第二章 第2节 一次二次方程及其应用-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

　 　 16　 第 2 节　一元二次方程及其应用 一元二次方程及其解法 题目 1　 已知关于 x的一元二次方程(a -2)· x2 - 4x + 1 = 0,请完成下列问题: (1)a 的取值范围是　 a≠2　 ; (2)若一元二次方程的一个根为 x = 1,则 a 的值为　 5　 ; (3)当 a = 4 时,请用适当的方法解方程; (4)当 a = 0 时,一元二次方程的根的情 况是 ( 　 A　 ) A. 有两个不相等的实数根　 　 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根　 　 　 　 　 　 　 　 　 D. 无法确定 (5)若方程没有实数根,则 a 的取值范围是 　 a > 6　 . 1.一元二次方程 只含有①　 一　 个未知数,并且未知数的最 高次数是②　 　 　 　 的整式方程叫做一元二 次方程. 能化成一般形式③　 ax2 + bx + c = 0 (a,b,c 为常数,a≠0) . 2.一元二次方程的解法 解法 适用情况 步骤 直接开 平方法 (1)当方程缺少一 次项时,即 ax2 + c = 0(a≠0,ac <0); (2 ) 形如 a ( x + m) 2 = n(n≥0)的 方程 将方程化为 ax2 = p 或( x + m) 2 = p 的 形式,再利用平方 根的定义求解 注意:开方后所取值 前记得加“ ± ”号 因式分 解法 一元二次方程的一 边化为 0 后,另外 一边易于分解成两 个一次因式的乘 积,即(x - a) (x - b) = 0 分别令每个一次因 式为 0,得到两个一 元一次方程;这两个 一元一次方程的解 就是一元二次方程 的两个解 注意:等式两边不能 同时约去含有相同 未知数的因式 公式法 适用于所有一元二 次方程,求根公式 为④　 　 　 　 将一元二次方程化 为一 般 式 ( ax2 + bx + c = 0),确定 a, b,c 的值,利用求根 公式求出方程的根 注意: 确 定 a, b, c 的值时要带符号; 判别式 b2 - 4ac≥ 0,且 a≠0 配方法 适用于所有一元二 次方程,一般来说, 当方程的二次项系 数是 1、一次项系 数是偶数时,利用 配方法比较简便 将一元二次方程化 为(x + h)2 = k 的形 式,可得方程的解为 x = ± 　 k - h 注意:配方时,方程 两边可以同时加上 一次项系数一半的 平方 3.根的判别式 关于 x 的一元二次方程⑤　 ax2 + bx + c = 0　 (a,b,c 为常数,a≠0)的根的判别式为 b2 - 4ac,记作 Δ = b2 - 4ac. 判别式与根的关系: Δ > 0⇔方程有⑥　 两个不相等　 的实数根; Δ = 0⇔方程有⑦　 两个相等　 的实数根; Δ < 0⇔方程⑧　 没有　 实数根. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 17　 　 4.根与系数的关系(2022 年课标调整为考查内容) 若关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的根为 x1,x2,则 x1 + x2 =⑨　 　 　 　 　 , x1x2 =⑩　 　 　 　 　 　 . 以两个数 x1,x2为根 的一元二次方程(二次项系数为 1)是􀃊􀁉􀁓　 x2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一元二次方程的实际应用 题目 2　 如图,小明同学用一张长 11 cm,宽 7 cm 的矩形纸板制作一个底面积为 21 cm2 的无盖长方体纸盒,他将纸板的四个角各剪 去一个同样大小的正方形,将四周向上折叠 即可(损耗不计) . 设剪去的正方形边长为 x cm,则可列出关于 x 的方程为　 (11 - 2x) (7 - 2x) = 21　 . 1.一般步骤:审、设、列、解、验、答􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. (检验时既 要检验所求结果是否为所列方程的解,还要 检验是否为原问题的解) 2.常考类型 (1)增长率问题:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 增长率 = 增长数量 基础数量 × 100% . 设 a 为原来的量,x 为平均增长(降低)率, b 为增长(降低)后的量,n 为增长(降低)的 次数,则 a(1 + x) n = b 或 a(1 - x) n = b. (2)面积问题:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ①如图 1,若长为 a、宽为 b,设空白宽为 x,则 S阴影 =􀃊􀁉􀁔　 (a - 2x)(b - 2x)　 . ②如图 2,若长为 a、宽为 b,设空白宽为 x,则 S阴影 =􀃊􀁉􀁕　 (a - 3x)(b - 2x)　 . ③如图 3,若长为 a、宽为 b,设阴影宽为 x,则 S空白 =􀃊􀁉􀁖　 (a - x)(b - x)　 . ④如图 4,若长为 a、宽为 b,设阴影宽为 x,则 S空白 =􀃊􀁉􀁗　 (a - x)(b - x)　 . 图 1 　 　 图 2 图 3 图 4 (3)循环问题: 单循环球赛:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍单循环球赛总场数 = n(n - 1) 2 (n 为参赛球队总数); 握手:􀪍􀪍􀪍握手总次数 = n(n - 1) 2 (n 为参与握手 的总人数); 互赠礼物:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍互赠礼物总份数 = n(n - 1)(n 为 参与互赠礼物的总人数) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　命题点一 解一元二次方程 1. (2023 新疆)用配方法解一元二次方程 x2 - 6x + 8 = 0,配方后得到的方程是 (　 　 ) A. (x + 6) 2 = 28　 　 　 　 B. (x - 6) 2 = 28 C. (x + 3) 2 = 1 D. (x - 3) 2 = 1 2. (2023 衡阳)已知关于 x 的方程 x2 +mx -20 =0 的一个根是 -4,则它的另一个根是 . 　命题点二 一元二次方程根的判别式（10年9考） 3. (2023 河南)关于 x 的一元二次方程 x2 +mx - 8 = 0 的根的情况是 (　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 18　 4. (2022 河南)一元二次方程 x2 + x - 1 = 0 的根 的情况是 (　 A　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 5. (2021 河南)若方程 x2 - 2x + m = 0 没有实数 根,则 m 的值可以是 (　 D　 ) A. - 1　 　 　 B. 0　 　 　 C. 1　 　 　 D. 3 6. (2020 河南)定义运算:m☆n = mn2 - mn - 1. 例如:4☆2 =4 × 22 - 4 × 2 - 1 = 7. 则方程 1☆ x = 0 的根的情况为 (　 A　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 7. (2019 河南)一元二次方程(x + 1)(x - 1) = 2x + 3 的根的情况是 (　 A　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 (2023 广安)已知 a,b,c 为常数,点 P(a,c)在 第四象限,则关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的情况为 (　 　 ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 　解题讲易错 根据方程根的情况求字母参数范围时的 注意事项 (1)若二次项系数含有字母,则不要忽视二次项 系数不为 0 的隐含条件; (2)若一元二次方程有实数根,则分为两种情 况:有两个相等的实数根,有两个不相等的 实数根,即 Δ≥0,注意不要漏写等号; (3)若所给方程未指出方程类型,需要分二次项 系数为 0 和不为 0 两种情况讨论,即方程是 一元一次方程或一元二次方程. 　命题点三 一元二次方程的实际应用 　　　　 （2020 年考查） 8. (2020 河南)国家统计局统计数据显示,我国 快递业务收入逐年增加. 2017 年至 2019 年我 国快递业务收入由 5 000 亿元增加到7 500 亿元. 设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入 的年平均增长率为 x,则可列方程为 (　 C　 ) A. 5 000(1 + 2x) = 7 500 B. 5 000 × 2(1 + x) = 7 500 C. 5 000(1 + x) 2 = 7 500 D. 5 000 +5 000(1 + x) +5 000(1 + x)2 =7 500 9. (2023 龙东)如图,在长为 100 m,宽为 50 m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路. 若 余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是 3 600 m2,则小路的宽是 (　 　 ) A. 5 m B. 70 m C. 5 m 或 70 m D. 10 m 10. (2023 牡丹江)张师傅去年开了一家超市, 今年 2 月份开始盈利,3 月份盈利 5 000 元, 5 月份盈利达到 7 200 元,从 3 月到 5 月,每 月盈利的平均增长率都相同,则每月盈利的 平均增长率是 . 11. (2023 恩施)《九章算术》被称为人类科学史 上应用数学的“算经之首” . 书中记载:“今 有户不知高、广,竿不知长短. 横之不出四 尺,从之不出二尺,邪之适出. 问户高、广、邪 各几何?”译文:今有门,不知其高宽;有竿, 不知其长短,横放,竿比门宽长出 4 尺;竖 放,竿比门高长出 2 尺;斜放, 竿与门对角线恰好相等. 问门 高、宽和对角线的长各是多少 (如图)? 答:门高 ∙ 、宽 ∙ 和对角线 ∙∙∙ 的长分别是 尺. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P8 ＝ａ－１ａ， 当ａ＝１００时，原式＝９９１００． １１．解：（１）②，③． （２）甲同学的解法： 原式＝ ｘ（ｘ－１） （ｘ＋１）（ｘ－１）＋ ｘ（ｘ＋１） （ｘ＋１）（ｘ－１[ ]）·ｘ ２－１ ｘ ＝ｘ ２－ｘ＋ｘ２＋ｘ （ｘ＋１）（ｘ－１）· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＝ ２ｘ ２ （ｘ＋１）（ｘ－１）· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＝２ｘ． 乙同学的解法： 原式＝ ｘｘ＋１· ｘ２－１ ｘ ＋ ｘ ｘ－１· ｘ２－１ ｘ ＝ ｘｘ＋１· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＋ ｘ ｘ－１· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＝ｘ－１＋ｘ＋１ ＝２ｘ．（任选一种即可） !+#$ ,-./0&12'./0 ! １ " &'()*&'()+ 以题代讲抓考点 考点一　一元一次方程及其解法 题目１．（１）３（１３－３ｘ）－２×５ｘ＝－１８　３９－９ｘ－１０ｘ＝－１８　－１９ｘ＝－５７　ｘ＝３ （２）３ 考点链接 ①ｂ±ｃ　②ｂｃ　③ ｂｃ　④一　⑤１　⑥ａｘ＋ｂ＝０　⑦最小公倍数　⑧ａｘ＝ｂ ⑨ｘ＝ｂａ 考点二　一次方程组及其解法 题目２．９ｘ－３ｙ＝６　１１ｘ＝１１　ｘ＝１　１　２＋３ｙ＝５　ｙ＝１　 ｘ＝１， ｙ{ ＝１　３ｘ－２　 ２ｘ＋３（３ｘ－２）＝５　ｘ＝１　１　ｙ＝１　 ｘ＝１， ｙ{ ＝１ 考点链接 ⑩两　瑏瑡１　瑏瑢消元　瑏瑣一元一次 考点三　一次方程（组）的实际应用 题目３．（１）Ｂ　（２）Ｂ 多向思维解真题 １．Ｂ　２． ｘ＝１， ｙ{ ＝２ ３．解： ｘ－ｙ＝１，① ３ｘ＋２ｙ＝８，{ ② ①×２，得２ｘ－２ｙ＝２，③ ②＋③，得５ｘ＝１０，解得ｘ＝２． 将ｘ＝２代入①，得ｙ＝１． ∴方程组的解为 ｘ＝２， ｙ＝１{ ． ４．Ｂ　５． ｙ＝８ｘ－３， ｙ＝７ｘ{ ＋４ ６．解：（１）设该班级胜了ｘ场，负了ｙ场． 根据题意，得 ｘ＋ｙ＝１５， ３ｘ＋ｙ＝４１{ ，解得 ｘ＝１３，ｙ＝２{ ． 答：该班级胜负场数分别是１３场和２场． （２）设该班级这场比赛中投中了ｍ个３分球，则投中了（２６－ｍ）个２分球． 根据题意，得３ｍ＋２（２６－ｍ）≥５６， 解得ｍ≥４． 答：该班级这场比赛中至少投中了４个３分球． 考法拓展 （－５，－４） ! ２ "#&,-'()./01 以题代讲抓考点 考点一　一元二次方程及其解法 题目１．（１）ａ≠２　（２）５ （３）解：２ｘ２－４ｘ＋１＝０， ∴Δ＝（－４）２－４×２×１＝８＞０． ∴ｘ＝－（－４） 槡±８２×２ ． ∴ｘ１＝１＋槡 ２ ２，ｘ２＝１－ 槡２ ２． （４）Ａ　（５）ａ＞６ 考点链接 ①一　②２　③ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ，ｂ，ｃ为常数，ａ≠０）　④ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ⑤ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０　⑥两个不相等　⑦两个相等　⑧没有　⑨－ｂａ　⑩ ｃ ａ 瑏瑡ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｘ＋ｘ１ｘ２＝０ 考点二　一元二次方程的实际应用 题目２．（１１－２ｘ）（７－２ｘ）＝２１ 考点链接 瑏瑢（ａ－２ｘ）（ｂ－２ｘ）　瑏瑣（ａ－３ｘ）（ｂ－２ｘ）　瑏瑤（ａ－ｘ）（ｂ－ｘ）　瑏瑥（ａ－ｘ）（ｂ－ｘ） 多向思维解真题 １．Ｄ　２．５　３．Ａ　４．Ａ　５．Ｄ　６．Ａ　７．Ａ　８．Ｃ　９．Ａ　１０．２０％　 １１．８，６，１０ 考法拓展 Ｂ ! ３ "#23()./01 以题代讲抓考点 考点一　分式方程及其应用 题目１．（１）－４　（２）（ｘ－２）　３ｘ＝－２＋５（ｘ－２）　３ｘ＝－２＋５ｘ－１０　－２ｘ＝ －１２　ｘ＝６　６　ｘ－２　ｘ＝６　（３）－６ 考点链接 ①未知数　②分母为０ 考点二　分式方程的实际应用 题目２．工作总量 工作效率 　（１＋２０％）ｘ　３０００ｘ ＝ ３０００ （１＋２０％）ｘ＋１０　ｘ＝５０ ｘ＝５０是原分式方程的根，且符合题意　５０ 考点巩固练 １０ ｘ－６＝ ４０ ｘ 多向思维解真题 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ｂ ５．解：（１）设菜苗基地每捆 Ａ种菜苗的价格是 ｘ元，则市场上每捆 Ａ种菜苗 的价格是 ５ ４ｘ元． 根据题意，得 ３００ ｘ＝ ３００ ５ ４ｘ ＋３，解得ｘ＝２０． 经检验，ｘ＝２０是原方程的解，且符合题意． 答：菜苗基地每捆Ａ种菜苗的价格是２０元． （２）设购买Ａ种菜苗ｍ捆，则购买Ｂ种菜苗（１００－ｍ）捆． ∵Ａ种菜苗的捆数不超过Ｂ种菜苗的捆数， ∴ｍ≤１００－ｍ，解得ｍ≤５０． 设本次购买花费ｗ元， ∴ｗ＝２０×０．９ｍ＋３０×０．９（１００－ｍ）＝－９ｍ＋２７００． ∵－９＜０，∴ｗ随ｍ的增大而减小． ∴ｍ＝５０时，ｗ取最小值，最小值为－９×５０＋２７００＝２２５０（元）． 答：本次购买最少花费２２５０元． 考法拓展 ｘ＝４ ! ４ "#&'4536+7./01 以题代讲抓考点 考点　解一次不等式（组）及其应用 题目．（１）①ｘ＜３　ｘ≥－２ －２≤ｘ＜３ ②去分母　不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（或不等式 的基本性质２）　③ｘ＝２ （２）２　（３）ａ≤－２３　（４）－ １ ３＜ａ≤０ 考点链接 ①＞　②＞　③＞　④＜　⑤＜　⑥公共部分 多向思维解真题 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ａ　５．２＜ｘ≤３　６．ｘ＞ａ　７．７ ８．解：（１）选择活动一时，需付款４５０×０．８＝３６０元； 选择活动二时，需付款４５０－８０＝３７０元． ∵３６０＜３７０，∴选择活动一更合算． （２）设一件这种健身器材的原价是ｘ元． 根据题意，得０．８ｘ＝ｘ－８０， 解得ｘ＝４００． 答：一件这种健身器材的原价是４００元． （３）根据题意，可知选择活动一时，需付款０．８ａ元； 选择活动二时，若０＜ａ＜３００，需付款ａ元， 若３００≤ａ＜６００，需付款（ａ－８０）元， 若６００≤ａ＜９００，需付款（ａ－１６０）元． ①当０＜ａ＜３００时，ａ＞０．８ａ，此时无论ａ为何值，都是活动一更合算，不符合 题意； ②当３００≤ａ＜６００时，ａ－８０＜０．８ａ，解得３００≤ａ＜４００，即当３００≤ａ＜４００ 时，活动二更合算； ③当６００≤ａ＜９００时，ａ－１６０＜０．８ａ，解得６００≤ａ＜８００，即当６００≤ａ                                                                                                                                         ＜８００ —２—