1.4 二次函数的应用（2） 课件 2024—2025学年浙教版数学九年级上册

1.4 二次函数的应用（2） 第1章 二次函数 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 （1）综合运用二次函数和其他数学知识解决有关距离、利润等的函数最值问题. （2）发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值． 复习回顾 【复习】二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 当自变量x为全体实数时，由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当a＞0时，有 ，此时 . 当a＜0时，有 ，此时 . 复习回顾 【练习】如图，抛物线经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，D是直线BC上方抛物线上的一个动点，连结DC，DB，求△BCD面积的最大值. 复习回顾 【解析】 设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)(x－4)(a≠0)， 把点C(0，－4)的坐标代入，得4a＝－4，解得a＝－1， ∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)(x－4)＝－x2＋5x－4. 由点B，C的坐标易知直线BC的函数表达式为y＝x－4. 连结OD，设点D(x，－x2＋5x－4)，则 ∴当x＝2时，△BCD的面积最大，最大值为8. 例题探究 【例1】如图，B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船以12km/h的速度朝正北方向行驶，B船以5km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？ 例题探究 例题探究 【例2】某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)存在一次函数关系，如图所示，求该种苹果的日销售最大利润. 例题探究 ∵a＝－2＜0， ∴当x＝20时，w有最大值，最大值为200. 即当销售单价为20元/千克时，利润最大，为200元． 【例3】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日销售量为400瓶，问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？ 例题探究 等量关系 单件利润=售价-进价；总利润=单件利润×销售数量 分析：设销售定价为x元/瓶，日均毛利润为y元/瓶. 单价（元/件） 单利（元/件） 数量 降价前 12 12-9=3 400 降价后 x x-9 增加了(x-12)元 减少了40[(x-12)÷0.5]瓶 数量400-40[(x-12)÷0.5]瓶 =1360-80x 1360-80x 列表格 例题探究 答：售价定位每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元。 例题探究 【例4】一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面 3 m．已知球门高OB为2.44 m，现以O为原点建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)； (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？ 例题探究 (1)求抛物线的表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)； 例题探究 (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？ 例题探究 生活问题 表格分析 数学模型 提 炼 化 归 二次函数最值 自 验 利润最大值问题 距离最小值问题 几何图形 检 变 量 取 值 范 围 学以致用 D 【1】一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过 t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是(　　) A．5 B．10 C．1 D．2 学以致用 10 学以致用 【3】路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s＝30t－5t2，司机应该至少在离前面以30 km/h速度同向行驶的汽车________m时紧急刹车，才能不发生碰撞事故． 20 学以致用 39.5 学以致用 【5】某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发一种产品，公司按订单生产(产量＝销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件，此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数表达式y＝－x＋26. (1)求这种产品第一年的利润w1(万元)与售价x(元/件)满足的函数表达式. (2)如果该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (3)第二年，该公司将第一年利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件，为保护市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件，请计算该公司第二年的利润w2至少为多少万元. 学以致用 【6】为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量 <m></m> 千克与每平方米种植的株数 <m></m> （ <m></m> ，且 <m></m> 为整数）构成一种函数关系.当每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克. （1） 求 <m></m> 关于 <m></m> 的函数表达式； （2） 每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 学以致用 解：（1） <m></m> 每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， <m></m> . 答： <m></m> 关于 <m></m> 的函数表达式为 <m></m> （ <m></m> ，且 <m></m> 为整数）. （2）设每平方米小番茄的产量为 <m></m> 千克. 根据题意，得 <m></m> . <m></m> ， <m></m> ，且 <m></m> 为整数， <m></m> 当 <m></m> 时， <m></m> 取得最大值，最大值为12.5. 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克. 学以致用 课堂小结 生活问题 表格分析 数学模型 提 炼 化 归 二次函数最值 自 验 利润最大值问题 距离最小值问题 几何图形 检 变 量 取 值 范 围 解：设y＝kx＋b(k≠0)， 由图象可得解得 ∴y＝－2x＋60. 设利润为w元，根据题意得 w＝(x－10)y＝(x－10)(－2x＋60) ＝－2x2＋80x－600＝－2(x－20)2＋200. 解：由题意得抛物线的顶点坐标为(2，3)， 设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋3(a≠0)， 把点A(8，0)的坐标代入，得36a＋3＝0，解得a＝－. ∴抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋3. 当x＝0时，y＝>2.44，∴球不能射进球门． 解：设小明带球向正后方移动b m，则移动后的抛物线的表达式为y＝－(x－2－b)2＋3. 把(0，2.25)代入，得2.25＝－(－2－b)2＋3， 解得b1＝－5(舍去)，b2＝1. ∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门． 【2】如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－(x－10)·(x＋4)，则铅球推出的距离OA＝______m. 【4】随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，小敏从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设她出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：km)，乘坐地铁的时间y1(单位：min)是关于x的一次函数y1＝2x＋2，若小敏骑单车的时间y2(单位：min)也受x的影响，其关系可以用y2＝x2－11x＋78来描述，则小敏从文化宫回到家里所需的时间最短为________min. 【解析】 (1)w1＝(x－6)(－x＋26)－80＝－x2＋32x－236. (2)由题意，得20＝－x2＋32x－236， 解得x1＝x2＝16， 即该产品第一年的售价是16元/件. (3)由题意，得14≤x≤16. w2＝(x－5)(－x＋26)－20＝－x2＋31x－150＝－(x－15.5)2＋90.25. ∵14≤x≤16， ∴当x＝14时，w2有最小值，最小值为88， 即该公司第二年的利润w2至少为88万元. $$