第二章 第3节 分式方程及其应用-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

19　 　 第 3 节　分式方程及其应用 分式方程及其解法 题目 1　 已知关于 x 的方程 3xx - 2 = m 2 - x + 5, 请完成下列问题: (1)若方程的解为 x =3,则m的值为　 -4　 . (2)若 m = 2,解方程 3xx - 2 = 2 2 - x + 5. 解:去分母,分式两边同乘　 (x - 2)　 , 得　 3x = - 2 + 5(x - 2)　 . 去括号,得　 3x = - 2 + 5x - 10　 . 移项、合并同类项,得　 - 2x = - 12　 . 系数化为 1,得　 x = 6　 . 检验:当 x = 　 6　 时,　 x - 2　 ≠0. 所以,原分式方程的解为　 x = 6　 . (3)若方程有增根,则 m 的值为　 - 6　 . 1.概念:分母中含有①　 未知数　 的方程叫做 分式方程. 2.解分式方程的一般步骤: 3.增根:使得原分式方程的②　 分母为0　 的根. 注意:增根与无解的区别,分式方程的增根是 去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的 分母为 0 的根;分式方程无解,可能是解为增 根,也可能是去分母后的整式方程无解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 分式方程的实际应用 题目 2　 某市在旧城改造过程中,需要整修 一段全长 3 000 m 的道路. 为了尽量减少施 工对城市交通造成的影响,实际工作效率比 原计划提高了 20% ,结果提前 10 天完成任 务,求原计划每天整修道路多少米? 请根据题意,将以下解题思路补充完整: 本题考查工程问题,公式为:工作时间 = 　 . 设原计划每天整修道路 x 米,则实际每天整 修道路 米. 根据题意,可知提前 10 天完成任务,列方程 为 . 解得 . 经检验, 　 . 答:原计划每天整修道路 米. 1.一般步骤:审→设未知数→找等量关系→列 分式方程→解分式方程→检验(是否为分式 方程的根,是否满足实际问题)→答. 2.常见类型 (1)工程问题:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍工作效率 = 工作总量 工作时间 , 工作时间 = 工作总量 工作效率 . (2)销售问题:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 折数 10 = 售价 标价 . (3)行程问题:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍时间 = 路程 速度 ,速度 = 路程 时间 . 【考点巩固练】 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题, 一组人平分 10 元钱,每人分得若干,若再加上 6 人,平分 40 元钱,则第二次每人所得与第一 次相同,求第二次分钱的人数. 若设第二次分钱 的人数为 x,则可列方程为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 20　 　命题点一 解分式方程（2017 年考查） 1. (2023 大连)将方程 1x - 1 + 3 = 3x 1 - x去分母, 两边同乘(x - 1)后的式子为 (　 　 ) A. 1 + 3 = 3x(1 - x) B. 1 + 3(x - 1) = - 3x C. x - 1 + 3 = - 3x D. 1 + 3(x - 1) = 3x 2. (2023 恩施)分式方程 xx - 3 = x + 1 x - 1的解是 (　 　 ) A. x = 3　 　 　 　 　 　 B. x = - 3 C. x = 2 D. x = 0 3. (2023 牡丹江)若分式方程 ax + 2 = 1 - 3 x + 2的 解为负数,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. a < - 1 且 a≠ -2 B. a < 0 且 a≠ -2 C. a < - 2 且 a≠ -3 D. a < - 1 且 a≠ -3 (2023 永州)若关于 x 的分式方程 1x -4 - m 4 -x = 1(m 为常数)有增根,则增根是 . 　解题讲易错 解分式方程时的注意事项 1. 去分母时要注意: (1)当最简公分母与分母互为相反数时,要注 意符号; (2)不要漏乘不含分母的项. 2. 不要忘记检验:将分式方程转化为整式方程, 求出整式方程的解后,要代入最简公分母进 行检验,使最简公分母不为 0 的解才是原分 式方程的解. 　命题点二 分式方程的实际应用（2022 年考查） 4. (2023 深圳)某运输公司运输一批货物,已知 大货车比小货车每辆多运输 5 吨货物,且大 货车运输 75 吨货物所用车辆数与小货车运 输 50 吨货物所用车辆数相同. 设大货车每辆 运输 x 吨,则所列方程正确的是 (　 　 ) A. 75x - 5 = 50 x B. 75 x = 50 x - 5 C. 75x + 5 = 50 x D. 75 x = 50 x + 5 5. (2022 河南)近日,教育部印发《义务教育课 程方案》和课程标准(2022 年版),将劳动从 原来的综合实践活动课程中独立出来. 某中 学为了让学生体验农耕劳动,开辟了一处耕 种园,需要采购一批菜苗开展种植活动. 据了 解,市场上每捆 A 种菜苗的价格是菜苗基地 的 54 倍,用 300 元在市场上购买的 A 种菜苗 比在菜苗基地购买的少 3 捆. (1)求菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格; (2)菜苗基地每捆 B 种菜苗的价格是 30 元. 学校决定在菜苗基地购买 A,B 两种菜苗共 100 捆,且 A 种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗 的捆数. 菜苗基地为支持该校活动,对 A,B 两种菜苗均提供九折优惠. 求本次购买最少 花费多少钱. 解:(1)设菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格是 x 元,则市场上每捆 A 种菜苗的价格是 54 x 元. 根据题意,得 300x = 300 5 4 x + 3,解得 x = 20. 经检验,x = 20 是原方程的解,且符合题意. 答:菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格是 20 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P10 ＝ａ－１ａ， 当ａ＝１００时，原式＝９９１００． １１．解：（１）②，③． （２）甲同学的解法： 原式＝ ｘ（ｘ－１） （ｘ＋１）（ｘ－１）＋ ｘ（ｘ＋１） （ｘ＋１）（ｘ－１[ ]）·ｘ ２－１ ｘ ＝ｘ ２－ｘ＋ｘ２＋ｘ （ｘ＋１）（ｘ－１）· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＝ ２ｘ ２ （ｘ＋１）（ｘ－１）· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＝２ｘ． 乙同学的解法： 原式＝ ｘｘ＋１· ｘ２－１ ｘ ＋ ｘ ｘ－１· ｘ２－１ ｘ ＝ ｘｘ＋１· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＋ ｘ ｘ－１· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＝ｘ－１＋ｘ＋１ ＝２ｘ．（任选一种即可） !+#$ ,-./0&12'./0 ! １ " &'()*&'()+ 以题代讲抓考点 考点一　一元一次方程及其解法 题目１．（１）３（１３－３ｘ）－２×５ｘ＝－１８　３９－９ｘ－１０ｘ＝－１８　－１９ｘ＝－５７　ｘ＝３ （２）３ 考点链接 ①ｂ±ｃ　②ｂｃ　③ ｂｃ　④一　⑤１　⑥ａｘ＋ｂ＝０　⑦最小公倍数　⑧ａｘ＝ｂ ⑨ｘ＝ｂａ 考点二　一次方程组及其解法 题目２．９ｘ－３ｙ＝６　１１ｘ＝１１　ｘ＝１　１　２＋３ｙ＝５　ｙ＝１　 ｘ＝１， ｙ{ ＝１　３ｘ－２　 ２ｘ＋３（３ｘ－２）＝５　ｘ＝１　１　ｙ＝１　 ｘ＝１， ｙ{ ＝１ 考点链接 ⑩两　瑏瑡１　瑏瑢消元　瑏瑣一元一次 考点三　一次方程（组）的实际应用 题目３．（１）Ｂ　（２）Ｂ 多向思维解真题 １．Ｂ　２． ｘ＝１， ｙ{ ＝２ ３．解： ｘ－ｙ＝１，① ３ｘ＋２ｙ＝８，{ ② ①×２，得２ｘ－２ｙ＝２，③ ②＋③，得５ｘ＝１０，解得ｘ＝２． 将ｘ＝２代入①，得ｙ＝１． ∴方程组的解为 ｘ＝２， ｙ＝１{ ． ４．Ｂ　５． ｙ＝８ｘ－３， ｙ＝７ｘ{ ＋４ ６．解：（１）设该班级胜了ｘ场，负了ｙ场． 根据题意，得 ｘ＋ｙ＝１５， ３ｘ＋ｙ＝４１{ ，解得 ｘ＝１３，ｙ＝２{ ． 答：该班级胜负场数分别是１３场和２场． （２）设该班级这场比赛中投中了ｍ个３分球，则投中了（２６－ｍ）个２分球． 根据题意，得３ｍ＋２（２６－ｍ）≥５６， 解得ｍ≥４． 答：该班级这场比赛中至少投中了４个３分球． 考法拓展 （－５，－４） ! ２ "#&,-'()./01 以题代讲抓考点 考点一　一元二次方程及其解法 题目１．（１）ａ≠２　（２）５ （３）解：２ｘ２－４ｘ＋１＝０， ∴Δ＝（－４）２－４×２×１＝８＞０． ∴ｘ＝－（－４） 槡±８２×２ ． ∴ｘ１＝１＋槡 ２ ２，ｘ２＝１－ 槡２ ２． （４）Ａ　（５）ａ＞６ 考点链接 ①一　②２　③ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ，ｂ，ｃ为常数，ａ≠０）　④ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ⑤ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０　⑥两个不相等　⑦两个相等　⑧没有　⑨－ｂａ　⑩ ｃ ａ 瑏瑡ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｘ＋ｘ１ｘ２＝０ 考点二　一元二次方程的实际应用 题目２．（１１－２ｘ）（７－２ｘ）＝２１ 考点链接 瑏瑢（ａ－２ｘ）（ｂ－２ｘ）　瑏瑣（ａ－３ｘ）（ｂ－２ｘ）　瑏瑤（ａ－ｘ）（ｂ－ｘ）　瑏瑥（ａ－ｘ）（ｂ－ｘ） 多向思维解真题 １．Ｄ　２．５　３．Ａ　４．Ａ　５．Ｄ　６．Ａ　７．Ａ　８．Ｃ　９．Ａ　１０．２０％　 １１．８，６，１０ 考法拓展 Ｂ ! ３ "#23()./01 以题代讲抓考点 考点一　分式方程及其应用 题目１．（１）－４　（２）（ｘ－２）　３ｘ＝－２＋５（ｘ－２）　３ｘ＝－２＋５ｘ－１０　－２ｘ＝ －１２　ｘ＝６　６　ｘ－２　ｘ＝６　（３）－６ 考点链接 ①未知数　②分母为０ 考点二　分式方程的实际应用 题目２．工作总量 工作效率 　（１＋２０％）ｘ　３０００ｘ ＝ ３０００ （１＋２０％）ｘ＋１０　ｘ＝５０ ｘ＝５０是原分式方程的根，且符合题意　５０ 考点巩固练 １０ ｘ－６＝ ４０ ｘ 多向思维解真题 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ｂ ５．解：（１）设菜苗基地每捆 Ａ种菜苗的价格是 ｘ元，则市场上每捆 Ａ种菜苗 的价格是 ５ ４ｘ元． 根据题意，得 ３００ ｘ＝ ３００ ５ ４ｘ ＋３，解得ｘ＝２０． 经检验，ｘ＝２０是原方程的解，且符合题意． 答：菜苗基地每捆Ａ种菜苗的价格是２０元． （２）设购买Ａ种菜苗ｍ捆，则购买Ｂ种菜苗（１００－ｍ）捆． ∵Ａ种菜苗的捆数不超过Ｂ种菜苗的捆数， ∴ｍ≤１００－ｍ，解得ｍ≤５０． 设本次购买花费ｗ元， ∴ｗ＝２０×０．９ｍ＋３０×０．９（１００－ｍ）＝－９ｍ＋２７００． ∵－９＜０，∴ｗ随ｍ的增大而减小． ∴ｍ＝５０时，ｗ取最小值，最小值为－９×５０＋２７００＝２２５０（元）． 答：本次购买最少花费２２５０元． 考法拓展 ｘ＝４ ! ４ "#&'4536+7./01 以题代讲抓考点 考点　解一次不等式（组）及其应用 题目．（１）①ｘ＜３　ｘ≥－２ －２≤ｘ＜３ ②去分母　不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（或不等式 的基本性质２）　③ｘ＝２ （２）２　（３）ａ≤－２３　（４）－ １ ３＜ａ≤０ 考点链接 ①＞　②＞　③＞　④＜　⑤＜　⑥公共部分 多向思维解真题 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ａ　５．２＜ｘ≤３　６．ｘ＞ａ　７．７ ８．解：（１）选择活动一时，需付款４５０×０．８＝３６０元； 选择活动二时，需付款４５０－８０＝３７０元． ∵３６０＜３７０，∴选择活动一更合算． （２）设一件这种健身器材的原价是ｘ元． 根据题意，得０．８ｘ＝ｘ－８０， 解得ｘ＝４００． 答：一件这种健身器材的原价是４００元． （３）根据题意，可知选择活动一时，需付款０．８ａ元； 选择活动二时，若０＜ａ＜３００，需付款ａ元， 若３００≤ａ＜６００，需付款（ａ－８０）元， 若６００≤ａ＜９００，需付款（ａ－１６０）元． ①当０＜ａ＜３００时，ａ＞０．８ａ，此时无论ａ为何值，都是活动一更合算，不符合 题意； ②当３００≤ａ＜６００时，ａ－８０＜０．８ａ，解得３００≤ａ＜４００，即当３００≤ａ＜４００ 时，活动二更合算； ③当６００≤ａ＜９００时，ａ－１６０＜０．８ａ，解得６００≤ａ＜８００，即当６００≤ａ                                                                                                                                         ＜８００ —２—