第二章 第1节 一次方程与一次方程组-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

13　 　 !"#$% & '()* &( ) ( ) 第 1节　一次方程与一次方程组 一元一次方程及其解法 题目1　 (1)按步骤解方程:13 -3x2 - 5x 3 = -3. 解:方程两边同乘 6, 得　 3(13 - 3x) - 2 × 5x = - 18　 . 去括号,得　 39 - 9x - 10x = - 18　 . 移项、合并同类项,得　 - 19x = - 57　 . 系数化为 1,得　 x = 3　 . (2)若关于 x 的方程4 - x2 + a = 4 的解是x = 2,则 a 的值为 . 1.等式的基本性质 性质 1:等式两边同时加(或减)同一个数(或􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 式子),结果仍相等.􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍如果 a = b,那么 a ± c = ①　 b ± c　 . 性质 2:等式两边同时乘同一个数(或除以同􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 一个不为 0 的数),结果仍相等.􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍如果a = b,那 么 ac =②　 bc　 　 ;如果 a = b(c≠0),那么 ac = ③　 　 . 2.一元一次方程 只含有④　 　 　 　 个未知数(元),未知数的次 数都是⑤　 　 　 　 ,且等号两边都是整式的方 程叫做一元一次方程,一般形式为⑥　 　 　 　 (a,b 是常数,且 a≠0) . 3.解一元一次方程的一般步骤 (1)去分母:􀪍􀪍􀪍􀪍方程中未知数系数有分母时,方 程两边都乘各分母的⑦　 最小公倍数　 (不 含分母的项也要乘) . (2)去括号:􀪍􀪍􀪍􀪍方程中有括号时,先去括号(括 号外的符号是负号时,要变号) . (3)移项:􀪍􀪍􀪍把含有未知数的项都移到方程的一 边,常数项移到方程的另一边(移项必须变号). (4)合并同类项:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍把方程化成⑧　 ax = b 　 (a≠0)的形式. (5)系数化为 1:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍方程两边都除以未知数的系 数 a,得到方程的解为⑨　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一次方程组及其解法 题目 2　 解方程组 2x + 3y = 5,① 3x - y = 2. ②{ 解:解法一:② ×3,得　 9x - 3y = 6　 . ③ ③ +①,得　 11x = 11　 ,解得　 x = 1　 . 将 x = 　 1　 代入①,得　 2 + 3y = 5　 , 解得　 y = 1　 . ∴ 原方程组的解为　 　 　 　 　 . 解法二:将②变形为 y = 　 3x - 2　 . ③ 将③代入①中,得　 2x + 3(3x - 2) = 5　 , 解得　 x = 1　 . 将 x = 　 1　 代入③,得　 y = 1　 . ∴ 原方程组的解为　 　 　 　 　 . 1.二元一次方程 含有⑩　 　 　 　 个未知数,且含有未知数的 项的次数都是􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 的方程叫做二元一 次方程. 2.二元一次方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的 一组方程,叫做二元一次方程组. 3.二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的基本思路是􀃊􀁉􀁔　 消元　 , 使之转化为􀃊􀁉􀁕　 一元一次　 方程,消元的方 法有代入消元法和加减消元法. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 14　 (1)代入消元法:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍当方程组中一个方程的常 数项为 0 或某一个未知数的系数是 1 或 - 1 时,选择代入消元法较为简单; (2)加减消元法:􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍①当方程组中同一个未知 数的系数相反或相同时,采用加减消元法较 为简单;②当系数不相反也不相同时,可通过 找系数的最小公倍数,将系数变成相反或相 同,再采用加减消元法较为简单. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一次方程（组）的实际应用 题目 3　 (1) “曹冲称象”是流传很广的故 事,按照他的方法:先将象牵到大船上,并在 船侧面标记水位,再将象牵出;然后往船上抬 入20 块等重的条形石,并在船上留 3 个搬 运工,这时水位恰好到达标记位置;如果再 抬入 1 块同样的条形石,船上只留 1 个搬运 工,水位也恰好到达标记位置. 已知搬运工 体重均为 120 斤,设每块条形石的重量是 x 斤,则下列说法正确的是 (　 B　 ) A. 依题意 3 × 120 = x - 120 B. 依题意 20x + 3 × 120 = (20 + 1)x + 120 C. 该象的重量是 5 040 斤 D. 每块条形石的重量是 260 斤 (2)为培养青少年的创新意识、动手实践能 力、现场应变能力和团队精神,某市举办了 第 10 届青少年机器人竞赛. 组委会为每个 比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的 凳子共 12 个,若桌子腿数与凳子腿数的和 为 40 条,则每个比赛场地有几张桌子和几 条凳子? 设有 x 张桌子,有 y 条凳子,根据 题意所列方程组正确的是 (　 B　 ) A. x + y = 40, 4x + 3y = 12{ 　 　 　 　 B. x + y = 12, 4x + 3y = 40{ C. x + y = 40, 3x + 4y = 12{ D. x + y = 12, 3x + 4y = 40{ 1.列方程(组)解应用题的一般步骤 (1) 审:􀪍􀪍弄清已知量和未知量之间的相等 关系; (2)设:􀪍􀪍设出关键未知数; (3)列:􀪍􀪍找出等量关系,列方程(组); (4)解:􀪍􀪍解方程(组); (5)验:􀪍􀪍检验所求解是否符合题意; (6)答:􀪍􀪍规范作答,注意单位名称. 2.列方程(组)解应用题的常见类型 常见类型 关系式 利润问题 售价 =标价 ×折扣; 销售额 =售价 ×销量; 利润 =售价 -成本; 利润率 = 利润 成本 × 100% 工程问题 工作总量 =工作效率 × 工作时间 = 各 部分工作量之和; 常把工作总量看作“1” 行程问题 基本关系:路程 =速度 ×时间; 相遇问题:全路程 = 甲走的路程 + 乙 走的路程; 追及问题:(同地不同时出发)前者走 的路程 =追者走的路程, (同时不同地出发)前者走的路程 +两 地间距离 =追者走的路程 水中航行 顺流速度 =静水速度 +水流速度; 逆流速度 =静水速度 -水流速度 浓度问题 (跨学科) 溶液 =溶质 +溶剂; 溶质 =溶液 ×浓度 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15　 　 　命题点一 二元一次方程组的解法（必考） 1. (2023 眉山)已知关于 x,y 的二元一次方程 组 3x - y = 4m + 1, x + y = 2m - 5{ 的解满足 x - y = 4,则 m 的值为 (　 　 ) A. 0　 　 　 B. 1　 　 　 C. 2　 　 　 D. 3 2. (2023河南)方程组 3x +y =5, x +3y =7{ 的解为 . 3. (2023乐山)解二元一次方程组: x - y =1, 3x +2y =8.{ (2023 通辽)点 Q 的横坐标为一元一次方程 3x +7 =32 -2x 的解,纵坐标为 a + b 的值,其中 a,b 满足二元一次方程组 2a - b =4, - a +2b = -8,{ 则 点 Q关于 y 轴对称点 Q′的坐标为 . 　命题点二 一次方程（组）的实际应用（10年6考） 4. (2023 绍兴)《九章算术》中有一题:“今有大 器五、小器一容三斛;大器一、小器五容二斛. 问大、小器各容几何?”译文:今有大容器 5 个, 小容器 1 个,总容量为 3 斛(斛:古代容量单 位);大容器 1 个,小容器 5 个,总容量为 2 斛. 问大容器、小容器的容量各是多少斛? 设大 容器的容量为 x 斛,小容器的容量为 y 斛,则 可列方程组是 (　 　 ) A. x + 5y = 3, 5x + y = 2{ B. 5x + y = 3, x + 5y = 2{ C. 5x = y + 3, x = 5y + 2{ D. 5x = y + 2, x = 5y + 3{ 5. (2023 威海)《九章算术》中有一个问题:“今 有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四. 问 人数、物价各几何?”题目大意是:有几个人一 起去买一件物品,每人出 8 元,多 3 元;每人 出 7 元,少 4 元. 问有多少人? 该物品价值多 少元? 设有 x 人,该物品价值 y 元,根据题意 列方程组: 　 . 6. (2023 长沙)为提升学生身体素质,落实教育 部门“在校学生每天锻炼时间不少于 1 小时” 的文件精神. 某校利用课后服务时间,在八年 级开展“体育赋能,助力成长”班级篮球赛, 共 16 个班级参加. (1)比赛积分规定:每场比赛都要分出胜负, 胜一场积 3 分,负一场积 1 分. 某班级在 15 场比赛中获得总积分为 41 分,问该班级胜负 场数分别是多少? (2)投篮得分规则:在 3 分线外投篮,投中一 球可得 3 分,在 3 分线内(含 3 分线)投篮,投 中一球可得 2 分,某班级在其中一场比赛中, 共投中 26 个球(只有 2 分球和 3 分球),所得 总分不少于 56 分,问该班级这场比赛中至少 投中了多少个 3 分球? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P6 ＝ａ－１ａ， 当ａ＝１００时，原式＝９９１００． １１．解：（１）②，③． （２）甲同学的解法： 原式＝ ｘ（ｘ－１） （ｘ＋１）（ｘ－１）＋ ｘ（ｘ＋１） （ｘ＋１）（ｘ－１[ ]）·ｘ ２－１ ｘ ＝ｘ ２－ｘ＋ｘ２＋ｘ （ｘ＋１）（ｘ－１）· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＝ ２ｘ ２ （ｘ＋１）（ｘ－１）· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＝２ｘ． 乙同学的解法： 原式＝ ｘｘ＋１· ｘ２－１ ｘ ＋ ｘ ｘ－１· ｘ２－１ ｘ ＝ ｘｘ＋１· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＋ ｘ ｘ－１· （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ＝ｘ－１＋ｘ＋１ ＝２ｘ．（任选一种即可） !+#$ ,-./0&12'./0 ! １ " &'()*&'()+ 以题代讲抓考点 考点一　一元一次方程及其解法 题目１．（１）３（１３－３ｘ）－２×５ｘ＝－１８　３９－９ｘ－１０ｘ＝－１８　－１９ｘ＝－５７　ｘ＝３ （２）３ 考点链接 ①ｂ±ｃ　②ｂｃ　③ ｂｃ　④一　⑤１　⑥ａｘ＋ｂ＝０　⑦最小公倍数　⑧ａｘ＝ｂ ⑨ｘ＝ｂａ 考点二　一次方程组及其解法 题目２．９ｘ－３ｙ＝６　１１ｘ＝１１　ｘ＝１　１　２＋３ｙ＝５　ｙ＝１　 ｘ＝１， ｙ{ ＝１　３ｘ－２　 ２ｘ＋３（３ｘ－２）＝５　ｘ＝１　１　ｙ＝１　 ｘ＝１， ｙ{ ＝１ 考点链接 ⑩两　瑏瑡１　瑏瑢消元　瑏瑣一元一次 考点三　一次方程（组）的实际应用 题目３．（１）Ｂ　（２）Ｂ 多向思维解真题 １．Ｂ　２． ｘ＝１， ｙ{ ＝２ ３．解： ｘ－ｙ＝１，① ３ｘ＋２ｙ＝８，{ ② ①×２，得２ｘ－２ｙ＝２，③ ②＋③，得５ｘ＝１０，解得ｘ＝２． 将ｘ＝２代入①，得ｙ＝１． ∴方程组的解为 ｘ＝２， ｙ＝１{ ． ４．Ｂ　５． ｙ＝８ｘ－３， ｙ＝７ｘ{ ＋４ ６．解：（１）设该班级胜了ｘ场，负了ｙ场． 根据题意，得 ｘ＋ｙ＝１５， ３ｘ＋ｙ＝４１{ ，解得 ｘ＝１３，ｙ＝２{ ． 答：该班级胜负场数分别是１３场和２场． （２）设该班级这场比赛中投中了ｍ个３分球，则投中了（２６－ｍ）个２分球． 根据题意，得３ｍ＋２（２６－ｍ）≥５６， 解得ｍ≥４． 答：该班级这场比赛中至少投中了４个３分球． 考法拓展 （－５，－４） ! ２ "#&,-'()./01 以题代讲抓考点 考点一　一元二次方程及其解法 题目１．（１）ａ≠２　（２）５ （３）解：２ｘ２－４ｘ＋１＝０， ∴Δ＝（－４）２－４×２×１＝８＞０． ∴ｘ＝－（－４） 槡±８２×２ ． ∴ｘ１＝１＋槡 ２ ２，ｘ２＝１－ 槡２ ２． （４）Ａ　（５）ａ＞６ 考点链接 ①一　②２　③ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ，ｂ，ｃ为常数，ａ≠０）　④ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ⑤ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０　⑥两个不相等　⑦两个相等　⑧没有　⑨－ｂａ　⑩ ｃ ａ 瑏瑡ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｘ＋ｘ１ｘ２＝０ 考点二　一元二次方程的实际应用 题目２．（１１－２ｘ）（７－２ｘ）＝２１ 考点链接 瑏瑢（ａ－２ｘ）（ｂ－２ｘ）　瑏瑣（ａ－３ｘ）（ｂ－２ｘ）　瑏瑤（ａ－ｘ）（ｂ－ｘ）　瑏瑥（ａ－ｘ）（ｂ－ｘ） 多向思维解真题 １．Ｄ　２．５　３．Ａ　４．Ａ　５．Ｄ　６．Ａ　７．Ａ　８．Ｃ　９．Ａ　１０．２０％　 １１．８，６，１０ 考法拓展 Ｂ ! ３ "#23()./01 以题代讲抓考点 考点一　分式方程及其应用 题目１．（１）－４　（２）（ｘ－２）　３ｘ＝－２＋５（ｘ－２）　３ｘ＝－２＋５ｘ－１０　－２ｘ＝ －１２　ｘ＝６　６　ｘ－２　ｘ＝６　（３）－６ 考点链接 ①未知数　②分母为０ 考点二　分式方程的实际应用 题目２．工作总量 工作效率 　（１＋２０％）ｘ　３０００ｘ ＝ ３０００ （１＋２０％）ｘ＋１０　ｘ＝５０ ｘ＝５０是原分式方程的根，且符合题意　５０ 考点巩固练 １０ ｘ－６＝ ４０ ｘ 多向思维解真题 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ｂ ５．解：（１）设菜苗基地每捆 Ａ种菜苗的价格是 ｘ元，则市场上每捆 Ａ种菜苗 的价格是 ５ ４ｘ元． 根据题意，得 ３００ ｘ＝ ３００ ５ ４ｘ ＋３，解得ｘ＝２０． 经检验，ｘ＝２０是原方程的解，且符合题意． 答：菜苗基地每捆Ａ种菜苗的价格是２０元． （２）设购买Ａ种菜苗ｍ捆，则购买Ｂ种菜苗（１００－ｍ）捆． ∵Ａ种菜苗的捆数不超过Ｂ种菜苗的捆数， ∴ｍ≤１００－ｍ，解得ｍ≤５０． 设本次购买花费ｗ元， ∴ｗ＝２０×０．９ｍ＋３０×０．９（１００－ｍ）＝－９ｍ＋２７００． ∵－９＜０，∴ｗ随ｍ的增大而减小． ∴ｍ＝５０时，ｗ取最小值，最小值为－９×５０＋２７００＝２２５０（元）． 答：本次购买最少花费２２５０元． 考法拓展 ｘ＝４ ! ４ "#&'4536+7./01 以题代讲抓考点 考点　解一次不等式（组）及其应用 题目．（１）①ｘ＜３　ｘ≥－２ －２≤ｘ＜３ ②去分母　不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（或不等式 的基本性质２）　③ｘ＝２ （２）２　（３）ａ≤－２３　（４）－ １ ３＜ａ≤０ 考点链接 ①＞　②＞　③＞　④＜　⑤＜　⑥公共部分 多向思维解真题 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ａ　５．２＜ｘ≤３　６．ｘ＞ａ　７．７ ８．解：（１）选择活动一时，需付款４５０×０．８＝３６０元； 选择活动二时，需付款４５０－８０＝３７０元． ∵３６０＜３７０，∴选择活动一更合算． （２）设一件这种健身器材的原价是ｘ元． 根据题意，得０．８ｘ＝ｘ－８０， 解得ｘ＝４００． 答：一件这种健身器材的原价是４００元． （３）根据题意，可知选择活动一时，需付款０．８ａ元； 选择活动二时，若０＜ａ＜３００，需付款ａ元， 若３００≤ａ＜６００，需付款（ａ－８０）元， 若６００≤ａ＜９００，需付款（ａ－１６０）元． ①当０＜ａ＜３００时，ａ＞０．８ａ，此时无论ａ为何值，都是活动一更合算，不符合 题意； ②当３００≤ａ＜６００时，ａ－８０＜０．８ａ，解得３００≤ａ＜４００，即当３００≤ａ＜４００ 时，活动二更合算； ③当６００≤ａ＜９００时，ａ－１６０＜０．８ａ，解得６００≤ａ＜８００，即当６００≤ａ                                                                                                                                         ＜８００ —２—