第三章 第2节 函数及其图象-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

31　 　 第 2 节　函数及其图象 函数的相关概念 题目 1　 (1)下列选项中,不能表示 y 是 x 的函数的是 (　 　 ) 　 　 A 　 　 　 　 　 B 　 　 C 　 　 　 　 　 D (2)如图,用长度为 10 m 的篱笆围成一个 矩形. 设矩形的一条边长为 x m,它的邻边 长为 y m,矩形的面积为 S m2 . ①写出 y 关于 x 的函数关系式 ,x 的取值范围是 ;当 x = 2 m 时,y = m,当 y = 4 m 时,x = m; ②写出 S 关于 x 的函数关系式 ,它 是 函 数, 当 x = 2 m 时, S = m2 . 1.函数的概念 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的值,y 都有 唯一确定的值与其对应,那么我们称 x 是自 变量,y 是 x 的函数. 2.函数自变量的取值范围 函数类型 自变量 x 的取值范围 整式型,如 y = 3x 全体实数 分式型,如 y = 1x - 2 分母①　 　 　 　 根 式 型 根指数为偶数, 如 x 使被开方式的值为②　 　 根指数为奇数, 如 3 x 全体实数 实际问题型 使实际问题有意义 复合型 使各部分都有意义的公 共部分 3.函数值 在自变量的取值范围内,如果 x = a 时,y = b, 那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值. 【考点巩固练】 1. 下列关系中,y 不是 x 的函数关系的是 (　 　 ) A. 长方形的长一定时,其面积 y 与宽 x B. 高速公路上匀速行驶的汽车,其行驶的路 程 y 与行驶的时间 x C. y = x D. y = x 2. 某城市市区人口 x 万人,市区绿地面积 50 万 平方米,平均每人拥有绿地 y 平方米,则 y 与 x 之间的函数表达式为 (　 　 ) A. y = x + 50　 　 　 　 　 B. y = 50x C. y = 50x D. y = x 50 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 32　 函数的图象与性质 题目 2　 探究函数 y = 1x +1 - 2 的图象和 性质. (1)函数的自变量 x 的取值范围是　 　 　 ; (2)下表是 y 与 x 的几组对应值,请将表格 补充完整: x … -4 -3 - 52 - 2 - 1 2 0 1 3 2 2 3 … y … - 53 - 3 2 - 4 3 - 1 0 - 1 - 1 - 8 5 - 5 3 - 7 4 … (3)如图,在平面直角坐标系中描点并画出 此函数的图象; (4)结合函数的图象,写出此函数的性质. (一条即可) 1.函数的表示方法 解析式法、列表法和图象法. 2.画函数图象的步骤 (1)列表􀪍􀪍:表中给出一些自变量的值及其对 应的③　 　 　 　 ; (2)描点􀪍􀪍:在平面直角坐标系中,以自变量的 值为④　 　 　 坐标,相应的函数值为⑤　 　 　 坐标,描出表格中数值对应的各点; (3)连线􀪍􀪍:按照横坐标由小到大的顺序,把所 描出的各点用⑥　 　 　 连接起来. 3.函数图象的性质 根据函数图象描述函数的性质时,通常从以 下方面入手: (1)自变量的取值范围; (2)函数值的取值范围; (3)函数的最大值或最小值; (4)函数图象的增减性; (5)函数图象与坐标轴的交点情况及交点 坐标; (6)函数图象的对称性(轴对称或中心对称). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　命题点一 函数图象的判断(10 年 1 考) 1. (2023 嘉兴、舟山)下图是底部 放有一个实心铁球的长方体水 槽轴截面示意图,现向水槽匀 速注水,下列图象中能大致反 映水槽中水的深度( y)与注水时间( x)关系 的是 (　 　 ) A 　 　 　 　 　 　 B C 　 　 　 　 　 　 D 2. (2023 滨州,跨学科)由化学知识可知,用 pH 表示溶液酸碱性的强弱程度,当 pH > 7 时溶 液呈碱性,当 pH <7 时溶液呈酸性. 若将给定 的 NaOH 溶液加水稀释,那么在下列图象中, 能大致反映 NaOH 溶液的 pH 与所加水的体 积 V 之间对应关系的是 (　 　 ) A 　 　 　 　 　 　 B C 　 　 　 　 　 　 D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33　 　 3. (2023 扬州)函数 y = 1 x2 的大致图象是 (　 　 ) A 　 　 　 　 　 　 B C 　 　 　 　 　 　 D 4. (2023 绥化)如图,在菱 形 ABCD 中,∠A = 60°, AB = 4,动点 M,N 同时 从 A 点出发,点 M 以每 秒 2 个单位长度沿折线 A→B→C 向终点 C 运动;点 N 以每秒 1 个单位长度沿线段 AD 向终点 D 运动,当其中一点运动至终点时,另 一点随之停止运动. 设运动时间为 x 秒, △AMN 的面积为 y 个平方单位,则下列正确 表示 y 与 x 函数关系的图象是 (　 　 ) A 　 　 　 　 　 　 B C 　 　 　 　 　 　 D 　解题讲方法 判断函数图象的方法 1.判断趋势法:根据题意分段,判断每段对应函 数的增减变化趋势,从而确定相应的图象. 2.求解析式法:根据题意求出每段的解析式,结 合函数的图象与性质即可得到答案. 3.定点排除法:从选项中各图象的关键转折点 入手,对应动点运动情况进行排除. 　命题点二 函数图象的分析（10 年 4 考） 5. (2023 河南)如图 1,点 P 从等边三角形 ABC 的顶点 A 出发,沿直线运动到三角形内部一 点,再从该点沿直线运动到顶点 B. 设点 P 运 动的路程为 x,PBPC = y,图 2 是点 P 运动时 y 随 x 变化的关系图象,则等边三角形 ABC 的 边长为 (　 　 ) 图 1 　 　 　 图 2 A. 6　 　 　 B. 3　 　 　 C. 4 3 　 　 　 D. 2 3 6. (2021 河南)如图 1,矩形 ABCD 中,点 E 为 BC 的中点,点 P 沿 BC 从点 B 运动到点 C,设 B,P 两点间的距离为 x,PA - PE = y,图 2 是 点 P 运动时 y 随 x 变化的关系图象,则 BC 的 长为 (　 C　 ) 图 1 　 　 　 图 2 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. (2023 烟台)如图 1,在△ABC 中,动点 P 从点 A 出发沿折线 AB→BC→CA 匀速运动至点 A 后停止. 设点 P 的运动路程为 x,线段 AP 的 长度为 y,图 2 是 y 与 x 的函数关系的大致图 象,其中点 F 为曲线 DE 的最低点,则△ABC 的高 CG 的长为 . 图 1 　 　 　 图 2 　解题讲方法 分析函数图象的步骤 1. 分清图象的横、纵坐标代表的量及函数自变 量的取值范围; 2. 找出分段函数的转折点,函数增减性发生变 化的点及函数图象与坐标轴的交点; 3. 根据找出的特殊点的坐标求出动点运动到特 殊位置上的几何量,从而解决问题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P15 时，活动二更合算． 综上所述，当３００≤ａ＜４００或６００≤ａ＜８００时，活动二更合算． 考法拓展 Ｂ !3#$ 4% ! １ " 89:;<=>?@A<= 以题代讲抓考点 考点一　平面直角坐标系中点的坐标 题目１．（１）一　（２）ａ＜－１２　（３）３　－ １ ２　（４） ２ ３ （５）（１３，３）　（６）（１，１）　（７）（５，１）　（－５，－１）　（－５，１） 考点链接 ①（－，＋）　②（＋，－）　③０　④横　⑤（０，０）　⑥相等　⑦互为相反数 ⑧纵坐标　⑨横坐标　⑩（ａ，－ｂ）　瑏瑡（－ａ，ｂ）　瑏瑢（－ａ，－ｂ） 考点二　平面直角坐标系中的距离 题目２．（１）（－１，３）或（－４，－３）　（２）１１　（３） －３２，( )２ （４）（－１，３）或（－３，－１）　（５）槡３５或槡５ 考点链接 瑏瑣 ｂ　瑏瑤 ａ　瑏瑥 ａ２＋ｂ槡 ２　瑏瑦 ｘ２－ｘ１ 　瑏瑧 ｙ２－ｙ１ 瑏瑨 （ｘ２－ｘ１） ２＋（ｙ２－ｙ１）槡 ２ 多向思维解真题 １．－３＜ｍ＜１　２．Ｄ　３．Ｄ　４．Ｄ　５．（－２，－４）　６．槡２３３　７．（－３，１）　８．Ｃ ９．Ａ　１０．（４，２）　１１． ９４，( )０　１２．Ｂ　１３．Ｄ　１４．Ａ　１５．２２０２２槡３ 567"$ 89:;<=>?@ABCD BC&#@A<=DEFG 模型一　旋转问题中点的坐标变化 例１．解：∵３６０°÷４５°＝８， ∴菱形ＡＢＣＤ绕原点Ｏ逆时针旋转８次变换为一次循环． ∵６０÷８＝７……４，４×４５°＝１８０°， ∴经过６０次变换后点Ｃ的坐标处于点Ｃ绕原点逆时针旋转１８０°的位置． ∵顶点Ａ的坐标为（１，０），顶点Ｂ的坐标为（４，４）， ∴ＡＢ＝ （４－１）２＋４槡 ２＝５． ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＢＣ∥ＡＤ，ＢＣ＝ＡＢ＝５． ∴Ｃ（９，４）． ∴经过６０次变换后点Ｃ的坐标为（－９，－４）． 变式训练 １．Ｃ　２．Ａ　３．Ｄ 模型二　运动轨迹中点的坐标变化 例２．解：∵Ａ（－１，１），Ｂ（－１，－２），Ｃ（３，－２），Ｄ（３，１）， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝３，ＡＤ＝ＢＣ＝４． ∴Ｃ矩形ＡＢＣＤ＝２×（３＋４）＝１４． ∵１４÷２＝７，∴瓢虫每７秒爬行一圈． ∵９÷７＝１……２， ∴瓢虫第９秒爬行１圈回到点Ａ处后又继续爬行了２秒． 又∵２×２＝４， ∴第９秒瓢虫所在位置的坐标为（０，－２）． ∵１１０÷７＝１５……５， ∴瓢虫第１１０秒爬行１５圈回到点Ａ处后又继续爬行了５秒． 又∵５×２＝１０， ∴第１１０秒瓢虫所在位置的坐标为（３，１）． ∵２０２３÷７＝２８９， ∴瓢虫第２０２３秒正好爬行２８９圈回到点Ａ处． ∴第２０２３秒瓢虫所在位置的坐标为（－１，１）． 变式训练 ４．（２０２３，－１）　５．（２０２３， 槡－３）　６． 槡 ２０２３ ２ ２ ，－ 槡２( )２ 模型三　图形渐变中点的坐标变化 例３．Ｃ 变式训练 ７．Ｃ　８．（１０２４，－１０２４）　９． － 槡６４ ３２７， ６４( )２７ BC-#H;IA9JKL 模型一　三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴 例１．解：如图，过点Ｃ作ＣＤ⊥ｘ轴于点Ｄ． ∵点Ａ（－２，０），Ｂ（４，０），Ｃ（５，－４）， ∴ＡＢ＝６，ＣＤ＝４． ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＣＤ＝ １ ２×６×４＝１２． 变式训练 １．１　２．Ｃ ３．解：（１）∵点Ａ，Ｂ在二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象上， ∴ ０＝１－ｂ＋ｃ， ０＝９＋３ｂ＋ｃ{ ，解得 ｂ＝－２，ｃ＝－３{ ． （２）如图，连接ＢＣ，ＡＣ． 由题意，可得Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），Ｃ（０，－３）， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＯＣ＝ １ ２×４×３＝６． ∵点Ｄ在该二次函数的图象上， ∴设点Ｄ（ｍ，ｍ２－２ｍ－３）． ∵Ｓ△ＡＢＤ＝２Ｓ△ＡＢＣ， ∴ １２ＡＢ· ｙＤ ＝２×６＝１２． ∴ １２×４× ｍ ２－２ｍ－３ ＝１２，解得ｍ１ 槡＝１＋ １０，ｍ２ 槡＝１－ １０． ∴点Ｄ的坐标为（ 槡１＋ １０，６）或（ 槡１－ １０，６）． 模型二　三角形的三边不在坐标轴上或不平行于坐标轴 例２．解：如图，过点Ｂ作ＢＥ⊥ｙ轴于点Ｅ． ∵直线ｙ＝－４３ｘ＋４与ｙ轴交于点Ａ， ∴点Ａ的坐标为（０，４）． ∵ｙ＝４５ｘ＋ ４ ５与ｙ轴交于点Ｄ， ∴点Ｄ的坐标为 ０，( )４５ ．∴ＡＤ＝４－４５＝１６５． 令 ４ ５ｘ＋ ４ ５＝０，则ｘ＝－１，故点Ｃ的坐标为（－１，０）． ∵点Ｂ为直线ｙ＝－４３ｘ＋４与直线ｙ＝ ４ ５ｘ＋ ４ ５的交点， ∴ ｙ＝－４３ｘ＋４， ｙ＝４５ｘ＋ ４ ５ { ，解得 ｘ＝３２，ｙ＝２{ ． 故点Ｂ的坐标为 ３２，( )２． ∴ＢＥ＝３２，ＯＣ＝１． ∴Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＤ＋Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ＡＤ·ＢＥ＋ １ ２ＡＤ·ＯＣ＝ １ ２× １６ ５× ３ ２＋ １ ２× １６ ５× １＝４． 变式训练 ４．１１２　５．３６ ６．解：如图，过点Ｐ作ＰＥ∥ｙ轴交直线ＡＤ于点Ｅ． 令－ｘ２＋ｘ＋６＝ｘ－３，解得ｘ１＝－３，ｘ２＝３． ∴Ａ（３，０），Ｄ（－３，－６）． 设点Ｐ（ｍ，－ｍ２＋ｍ＋６），则Ｅ（ｍ，ｍ－３）． ∴ＰＥ＝－ｍ２＋ｍ＋６－（ｍ－３）＝－ｍ２＋９． ∴Ｓ△ＰＡＤ＝ １ ２ＰＥ·（ｘＡ－ｘＤ）＝ １ ２×（－ｍ ２＋９）×［３－（－３）］＝－３ｍ２＋２７． ∵－３＜０， ∴当 ｍ＝０时，Ｓ△ＰＡＤ取得最大值，最大值为２７，此时 Ｐ（０，６）． ! ２ "#M%./NO 以题代讲抓考点 考点一　函数的相关概念 题目１．（１）Ｂ （２）①ｙ＝５－ｘ　０＜ｘ＜５　３　１　②Ｓ＝－ｘ２＋５ｘ　二次　６ 考点链接 ①不为０　②非负数 考点巩固练 １．Ｄ　２．Ｃ 考点二　函数的图象与性质 题目２．解：（１）ｘ≠－１　（２）０　－１　－３２ （３）函数图象如图所示． （４）函数图象关于直线ｘ＝－１对称．（答案不唯一，合理即可） 考点链接 ③函数值　④横　⑤纵　⑥平滑曲线 多向思维解真题 １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ａ　４．Ａ　５．Ａ　６．Ｃ　７．槡７３                                                                                                                                         ２ —３—