第8章 第5节 椭圆（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教B版2019）

第五节　椭　圆 【课程标准】1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．4.了解椭圆的简单应用． 1．椭圆的定义 条　件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 F1，F2为椭圆的焦点 |MF1|＋|MF2|＝2a |F1F2|为椭圆的焦距 2a＞|F1F2| 微提醒　若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，则动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 学生用书↓第196页 【记牢常用结论】 1．若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a. (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2．焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦) 焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－. 1．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 B．椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形 C．＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆 D．＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等 答案：BD 2．(链接人A选择性必修一P115T1)如果点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式＋＝4，则点M的轨迹是(　　) A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 答案：B 解析：＋＝4表示平面内点M(x，y)到点(0，－3)，(0,3)的距离之和为4，而3－(－3)＝6<4，所以点M的轨迹是椭圆．故选B. 3．(链接人A选择性必修一P109T1)已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 答案：D 解析：由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－3＝7.故选D. 4．(链接人A选择性必修一P112例4)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 答案：D 解析：把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝.故选D. 5．(用结论)已知椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点．若△F1AB是等边三角形，则b＝________. 答案： 解析：因为△F1AB是等边三角形，所以|F1A|＝|F1B|，故A，B关于x轴对称，所以AB⊥x轴，故∠F1F2A＝90°，又因为∠F1AF2＝60°，所以|AF1|＝2|AF2|，又|AF1|＋|AF2|＝2a＝6，故|AF2|＝＝2，所以b2＝2a＝6，b＝. 考点一　椭圆的定义及其应用基础练 [(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　 ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 (2)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|， 所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r. 又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．故选A. (2)法一：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°， 从而S△F1PF2＝b2tan 45°＝1＝×|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. 法二：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. 学生用书↓第197页 [变式探究] (变条件)若将本例(2)中的“·＝0”变为“∠F1PF2＝60°”，求|PF1|·|PF2|及OP的值． 解：由椭圆方程知c2＝5－1＝4，即c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，即16＝20－3|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝. 因为＝(＋)， 所以2＝(＋)2 ＝(2＋2＋2·) ＝[(||＋||)2－||·||] ＝×＝. 所以PO＝. 综上可知，|PF1|·|PF2|及OP的值分别为和. 规律方法 椭圆定义的应用技巧 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为 “焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|的值，通过整体代入可求其面积等． 对点练1.(1)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，点P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则S△PF 1F 2＝(　　) A．24 B．26 C．22 D．24 (2)(2024·浙江温州模拟)已知椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则|OM|＝(　　) A．2 B．4 C．7 D．14 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)由椭圆方程可得焦点在y轴上，且a＝7，b＝2，c＝＝5.由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝14.又3|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×8×6＝24.故选A. (2)如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|OM|＝|PF2|，由椭圆的方程得a＝10，所以2a＝20，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝20－6＝14，所以|OM|＝7.故选C. 考点二　椭圆的标准方程多维练 角度1　定义法 已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：D 解析：由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2，焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1.故选D. 角度2　待定系数法 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________________． 答案：＋＝1 解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．将P1，P2代入方程，得 解得所以椭圆的方程为＋＝1. 规律方法 求椭圆标准方程的方法 1．定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． 2．待定系数法： 提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)． 对点练2.(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) 学生用书↓第198页 A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 (2)(2024·江西上饶模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(，0)，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝＝4，故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.故选D. (2)由椭圆方程可知A(a,0)，由四边形OMAN是正方形可知M，又点M在椭圆C上，则有＋＝1，解得＝3，又椭圆C的右焦点为(，0)，则c＝，结合a2－b2＝c2，解得a2＝3，b2＝1，则椭圆C的方程为＋y2＝1.故选A. 考点三　椭圆的几何性质多维练 角度1　离心率 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． (2)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A. (2)设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，所以kAP·kAQ＝·＝＝.(*)因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)，代入(*)式，得＝，所以e＝＝＝.故选A. 规律方法 求椭圆离心率的三种方法 1．直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． 2．由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． 3．构造a，c的方程，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 角度2　与椭圆有关的范围(最值)问题 (1)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 (2)(2024·四川德阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B是椭圆C上的任意两点，四边形ABF1F2是平行四边形，且|AB|≤2|AF2|，则椭圆C的离心率的取值范围是________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－2.当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.故选A. (2)因为四边形ABF1F2是平行四边形，则AB∥F1F2，且|AB|＝|F1F2|＝2c，结合椭圆的对称性可知，四边形ABF1F2为矩形，所以F1F2⊥AF2，则|AF2|＝.因为|AB|≤2|AF2|，即2c≤，所以ac≤b2＝a2－c2，即c2＋ac－a2≤0，同除以a2可得e2＋e－1≤0，解得≤e≤.因为0<e<1，所以0<e≤. 规律方法 与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略 对点练3.(1)(2024·广东韶关模拟)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C．－1 D．－1 (2)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由题意，F1(－c,0)，F2(c,0)，因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，c)，将点P坐标代入＋＝1可得＋＝1，整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，所以4e4－8e2＋1＝0，因为0<e<1，所以e＝.故选B. (2)由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，所以·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又因为＋＝1，所以y2＝3－x2，所以·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.因为－2≤x≤2，所以当x＝2时，·有最大值6.故选C. 课时测评64　椭　圆 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8，每小题5分，共40分) 1．(2024·九省适应性测试)椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝(　　) A． B． C． D．2 答案：A 解析：由题意得e＝＝，解得a＝.故选A. 2．已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：C 解析：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.因为c＝，所以b＝＝2，所以椭圆的方程是＋＝1.故选C. 3．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝(　　) A． B． C．5 D． 答案：A 解析：在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，则c＝＝4，故点A，C为椭圆的焦点，因此，＝＝＝.故选A. 4．(2024·安徽六安模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k>0)与C交于M，N两点(其中M在第一象限)，若M，F1，N，F2四点共圆，则C的离心率e的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，F1，N，F2四点共圆，知四边形MF1NF2为矩形， 所以以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，则c>b，即c2>b2＝a2－c2，所以2c2>a2，故<e<1.故选A. 5．[多选题]已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则(　　) A．C的离心率为 B．△PF1F2的周长为5 C．∠F1PF2<90° D．1≤|PF1|≤3 答案：CD 解析：对于A，由椭圆方程知a＝2，c＝＝1，所以离心率e＝＝，故A错误；对于B，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2的周长为4＋2＝6，故B错误；对于C，当P为椭圆短轴端点时，|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|＝2，所以∠F1PF2＝60°，即(∠F1PF2)max＝60°，所以∠F1PF2<90°，故C正确；对于D，因为|PF1|min＝a－c＝1，|PF1|max＝a＋c＝3，所以1≤|PF1|≤3，故D正确．故选CD. 6．[多选题](2024·广东佛山模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，且tan∠BF1F2＝，点P在C上，线段PF1与BF2交于点Q，＝2，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得KF1⊥KF2 C．直线PF1的斜率为 D．PF1平分∠BF1F2 答案：ACD 解析：令椭圆的半焦距为c，则F1(－c,0)，F2(c,0)，由tan∠BF1F2＝，得b＝c，a＝4c，椭圆C：＋＝1，B(0，c)．而＝2，则点Q.对于A，椭圆C的离心率e＝＝，故A正确；对于B，设K(x0，y0)，则y＝15c2－x，·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝x＋y－c2＝x＋14c2>0，即∠F1KF2为锐角，故B不正确；对于C，直线PF1的斜率k＝＝，故C正确；对于D，直线BF1的方程为x－y＋c＝0，点Q到直线BF1的距离d＝＝，即点Q到直线F1B与F1F2的距离相等，所以PF1平分∠BF1F2，故D正确．故选ACD. 7．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，直线x－3y＋1＝0与椭圆交于P，Q两点，则△PQF2的周长为________． 答案：8 解析：由题意得，F1(－1,0)，F2(1,0)，直线x－3y＋1＝0过左焦点F1(－1,0)，所以|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a＝4，|PQ|＝|PF1|＋|QF1|，所以C△PQF下下下2＝|PQ|＋|QF2|＋|PF2|＝|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＋|PF2|＝4a＝8. 8．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为________． 答案：－1 解析：不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝＝－1. 9．(10分)已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|. (1)求此椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积． 解：(1)由题意得c＝1，因为2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，所以4c＝2a，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3，故所求椭圆的方程为＋＝1. (2)设点P坐标为(x，y)，x<0，y>0，因为∠F2F1P＝120°，所以PF1所在直线的方程为y＝－(x＋1)．联立可得所以S△PF1F2＝|F1F2|×＝. 10．(12分)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点． (1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 解：(1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c， 故C的离心率为e＝＝－1. (2)设P(x，y)，由题意得 即 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)， 所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P. 所以b＝4，a的取值范围为. (每小题6分，共24分) 11．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得|PF1|＝6|PF2|，则C的方程可能为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：A 解析：由题意可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝6|PF2|，联立可得|PF2|＝.又|PF2|＝≥a－c，所以7c≥5a，即49c2≥25a2,49(a2－b2)≥25a2，整理可得49b2≤24a2，又b＝2，所以a2≥，且焦点在y轴上．故选A. 12.[多选题]如图所示，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是＋＝1 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2 答案：CD 解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝得2a＝＝8，解得a＝4，故A不正确；显然b＝2，则c＝＝2，离心率e＝＝，故B不正确；当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为＋＝1，故C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，故D正确．故选CD. 13．(2024·山东日照模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，P，Q是椭圆上关于原点对称的两点，M，N分别是PF，QF的中点．若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________． 答案： 解析：设点P(x0，y0)，则 Q(－x0，－y0)，又点F(c,0)， 所以M， N， 又以MN为直径的圆过原点，则有OM⊥ON，所以·＝0，即·－·＝0，所以c2－x－y＝0，又＋＝1，所以x＋b2－c2＝0，得x＝，所以0≤<a2，整理得2c2≥a2，解得e≥，又e<1，所以≤e<1. 14．(2024·山东泰安模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为____________________；若P为椭圆C上一动点，M(3,3)，则|PM|－|PF|的最小值为________． 答案：＋＝1　1 解析：因为椭圆C的一个焦点为F(0,1)，所以椭圆C的焦点在y轴上，且c＝1，因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以a－c＝1，得a＝2，因为b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1；将M(3,3)代入椭圆方程，得＋＝>1，所以M点在椭圆外，如图所示，设椭圆C的另一个焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，所以|PM|－|PF|＝|PM|＋|PF′|－4.当F′，P，M三点共线时，|PM|＋|PF′|取得最小值，且最小值为|MF′|＝＝5，所以|PM|－|PF|的最小值为1. 15．(14分)若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”． (1)求椭圆C2的方程； (2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：A1H⊥PA2. 解：(1)椭圆C1：＋＝1的离心率为e＝＝＝， 设椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，且b＝， 因为两个椭圆为“相似椭圆”，所以e＝＝，解得a2＝12， 所以椭圆C2的方程为＋＝1. (2)证明：不妨设P(m，n)，其中n>0，则＋＝1，可得m2＝6－， 把x＝m代入椭圆C1：＋＝1，可得y＝，所以H， 所以kA1H＝，kPA2＝， 所以kA1H·kPA2＝×＝＝－＝－＝－1. 所以A1H⊥PA2. 学生用书↓第199页 学科网（北京）股份有限公司 $$