第三章 第1节 平面直角坐标系中点的坐标-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

23　 　 !"#$% 第 1 节　平面直角坐标系中点的坐标 平面直角坐标系中点的坐标 题目 1　 在平面直角坐标系中,已知点 P(2a + 1,a - 3) . 请完成下列问题: (1)当 a > 3 时,点 P 位于第 象限; (2)若点 P 位于第三象限,则 a 的取值范围 是　 　 　 　 　 ; (3)若点 P 在 x 轴上,则 a = 　 3 　 ;若点 P 在 y 轴上,则 a = 　 　 　 　 　 ; (4)若点 P 在第二、四象限的角平分线上, 则 a = 　 8 或 - 2　 ; (5)若点 Q 的坐标为(1,3),直线 PQ∥x 轴,则点 P 的坐标为　 (13,3)　 ; (6)当 a = 1 时,将点 P 先向左平移 2 个单 位长度,再向上平移 3 个单位长度,得到的 点的坐标为　 (1,1)　 ; (7)若 a = 2,则点 P 关于 x 轴对称的点的坐 标为　 (5,1) 　 ,关于 y 轴对称的点的坐标 为　 ( - 5, - 1)　 ,关于原点对称的点的坐 标为　 ( - 5,1)　 . 1.各象限内点的坐标特征 2.特殊位置上点的坐标特征 (1)坐标轴上的点的坐标特征􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍:x 轴上点的纵 坐标为③　 0　 ;y 轴上点的④　 横　 坐标为 0; 原点的坐标为⑤　 (0,0) 　 . (坐标轴上的点 不属于任何象限) (2)象限角平分线上的点的坐标特征􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍:第一、 三象限角平分线上点的横坐标和纵坐标 ⑥　 相等　 ;第二、四象限角平分线上点的横 坐标和纵坐标⑦　 互为相反数　 . (3)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍: 平行于 x 轴的直线上点的⑧　 纵坐标　 相同; 平行于 y 轴的直线上点的⑨　 横坐标　 相同. (4)到坐标轴距离相等的点的坐标特征􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍:到 x 轴距离相等的点的纵坐标的绝对值相等;到 y 轴距离相等的点的横坐标的绝对值相等. 3.点的对称与平移变换 (1)点的对称 点 P ( a, b ) 关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 为⑩　 (a, - b)　 ; 点 P ( a, b ) 关 于 y 轴 对 称 的 点 的 坐 标 为􀃊􀁉􀁓　 ( - a,b)　 ; 点 P ( a, b ) 关 于 原 点 对 称 的 点 的 坐 标 为􀃊􀁉􀁔　 ( - a, - b)　 . 口诀:关于谁谁不变,无关便相反,原点对称􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 都相反.􀪍􀪍􀪍􀪍 (2)点的平移 口诀:左减右加,上加下减􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 24　 平面直角坐标系中的距离 题目 2　 在平面直角坐标系中,已知点M(a - 1,2a +3).请完成下列问题: (1)若点 M 到 x 轴的距离为 3,则点 M 的坐 标为 ; (2)已知点 N(1, - 4),若 MN⊥x 轴,则 MN 的长为 ; (3)已知点 Q(1,1 - 2a),若 MQ∥x 轴,则 点 M 的坐标为 ; (4)若点 M 到原点的距离为 10 ,则点 M 的坐标为 ; (5)已知点 P( - 2,1),点 M 到 y 轴的距离 为 1,则 P,M 之间的距离为 . 1.点到坐标轴及原点的距离 设点 P ( a, b) ,则点 P 到 x 轴的距离为 􀃊􀁉􀁕　 b 　 ,点 P 到 y 轴的距离为􀃊􀁉􀁖　 a 　 , 点 P 到原点的距离为􀃊􀁉􀁗　 a2 + b2 　 . 2.平面内两点间的距离:设 P(x1,y1),Q(x2,y2) (1)若 PQ∥x 轴,则 PQ =􀃊􀁉􀁘　 x2 - x1 　 ; (2)若 PQ∥y 轴,则 PQ =􀃊􀁉􀁙　 y2 - y1 　 ; (3)若 P,Q 为平面直角坐标系内任意两点, 则 PQ =􀃊􀁉􀁚　 (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2 　 . 3.中点坐标公式 设点 P(a,b),Q(c,d)为平面直角坐标系中任 意两点,则 PQ 的中点坐标为 a + c2 , b + d 2( ) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　命题点 平面直角坐标系中点的坐标(10 年 8 考) 考法一　 平面直角坐标系中点的坐标特征 1. (2023 日照)若点 M(m + 3,m - 1)在第四象 限,则 m 的取值范围是 . 2. (2023 大庆)已知 a + b > 0,ab > 0,则在如图 所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点的 坐标可能是 (　 　 ) A. (a,b) B. ( - a,b) C. ( - a, - b) D. (a, - b) 考法二　 结合几何变换求坐标 3. (2023怀化)在平面直角坐标系中,点 P(2, -3) 关于 x 轴对称的点 P′的坐标是 (　 　 ) A. ( - 2, - 3)　 　 　 　 　 B. ( - 2,3) C. (2, - 3) D. (2,3) 4. (2023 龙东)如图,在平面 直角坐标系中,矩形 AB- CD 的边 AD = 5,OA∶ OD = 1∶ 4,将矩形 ABCD 沿直线 OE 折叠到如图所示的位 置,线段 OD1 恰好经过点 B,点 C 落在 y 轴的 点 C1 位置,点 E 的坐标是 (　 　 ) A. (1,2) B. ( - 1,2) C. ( 5 - 1,2) D. (1 - 5 ,2) 5. (2023 营口) 在平面直角坐标系中,将点 M(3, - 4)向左平移 5 个单位长度,得到点 M′,则点 M′的坐标是 . 6. (2023 黄冈)如图,已知 点 A(3,0),点B 在 y 轴正 半轴上,将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 120°到线段 AC.若点 C 的坐标为(7,h),则 h = . 7. (2023 枣庄)银杏是著名的活化石植物,其叶 有细长的叶柄,呈扇形. 如图是一片银杏叶标 本,叶片上两点 B,C 的坐标分别为( - 3,2), (4,3) . 将银杏叶绕原点顺时针旋转 90°后, 叶柄上点 A 对应点的坐标为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25　 　 考法三　 结合图形的性质求坐标 8. (2023 自贡)如图,边长为 3 的正方形 OBCD 两 边与坐标轴正半轴重合,点 C 的坐标是 (　 　 ) A. (3, - 3) B. ( - 3,3) C. (3,3) D. ( - 3, - 3) 9. (2023 山西)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的 形状均为正六边形. 如图是部分巢房的横截 面图,图中 7 个全等的正六边形不重叠且无 缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点 P,Q, M 均为正六边形的顶点. 若点 P,Q 的坐标分 别为( - 2 3 ,3),(0, - 3),则点 M 的坐标为 (　 　 ) 　 　 A. (3 3 , - 2) B. (3 3 ,2) C. (2, - 3 3 ) D. ( - 2, - 3 3 ) 10. (2023 凉山州)如图,▱ABCO 的顶点 O,A,C 的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2) . 则顶点 B 的坐标是 . 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11. (2023 广元)如图,在平面直角坐标系中,已 知点 A(1,0),点 B(0, -3),点 C 在 x 轴上,且 点 C 在点 A右方,连接 AB,BC.若 tan∠ABC = 1 3 ,则点 C 的坐标为 . 考法四　 结合规律探索求坐标 12. (2022 河南)如图,在平面直角坐标系中,边 长为 2 的正六边形 ABCDEF 的中心与原点 O 重合,AB∥x 轴,交 y 轴于点 P. 将△OAP 绕 点 O顺时针旋转,每次旋转 90°,则第2 022 次 旋转结束时,点 A的坐标为 (　 B　 ) A. ( 3 , - 1)　 　 　 　 　 B. ( - 1, - 3 ) C. ( - 3 , - 1) D. (1, 3 ) 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 13. (2019 河南)如图,在△OAB 中,顶点 O(0,0), A( -3,4),B(3,4). 将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转,每次旋转 90°,则第 70 次旋转结束时,点 D 的坐标为 (　 D　 ) A. (10,3) B. ( - 3,10) C. (10, - 3) D. (3, - 10) 14. (2023 烟台)如图,在直角坐标系中,每个网 格小正方形的边长均为 1 个单位长度,以点 P 为位似中心作正方形 PA1A2A3,正方形 PA4A5A6,…,按此规律作下去,所作正方形 的顶点均在格点上,其中正方形 PA1A2A3 的 顶点坐标分别为 P( - 3,0),A1 ( - 2,1), A2( - 1,0),A3 ( - 2, - 1),则顶点 A100 的坐 标为 (　 　 ) A. (31,34) B. (31, - 34) C. (32,35) D. (32,0) 15. (2023 广安)在平面直 角坐标系中,点 A1,A2, A3,A4,…在 x 轴的正 半 轴 上, 点 B1, B2, B3,…在直线 y = 3 3 x(x≥0)上.若点A1 的坐标 为(2,0),且△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,… 均为 等 边 三 角 形, 则 点 B2 023 的 纵 坐 标 为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P14 时，活动二更合算． 综上所述，当３００≤ａ＜４００或６００≤ａ＜８００时，活动二更合算． 考法拓展 Ｂ !3#$ 4% ! １ " 89:;<=>?@A<= 以题代讲抓考点 考点一　平面直角坐标系中点的坐标 题目１．（１）一　（２）ａ＜－１２　（３）３　－ １ ２　（４） ２ ３ （５）（１３，３）　（６）（１，１）　（７）（５，１）　（－５，－１）　（－５，１） 考点链接 ①（－，＋）　②（＋，－）　③０　④横　⑤（０，０）　⑥相等　⑦互为相反数 ⑧纵坐标　⑨横坐标　⑩（ａ，－ｂ）　瑏瑡（－ａ，ｂ）　瑏瑢（－ａ，－ｂ） 考点二　平面直角坐标系中的距离 题目２．（１）（－１，３）或（－４，－３）　（２）１１　（３） －３２，( )２ （４）（－１，３）或（－３，－１）　（５）槡３５或槡５ 考点链接 瑏瑣 ｂ　瑏瑤 ａ　瑏瑥 ａ２＋ｂ槡 ２　瑏瑦 ｘ２－ｘ１ 　瑏瑧 ｙ２－ｙ１ 瑏瑨 （ｘ２－ｘ１） ２＋（ｙ２－ｙ１）槡 ２ 多向思维解真题 １．－３＜ｍ＜１　２．Ｄ　３．Ｄ　４．Ｄ　５．（－２，－４）　６．槡２３３　７．（－３，１）　８．Ｃ ９．Ａ　１０．（４，２）　１１． ９４，( )０　１２．Ｂ　１３．Ｄ　１４．Ａ　１５．２２０２２槡３ 567"$ 89:;<=>?@ABCD BC&#@A<=DEFG 模型一　旋转问题中点的坐标变化 例１．解：∵３６０°÷４５°＝８， ∴菱形ＡＢＣＤ绕原点Ｏ逆时针旋转８次变换为一次循环． ∵６０÷８＝７……４，４×４５°＝１８０°， ∴经过６０次变换后点Ｃ的坐标处于点Ｃ绕原点逆时针旋转１８０°的位置． ∵顶点Ａ的坐标为（１，０），顶点Ｂ的坐标为（４，４）， ∴ＡＢ＝ （４－１）２＋４槡 ２＝５． ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＢＣ∥ＡＤ，ＢＣ＝ＡＢ＝５． ∴Ｃ（９，４）． ∴经过６０次变换后点Ｃ的坐标为（－９，－４）． 变式训练 １．Ｃ　２．Ａ　３．Ｄ 模型二　运动轨迹中点的坐标变化 例２．解：∵Ａ（－１，１），Ｂ（－１，－２），Ｃ（３，－２），Ｄ（３，１）， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝３，ＡＤ＝ＢＣ＝４． ∴Ｃ矩形ＡＢＣＤ＝２×（３＋４）＝１４． ∵１４÷２＝７，∴瓢虫每７秒爬行一圈． ∵９÷７＝１……２， ∴瓢虫第９秒爬行１圈回到点Ａ处后又继续爬行了２秒． 又∵２×２＝４， ∴第９秒瓢虫所在位置的坐标为（０，－２）． ∵１１０÷７＝１５……５， ∴瓢虫第１１０秒爬行１５圈回到点Ａ处后又继续爬行了５秒． 又∵５×２＝１０， ∴第１１０秒瓢虫所在位置的坐标为（３，１）． ∵２０２３÷７＝２８９， ∴瓢虫第２０２３秒正好爬行２８９圈回到点Ａ处． ∴第２０２３秒瓢虫所在位置的坐标为（－１，１）． 变式训练 ４．（２０２３，－１）　５．（２０２３， 槡－３）　６． 槡 ２０２３ ２ ２ ，－ 槡２( )２ 模型三　图形渐变中点的坐标变化 例３．Ｃ 变式训练 ７．Ｃ　８．（１０２４，－１０２４）　９． － 槡６４ ３２７， ６４( )２７ BC-#H;IA9JKL 模型一　三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴 例１．解：如图，过点Ｃ作ＣＤ⊥ｘ轴于点Ｄ． ∵点Ａ（－２，０），Ｂ（４，０），Ｃ（５，－４）， ∴ＡＢ＝６，ＣＤ＝４． ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＣＤ＝ １ ２×６×４＝１２． 变式训练 １．１　２．Ｃ ３．解：（１）∵点Ａ，Ｂ在二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象上， ∴ ０＝１－ｂ＋ｃ， ０＝９＋３ｂ＋ｃ{ ，解得 ｂ＝－２，ｃ＝－３{ ． （２）如图，连接ＢＣ，ＡＣ． 由题意，可得Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），Ｃ（０，－３）， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＯＣ＝ １ ２×４×３＝６． ∵点Ｄ在该二次函数的图象上， ∴设点Ｄ（ｍ，ｍ２－２ｍ－３）． ∵Ｓ△ＡＢＤ＝２Ｓ△ＡＢＣ， ∴ １２ＡＢ· ｙＤ ＝２×６＝１２． ∴ １２×４× ｍ ２－２ｍ－３ ＝１２，解得ｍ１ 槡＝１＋ １０，ｍ２ 槡＝１－ １０． ∴点Ｄ的坐标为（ 槡１＋ １０，６）或（ 槡１－ １０，６）． 模型二　三角形的三边不在坐标轴上或不平行于坐标轴 例２．解：如图，过点Ｂ作ＢＥ⊥ｙ轴于点Ｅ． ∵直线ｙ＝－４３ｘ＋４与ｙ轴交于点Ａ， ∴点Ａ的坐标为（０，４）． ∵ｙ＝４５ｘ＋ ４ ５与ｙ轴交于点Ｄ， ∴点Ｄ的坐标为 ０，( )４５ ．∴ＡＤ＝４－４５＝１６５． 令 ４ ５ｘ＋ ４ ５＝０，则ｘ＝－１，故点Ｃ的坐标为（－１，０）． ∵点Ｂ为直线ｙ＝－４３ｘ＋４与直线ｙ＝ ４ ５ｘ＋ ４ ５的交点， ∴ ｙ＝－４３ｘ＋４， ｙ＝４５ｘ＋ ４ ５ { ，解得 ｘ＝３２，ｙ＝２{ ． 故点Ｂ的坐标为 ３２，( )２． ∴ＢＥ＝３２，ＯＣ＝１． ∴Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＤ＋Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ＡＤ·ＢＥ＋ １ ２ＡＤ·ＯＣ＝ １ ２× １６ ５× ３ ２＋ １ ２× １６ ５× １＝４． 变式训练 ４．１１２　５．３６ ６．解：如图，过点Ｐ作ＰＥ∥ｙ轴交直线ＡＤ于点Ｅ． 令－ｘ２＋ｘ＋６＝ｘ－３，解得ｘ１＝－３，ｘ２＝３． ∴Ａ（３，０），Ｄ（－３，－６）． 设点Ｐ（ｍ，－ｍ２＋ｍ＋６），则Ｅ（ｍ，ｍ－３）． ∴ＰＥ＝－ｍ２＋ｍ＋６－（ｍ－３）＝－ｍ２＋９． ∴Ｓ△ＰＡＤ＝ １ ２ＰＥ·（ｘＡ－ｘＤ）＝ １ ２×（－ｍ ２＋９）×［３－（－３）］＝－３ｍ２＋２７． ∵－３＜０， ∴当 ｍ＝０时，Ｓ△ＰＡＤ取得最大值，最大值为２７，此时 Ｐ（０，６）． ! ２ "#M%./NO 以题代讲抓考点 考点一　函数的相关概念 题目１．（１）Ｂ （２）①ｙ＝５－ｘ　０＜ｘ＜５　３　１　②Ｓ＝－ｘ２＋５ｘ　二次　６ 考点链接 ①不为０　②非负数 考点巩固练 １．Ｄ　２．Ｃ 考点二　函数的图象与性质 题目２．解：（１）ｘ≠－１　（２）０　－１　－３２ （３）函数图象如图所示． （４）函数图象关于直线ｘ＝－１对称．（答案不唯一，合理即可） 考点链接 ③函数值　④横　⑤纵　⑥平滑曲线 多向思维解真题 １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ａ　４．Ａ　５．Ａ　６．Ｃ　７．槡７３                                                                                                                                         ２ —３—