第7章 第5节 空间直线、平面的垂直（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教B版2019）

第五节　空间直线、平面的垂直 【课程标准】　1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明．　2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 1．直线与直线垂直 (1)定义：若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且夹角为直角，则称这两条直线互相垂直． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它就和平面内的任意一条直线垂直． 2．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． 学生用书↓第162页 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 3.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：. 4．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角： 若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α -l-β的平面角是∠AOB. (3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 5．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 微提醒　三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 【记牢常用结论】 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 1．[多选题]下列说法错误的是(　　) A．直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α B．垂直于同一个平面的两平面平行 C．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 D．若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a∥直线b 答案：ABC 2．(链接人A必修二P162T2)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β 答案：D 解析：对于A，若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故选项A不正确；对于B，若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，故选项B不正确；对于C，若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故选项C不正确；对于D，若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知选项D正确．故选D. 3．(链接人A必修二P163T5) 如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF 学生用书↓第163页 把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有(　　) A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面 C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面 答案：A 解析：四面体S-EFG如图所示： 由SG⊥GE，SG⊥GF，且GE∩GF＝G得，SG⊥△EFG所在的平面．故选A. 4．(用结论)[多选题]下列命题中正确的有(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案：ABC 解析：若α⊥β，则α内有无数条直线垂直于平面β，而非所有直线都垂直于平面β，故D错误．易知A，B，C正确．故选ABC. 5．(链接人A必修二P152例4)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________． 答案： 解析：∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝＝. 考点一　垂直关系命题的真假基础练 [(1)(2024·河南开封模拟)l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　　) A．若α⊥β，β⊥γ，α∩γ＝l，则l⊥β B．若m⊥n，n⊥l，则m∥l C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β (2)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题________． 答案：(1)A　(2)②③⇒①(或①③⇒②) 解析：(1)对于A，若α⊥β，β⊥γ，α∩γ＝l，则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得l⊥β，故A正确；对于B，若m⊥n，n⊥l，则m与l相交、平行或异面，故B错误；对于C，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故C错误；对于D，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选A. (2)已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m. 规律方法 与线面垂直关系有关的命题真假的判断方法 1．借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图通过空间想象来判断． 2．寻找反例，只要存在反例，结论就不正确． 3．反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明．　　 对点练1.(1)[多选题](2024·江苏南京模拟)已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中，l⊥m的充分条件有(　　) A．α⊥β，l⊥α，m∥β B．α∥β，l∥α，m⊥β C．α⊥β，l⊥α，m⊥β D．α⊥β，l∥α，m∥β (2)已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有(　　) A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACD C．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD 答案：(1)BC　(2)B 解析：(1)A选项不是l⊥m的一个充分条件，两个平面垂直，两条直线分别平行和垂直于平面，则这两条直线可能相交、平行或异面，故A错误；B选项，因为m⊥β，且α∥β，所以m⊥α，又因为l∥α，所以l⊥m，故B正确；C选项，因为m⊥β，l⊥α，又因为α⊥β，所以l⊥m，故C正确；D选项不是l⊥m的一个充分条件，两个平面垂直，两条直线分别平行于平面，则这两条直线可能垂直、平行或异面，故D错误．故选BC. (2)因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故选B. 考点二　直线与平面垂直的判定与性质综合练 [如图①所示，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，将四边形CDFE沿直线EF折起，使得平面CDFE⊥平面ABEF，如图②所示，点M，N分别满足＝2，＝. 求证：AN⊥平面BMN. 证明：连接AE交BN于点G，连接MG(图略)，设AB＝2， 因为平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF＝EF，CE⊂平面CDFE，CE⊥EF， 所以CE⊥平面ABEF. 因为点N是EF的中点，NE∥AB，所以AG＝2GE. 又AM＝2MC，所以MG∥CE， 所以MG⊥平面ABEF. 因为AN⊂平面ABEF，所以MG⊥AN. 又AB＝2，AN＝NB＝，所以AN⊥NB. 因为NB∩MG＝G，NB，MG⊂平面BMN，所以AN⊥平面BMN. 学生用书↓第164页 规律方法 证明线面垂直的常用方法及关键 1．证明直线和平面垂直的常用方法 (1)判定定理． (2)传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)面面垂直的性质． 2．证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直常借助线面垂直的定义． 3．判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．　　 对点练2.如图①所示，在平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠BDC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿直线BC折起，如图②所示，使AD＝，点M，N分别为AC，AD的中点． 判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由． 证明：MN⊥平面ABD.理由如下： 在Rt△BDC中，BC＝2，CD＝1，由勾股定理得，BD＝， 因为AD＝，AB＝2，所以AB2＋BD2＝AD2， 所以AB⊥BD. 又AB⊥BC，且BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面CBD，所以AB⊥平面CBD. 又CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD. 又CD⊥BD，且BD∩AB＝B，BD，AB⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD. 又M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD， 所以MN⊥平面ABD. 考点三　面面垂直的判定与性质综合练 [如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点． 求证：(1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD. 证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD. 所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD， 又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB， 又因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD. 规律方法 1．面面垂直的两种判定方法与一个转化 (1)两种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 2．面面垂直性质定理的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．　　 学生用书↓第165页 对点练3. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，D为BC的中点，AA1＝2，且∠C1CB＝60°，平面BB1C1C⊥平面ABC. 证明：C1D⊥AB. 证明：连接BC1(图略)，在△BCC1中，因为BC＝CC1＝2，∠C1CB＝60°， 所以△BCC1为等边三角形， 又D为BC的中点，所以C1D⊥BC， 因为平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，C1D⊂平面BB1C1C，所以C1D⊥平面ABC， 因为AB⊂平面ABC，所以C1D⊥AB. 考点四　垂直关系的综合应用综合练 [如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝. (1)求证：B1C∥平面A1BM； (2)求证：AC1⊥平面A1BM； (3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求出此时的值并证明；如果不存在，请说明理由． 解：(1)证明：连接AB1，交A1B于点O，连接OM，如图． 因为在△B1AC中，M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C， 又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM， 所以B1C∥平面A1BM. (2)证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM， 又因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1， 所以BM⊥平面ACC1A1， 因为AC1⊂平面ACC1A1，所以BM⊥AC1. 易知AM＝1，又AA1＝，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝， 所以∠AC1C＝∠A1MA， 所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1. 因为BM∩A1M＝M，BM，A1M⊂平面A1BM， 所以AC1⊥平面A1BM. (3)存在，当点N为BB1的中点，即＝时， 平面AC1N⊥平面AA1C1C. 证明：取BB1的中点N，AC1的中点D，连接AN，NC1，DM，DN. 因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DM∥CC1，且DM＝CC1. 又因为N为BB1的中点，所以DM∥BN，且DM＝BN，所以四边形BNDM为平行四边形，所以BM∥DN， 由(2)知BM⊥平面AA1C1C， 所以DN⊥平面AA1C1C. 又因为DN⊂平面AC1N， 所以平面AC1N⊥平面AA1C1C. 　规律方法 1．三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． 2．对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．　 对点练4.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD，△ABC是底面圆的内接正三角形，且DO＝6，则在线段DO上是否存在一点P，使得PA⊥平面PBC？若存在，求出PO的值；若不存在，请说明理由． 解：存在点P，使得PA⊥平面PBC.由题得AO＝AD，因为AD2＝DO2＋AO2， 所以AD2＝36＋AD2， 所以AD＝4，所以AO＝2， 因为△ABC是底面圆的内接正三角形， 所以＝2×2，所以AB＝6， 由题得PA2＝AO2＋PO2＝12＋PO2. 假设PA⊥平面PBC，则PA⊥PB， 所以36＝12＋PO2＋12＋PO2， 所以PO＝. 此时PC2＝PO2＋OC2＝18，PA2＝18，所以PA2＋PC2＝AC2，所以PA⊥PC. 故当PO＝时，PA⊥平面PBC. 课时测评54　空间直线、平面的垂直 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8，每小题5分，共40分) 1．已知l1，l2是平面α内的两条直线，l是空间的一条直线，则“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：当l⊥α时，l1⊂α，l2⊂α，所以l⊥l1且l⊥l2；当l⊥l1且l⊥l2，l1⊂α，l2⊂α，但l1，l2是否相交无法判断，所以l⊥α可能成立，也可能不成立．综上，“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的充分不必要条件．故选A. 2．下列三个命题，真命题的个数为(　　) (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于该平面； (2)过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直； (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：命题(1)：由直线垂直平面的定义可知，若直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则该直线垂直于该平面，故命题(1)错误；命题(2)：由直线与平面垂直的性质定理可知，过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故命题(2)正确；命题(3)：垂直于同一条直线的两个平面一定平行，故命题(3)正确．故选C. 3．(2024·九省适应性测试)设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是(　　) A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l B．若m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β C．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l D．若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β 答案：C 解析：对于A，m，l可能平行，相交或异面，故A错误；对于B，α，β可能相交或平行，故B错误；对于D，α，β可能重合或平行，故D错误；由线面平行性质得C正确．故选C. 4.如图，在四面体D -ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 答案：C 解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.故选C. 5．(2024·河北秦皇岛模拟)在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC，D，E，M分别为AC，PC，BC的中点，则以下结论不一定成立的是(　　) A．PA∥平面BDE B．若PA⊥BC，则AB＝AC C．若∠BAC＝90°，则平面PBC⊥平面PAM D．点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心 答案：C 解析：对于A，因为D，E分别为AC，PC的中点，所以PA∥DE，又PA⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，所以PA∥平面BDE，故A正确；对于B，因为BC的中点为M，PB＝PC，所以PM⊥BC，又PA⊥BC，PA∩PM＝P，PA，PM⊂平面PAM，所以BC⊥平面PAM，又因为AM⊂平面PAM，所以BC⊥AM，则AB＝AC，故B正确；对于C，∠BAC＝90°，则MA＝MB＝MC，又PA＝PB＝PC，则△PMA≌△PMB≌△PMC，则∠PMA＝∠PMB＝∠PMC＝90°，故PM⊥AM，若平面PAM⊥平面PBC，因为平面PAM∩平面PBC＝PM，AM⊂平面PAM，所以AM⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AM⊥BC，又M为BC的中点，则AB＝AC，不一定成立，故C不一定成立；对于D，由PA＝PB＝PC可知，点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，故D正确．故选C. 6.[多选题]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，则下列结论可能正确的有(　　) A．DF⊥BC B．BD⊥FC C．平面BDF⊥平面BCF D．平面DCF⊥平面BCF 答案：BC 解析：对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，所以A错误；对于B，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以B正确；对于C，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以C正确；对于D，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以D错误．故选BC. 7．[多选题](2024·河南焦作模拟) 如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中一定成立的是(　　) A．AC＝BC B．AB⊥VC C．VC⊥VD D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO 答案：ABD 解析：因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB.因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB.又因为VO∩VD＝V，VO，VD⊂平面VCD，所以AB⊥平面VCD.又因为CD⊂平面VCD，所以AB⊥CD.又因为AD＝BD，所以AC＝BC，故A正确；因为VC⊂平面VCD，所以AB⊥VC，故B正确；因为S△VCD＝VO·CD，S△ABC＝AB·CD，所以S△VCD·AB＝S△ABC·VO，故D正确．由题中条件无法判断VC⊥VD.故选ABD. 8．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则△ABC的形状为________． 答案：直角三角形 解析：因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，PB⊥BC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形． 9．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为等边三角形． (1)求证：AD⊥PB； (2)若平面PAD⊥平面ABCD，点E为PB的中点，求三棱锥P-ADE的体积． 解：(1)证明：如图，取AD的中点O，连接OB，OP，BD. 因为△PAD为等边三角形，O是AD的中点，所以OP⊥AD. 因为底面ABCD是菱形， ∠BAD＝60°， 所以△ABD是等边三角形，OB⊥AD. 因为OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面POB， 所以AD⊥平面POB. 因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB. (2)因为底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形， 所以PA＝PD＝AD＝2，PO＝， S四边形ABCD＝2××2×2×sin 60°＝2. 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. 因为E为PB的中点， 所以VP-ADE＝VB-ADE＝VP-ABD＝VP-ABCD＝×××2＝. 10．(10分)(2023·全国甲卷) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高． 解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 又因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC， 因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又因为BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O. 因为平面 ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC， 又因为A1B＝AB，BC为公共边， 所以△ABC与△A1BC全等，所以A1C＝AC. 所以△ACA1与△A1CC1均为等腰直角三角形， 所以A1O＝CC1＝1， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1. (每小题6分，共24分) 11．图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6 m．若PO＝2 m，PB＝3 m，△ABC的面积为10 m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为(0.5OD＝1.5OE)(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2 m B．6 m C．8 m D．9 m 答案：A 解析：根据条件得，OE＝＝＝2 m．因为PO⊥平面ABC，BC，AE⊂平面ABC，所以PO⊥AE，PO⊥BC，又AB＝AC，E是BC的中点，所以AE⊥BC，又PO∩AE＝O，PO，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，又PE⊂平面PAE，所以PE⊥BC.因为PO＝2 m，所以PE＝2 m，因为PB＝3 m，所以BE＝1 m．由于△ABC的面积为10 m2，所以BC·AE＝10，解得AE＝10 m，即AO＝8 m，即AP＝2 m．故选A. 12.[多选题]如图所示，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为正方形，SC＝SD＝CD＝1，E为线段SD的中点，F为AC与BD的交点，AD⊥SD.则下列结论正确的是(　　) A．BC⊥平面SCD B．EF∥平面SAB C．平面SCD⊥平面ABCD D．线段BE的长度等于线段SF的长度 答案：ABC 解析：因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD.又因为AD⊥SD，所以BC⊥SD，CD∩SD＝D，CD，SD⊂平面SCD，所以BC⊥平面SCD，因此A正确；因为BC⊂平面ABCD，所以平面SCD⊥平面ABCD，因此C正确；因为F是BD的中点，E为SD的中点，所以EF∥SB，又因为SB⊂平面SAB，EF⊄平面SAB，所以EF∥平面SAB，因此B正确；因为△CDS是边长为1的正三角形，四边形ABCD是正方形，所以DS＝1，BD＝.又由BC⊥平面SCD，得BC⊥SC，所以BS＝.在△BDS中，BS＝BD＝，DS＝1，又BE，SF分别是等腰三角形BDS的底边DS和腰BD上的中线，所以线段BE与SF的长度不相等(否则△BDS是正三角形)，因此D不正确．故选ABC. 13.[多选题](2024·广西柳州模拟)如图，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，AD⊥AA1，AD⊥AB，∠A1AB＝60°，M，N分别是棱AB和BC的中点，则下列说法中正确的是(　　) A．A1，C1，M，N四点共面 B．B1N与AB共面 C．AD⊥平面ABB1A1 D．A1M⊥平面ABCD 答案：ACD 解析：如图，连接MN，AC，A1C1，因为M，N分别是棱AB和BC的中点，所以MN∥AC.因为AA1∥CC1，且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1，所以MN∥A1C1，所以A1，C1，M，N四点共面，故A正确；因为AD⊥AA1，AD⊥AB，AA1∩AB＝A，所以AD⊥平面ABB1A1，故C正确；连接A1B，因为∠A1AB＝60°，AB＝AD＝AA1＝1，所以△ABA1是等边三角形，所以A1M⊥AB，因为AD⊥平面ABB1A1，A1M⊂平面ABB1A1，所以A1M⊥AD，因为AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以A1M⊥平面ABCD，故D正确；若B1N与AB共面，则B1，N，A，B共面，故N在平面ABB1A1中，这与题设矛盾，故B错误．故选ACD. 14．在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论： ①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直； ②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直； ③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直． 其中正确结论的序号是________． 答案：② 解析：①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，如图所示．则⇒BD⊥平面AEC，则BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，①不正确；②假设AB⊥CD，因为AB⊥AD，CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC，由AB<BC可知，存在这样的直角三角形，使AB⊥AC，故假设成立，②正确；③假设AD⊥BC，因为CD⊥BC，AD∩CD＝D，所以BC⊥平面ACD，所以BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB<BC，故矛盾，假设不成立，③不正确． (每小题8分，共16分) 15．(数学文化)刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图①解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体． 在如图②所示由正方体ABCD -A1B1C1D1得到的堑堵ABC-A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P-ABC中，鳖臑的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：设正方体的棱长为a，则由题意知，A1C1＝AC＝a，A1B＝a，A1C＝a，当点P为A1A的中点时，因为PA⊥平面ABC，则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°.由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC是直角三角形，即此时四面体P-ABC是鳖臑；当点P为A1B的中点时，因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥PB，BC⊥AB，所以△PBC，△ABC为直角三角形．因为ABB1A1是正方形，所以AP⊥BP，则△PAB是直角三角形，又AP⊥BC，BP∩BC＝B，所以AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC，所以△PAC是直角三角形，则此时四面体P-ABC是鳖臑；当点P为A1C的中点时，此时PA＝PC＝A1C＝，又AC＝a，由勾股定理可知，△PAC不是直角三角形，则此时四面体P-ABC不是鳖臑．故选C. 16．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是________． 答案：(0,1] 解析：因为C1C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，可得C1C⊥ED， 由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C⊂平面ECC1，可得ED⊥平面ECC1，所以ED⊥EC，在矩形ABCD中，设AE＝a,0≤a≤2，则BE＝2－a，由∠DEA＋∠CEB＝90°，可得tan∠DEA·tan∠CEB＝·＝＝1，即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，当a＝1时，t2取得最大值1，即t的最大值为1；当a＝0或2时，t2取得最小值0，但由于t>0，所以t的取值范围是(0,1]． 学生用书↓第166页 学科网（北京）股份有限公司 $$