第4章 第5节 课时2 三角函数的图象与性质(2)（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教B版2019）

课时2　三角函数的图象与性质(二) 考点一　三角函数的周期性基础练 [(1)函数f(x)＝cos x＋2cosx的一个周期为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π (2)函数f(x)＝sin 2x＋|sin 2x|的最小正周期为________． 答案：(1)D　(2)π 解析：(1)易知y＝cos x，y1＝2cosx的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f(x)的一个周期．故选D. (2)作出函数f(x)的大致图象，如图所示．根据图象可知f(x)为周期函数，最小正周期为π. 规律方法 　　 对点练1.(1)[多选题]下列函数中，以4π为周期的函数有(　　) A．y＝tan B．y＝sin C．y＝sin |x| D．y＝cos |x| (2)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________． 答案：(1)AD　(2)2或3 解析：(1)y＝tan，则T＝＝4π，故A正确；函数y＝sin的最小正周期为8π，故B不正确；函数y＝sin |x|不是周期函数，故C不正确；y＝cos |x|＝cos x，最小正周期为2π，所以4π也是它的一个周期，故D正确．故选AD. (2)由题意得1<<2，k∈N，所以<k<π，因为k∈N，所以k＝2或3. 考点二　三角函数的奇偶性与对称性多维练 角度1　奇偶性 (1)函数f(x)＝2sin2－1是(　　) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 (2)已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)f(x)＝2sin2－1＝－＝－cos＝sin 2x，可得f(x)的最小正周期为＝π.因为f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．故选D. (2)因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋＝＋kπ，k∈Z，解得θ＝＋kπ，k∈Z.又θ∈，所以θ＝，经检验，符合题意． 学生用书↓第89页 规律方法 三角函数奇偶性应用技巧 1．可结合常用结论判断奇偶性． 2．若y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))为奇函数，则当x＝0时，y＝0；若y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．　　 角度2　对称性 (1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，且x＝和x＝是函数图象的对称轴，所以＝－＝，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，得φ＝－π，则f(x)＝sin，则f＝sin＝.故选D. (2)因为<T<π，所以<<π，解得2<ω<3.因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，又2<ω<3，所以<ω＋<，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f(x)＝sin＋2，所以f＝sin＋2＝sin＋2＝1.故选A. 规律方法 三角函数对称性应用技巧 1．求函数的所有对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式．　　 2．判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断． 对点练2.(1)设函数f(x)＝cos(x＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)(其中f′(x)是函数f(x)的导数)是偶函数，则φ＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ (2)已知函数f(x)＝tan x－sin xcos x，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象不关于点对称 D．f(x)的图象关于点(π，0)对称 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)由题意得g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2cos.因为函数g(x)为偶函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z.又－π<φ<0，所以φ＝－.故选A. (2)因为f(x＋π)＝f(x)，所以f(x)的最小正周期不是2π，故A错误；因为f(－x)＝－f(x)≠f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象不关于y轴对称，故B错误；因为f(π－x)＝－tan x＋sin xcos x＝－f(x)，所以f(x)的图象关于点对称，故C错误；因为f(2π－x)＝－tan x＋sin xcos x＝－f(x)，所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确．故选D. 考点三　三角函数性质的综合应用综合练 [(2024·河北沧州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f是偶函数，则下列判断正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)的图象关于点对称 C．函数f(x)在上单调递增 D．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称 答案：C 解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期T＝π，ω＝＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为f是偶函数，所以f＝f，即直线x＝是函数f(x)图象的对称轴，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.函数f(x)的最小正周期为π.故选项A错误；因为f＝sin＝－1，所以点不是函数f(x)图象的对称中心，选项B错误；因为当≤x≤π时，≤2x＋≤，所以f(x)＝sin在上单调递增，选项C正确；因为f＝sin＝－，所以直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，选项D错误．故选C. 规律方法 解决三角函数图象与性质综合问题的方法 先将y＝f(x)化为y＝asin ωx＋bcos ωx的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．　　 对点练3.(1)(2024·江西宜春模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的周期是 B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0} C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z 学生用书↓第90页 (2)[多选题](2024·九省适应性测试)已知函数f(x)＝sin ＋cos ，则(　　) A．函数f为偶函数 B．曲线y＝f(x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z C．f(x)在区间单调递增 D．f(x)的最小值为－2 答案：(1)D　(2)AC 解析：(1)函数f(x)＝的周期T＝＝2π，故A错误；函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，故B错误；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即直线x＝不是f(x)图象的对称轴，故C错误；令kπ－<x－≤kπ，k∈Z，解得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故D正确．故选D. (2)f(x)＝sin ＋cos ＝sin 2xcos ＋sin cos 2x＋cos 2xcos －sin 2xsin ＝－sin 2x＋cos 2x－cos 2x－sin 2x＝－sin 2x，即f(x)＝－sin 2x，对于A，f＝－sin ＝cos 2x，易知为偶函数，所以A正确；对于B，f(x)＝－sin 2x对称轴为2x＝＋kπ，k∈Z⇒x＝＋，k∈Z，故B错误；对于C，x∈，2x∈，y＝sin 2x单调递减，则f(x)＝－sin 2x单调递增，故C正确；对于D，f(x)＝－sin 2x，则sin 2x∈[－1,1]，所以f(x)∈，故D错误．故选AC. 课时测评31　三角函数的图象与性质(二) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．下列函数中，是奇函数的是(　　) A．y＝|cos x＋1| B．y＝1－sin x C．y＝－3sin(2x＋π) D．y＝1－tan x 答案：C 解析：选项A中的函数是偶函数；选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数．故选C. 2．函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 答案：D 解析：f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝sin22x＝，则f(x)的最小正周期为T＝＝，且为偶函数．故选D. 3．同时满足f(x＋π)＝f(x)与f＝f的函数f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝tan x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x 答案：D 解析：由题意得所求函数的周期为π，且图象关于直线x＝对称．对于A项，f(x)＝cos 2x的周期为π，而f＝0不是函数的最值，所以其图象不关于直线x＝对称，不合题意．对于B项，f(x)＝tan x的周期为π，但图象不关于直线x＝对称，不合题意．对于C项，f(x)＝sin x的周期为2π，不合题意．对于D项，f(x)＝sin 2x的周期为π，且f＝1为函数的最大值，符合题意．故选D. 4．(2024·四川内江模拟)已知函数f(x)＝coscos(ω>0)的最小正周期为π，且曲线y＝f(x)关于直线x＝对称，则|φ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为ωx＋φ＋＝＋，所以f(x)＝coscos＝－sincos＝－sin．因为f(x)的最小正周期是π，所以＝π，所以ω＝1，则f(x)＝－sin.因为曲线y＝f(x)关于直线x＝对称，所以2×＋2φ－＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，则当k＝0时，|φ|＝，当k＝－1时，|φ|＝，则|φ|的最小值为.故选B. 5．[多选题]下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π C．图象关于点中心对称 D．图象关于直线x＝－对称 答案：AC 解析：对于A，当x∈时，2x＋∈，则函数在上单调递增，故A正确；对于B，函数的最小正周期为T＝，故B错误；对于C，当x＝时，2x＋＝，所以函数的图象关于点中心对称，故C正确；对于D，正切型函数的图象没有对称轴，故D错误．故选AC. 6．[多选题](2024·湖南衡阳模拟)已知函数f(x)＝sin，则(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)的图象关于点中心对称 D．f(x)在上有4个零点 答案：AC 解析：对于A，最小正周期T＝＝，故A正确；对于B，当x∈时，4x＋∈，不在区间内，故f(x)在上不单调递增，故B错误；对于C，f＝sin＝sin π＝0，故点是f(x)的一个对称中心，故C正确；对于D，令f(x)＝sin＝0，则4x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，故当x∈时，取k＝0,1,2,3,4，分别得x1＝－，x2＝，x3＝，x4＝，x5＝，故f(x)在上有5个零点，故D错误．故选AC. 7．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为________． 答案： 解析：因为函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝(k－2)π－，k∈Z，所以当k＝2时，|φ|取得最小值. 8．(新设问)若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f＝f，则其解析式可以是f(x)＝________.(写出一个满足条件的解析式即可) 答案：cos 3x(答案不唯一) 解析：因为对于任意的x∈R，都有f＝f，所以函数的图象关于直线x＝对称．又函数为偶函数，所以函数的解析式可以为f(x)＝cos 3x. 9．已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1，且方程f(x)－a＝0在内有实数根，则实数a的取值范围是________． 答案：[－2,1] 解析：f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2sin，方程f(x)－a＝0在内有实数根，即a＝f(x)在内有实数根，由x∈，得2x－∈，故－2≤f(x)≤1，即实数a的取值范围是[－2,1]． 10．(13分)已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin－cos2x＋. (1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值． 解：(1)由题意，得f(x)＝(－sin x)(－cos x) －cos2x＋ ＝sin xcos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋ ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π； 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 故f(x)的图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． (2)当0≤x≤时，－≤2x－≤， 由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1， 即0≤sin＋≤. 故f(x)的最小值为0，最大值为. 11．(14分)设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间； (3)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.因为ω>0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan(2x＋φ)． 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z. 又0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝tan. (2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋<x<＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． (3)由(1)知，f(x)＝tan. 由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，即－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为． (每小题6分，共12分) 12．(知识融合)若函数f(x)＝2sin(n>0)图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，则f(1)＝(　　) A． B．2 C．－2 D．－ 答案：A 解析：设两交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝2，y2＝－2，又函数f(x)＝2sin(n>0)为奇函数，所以x1＝－x2，当＝，即x＝时，函数取得最大值2，所以x1＝，x2＝－，由题意得2＋(2)2＝n2，解得n＝4，则f(1)＝2sin＝.故选A. 13．[多选题](2024·重庆模拟)已知函数f(x)＝cos x＋sin 2x，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期是π B．∃x0∈R，使f(x0)>f C．在[0,2π]内f(x)有4个零点 D．函数f(x)的图象是中心对称图形 答案：BCD 解析：对于A，f(x＋π)＝cos(x＋π)＋sin [2(x＋π)]＝－cos x＋sin 2x≠f(x)，故A错误；对于B，f＝cos＋sin＝1＋，f＝cos＋sin＝，()2＝3，2＝＋，因为>，所以>1＋，所以f>f，即∃x0∈R，使得f(x0)>f，故B正确；对于C，令f(x)＝cos x＋sin 2x＝0，即2cos x＝0，即cos x＝0或sin x＝－，解得x1＝，x2＝，x3＝，x4＝，恰好有4个零点，故C正确；对于D，f＝0，f＝cos＋sin[2]＝sin x＋sin 2x，f＝cos＋sin＝－sin x－sin 2x，所以f＋f＝0，即f(x)关于点对称，故D正确．故选BCD. (每小题8分，共16分) 14．[多选题](2024·山东临沂模拟)已知函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|，则下列说法正确的是(　　) A.是f(x)的周期 B．f(x)的最小值为 C．f＝f(x) D．f(x)＝在上有两解 答案：AD 解析：因为f＝＋＝|cos x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)是以为周期的函数，故A正确；当x∈时，f(x)＝|sin x|＋|cos x|＝sin x＋cos x＝sin，则x＋∈，所以1≤sin≤，函数f(x)的最小值为1，故B错误；由f＝＋＝≠f(0)＝1，故C错误；当x∈时，f(x)＝|sin x|＋|cos x|＝sin x＋cos x＝sin，此时f(x)在x∈上单调递增，在x∈上单调递减，在x＝处取得最大值，故f(x)＝在x∈上有唯一解．又因为f(－x)＝|sin(－x)|＋|cos(－x)|＝|sin x|＋|cos x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，因此f(x)＝在x∈上有唯一解，所以f(x)＝在上有两解，故D正确．故选AD. 15．(2024·陕西铜川模拟)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，满足函数y＝f是奇函数，且当|φ|取最小值时，函数f(x)在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：因为函数f(x)＝cos(2x＋φ)，满足函数y＝f＝cos是奇函数，所以－＋φ＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z，则当|φ|取最小值时，φ＝－.因为函数f(x)＝cos在区间和上均单调递增，所以解得≤a≤，则实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$