦ＋ＦＣ＋ＢＣ＝Ｂ″Ｆ＋ＥＦ＋ＦＣ＋ ＢＣ＝Ｂ″Ｃ＋ＥＦ＋ＢＣ，当点Ｃ，Ｆ，Ｂ″三点共线时，四边形ＢＥＦＣ的周长最小． ∵ＡＢ＝４，ＢＢ′＝２，∠ＡＢＣ＝６０°， ∴Ｂ′Ｂ″经过点Ａ． ∴ＡＢ′ 槡＝２ ３． ∴Ｂ′Ｂ″ 槡＝４ ３． ∵ＢＣ＝１２，∴Ｂ′Ｃ＝１０． ∴Ｂ″Ｃ＝ Ｂ′Ｂ″２＋Ｂ′Ｃ槡 ２ 槡＝２ ３７． ∴Ｂ″Ｃ＋ＥＦ＋ＢＣ 槡＝１４＋２ ３７． ∴四边形ＢＥＦＣ周长的最小值为 槡１４＋２ ３７． 变式训练 ５．１６　６．Ｂ　７槡                                                                                                                                         ． １０ —５—