第4章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教B版2019）

第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式 【课程标准】　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.　2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(α±，α±π的正弦、余弦、正切)． 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 微提醒　平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)． 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 微提醒　诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．”奇“”偶“指的是”k·＋α(k∈Z)“中的k是奇数还是偶数．”变“与”不变“是指函数的名称的变化．”符号看象限“指的是在”k·＋α(k∈Z)“中，将α看成锐角时，”k·＋α(k∈Z)“的终边所在的象限． 【记牢常用结论】 1．同角三角函数关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)． (2)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． (3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (4)sin α＝tan αcos α. 2．诱导公式的常见变形 (1)sin(kπ＋α)＝(－1)ksin α(k∈Z)． (2)cos(kπ＋α)＝(－1)kcos α(k∈Z)． 1．[多选题]下列结论错误的是(　　) A．对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1 B．若α∈R，则tan α＝恒成立 C．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角 D．若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝± 答案：ABC 学生用书↓第78页 2．(链接人A必修一P185T6)已知角α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 解析：因为角α是第二象限角，所以cos α<0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝－＝－.故选A. 3．(链接北师必修二P141例5)已知tan α＝3，则＝________. 答案：2 解析：＝＝＝2. 4．(链接人B必修三P33例8)已知sin α＝，则＝________. 答案： 解析：＝＝sin α＝. 5．(用结论)已知sin α·cos α＝，且<α<，则cos α－sin α＝________. 答案：－ 解析：因为<α<，所以sin α>cos α，而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝－. 考点一　同角三角函数基本关系式的应用多维练 角度1　”知一求二“问题 (2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. 答案：－ 解析：因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 规律方法 利用同角基本关系式”知一求二“的方法 　　 角度2　sin α，cos α的齐次问题 已知＝5，则cos2α＋sin 2α＝(　　) A． B．－ C．－3 D．3 答案：A 解析：因为＝5，所以＝5，解得tan α＝2，故cos2α＋·sin 2α＝＝＝.故选A. 规律方法 利用”弦切互化“求齐次式值的方法 1．若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解． 2．若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解．　　 角度3　sin α±cos α与sin α·cos α之间的关系 已知sin α＋cos α＝－，α∈(0，π)，则sin α－cos α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：C 解析：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－<0，因为α∈(0，π)，所以α∈，sin α>cos α，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，所以sin α－cos α＝.故选C. 规律方法 ”sin α±cos α与sin α·cos α“之间关系的应用 sin α±cos α与sin α·cos α可通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题中已知其中一个可求另外两个．　　 对点练1.(1)若角α的终边在第三象限，则＋＝(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 (2)(2024·四川绵阳模拟)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________. (3)(2024·河北唐山模拟)已知tan α＝cos α，则cos2α＋cos4α＝________，－＝________. 答案：(1)B　(2)　(3)1　1 解析：(1)由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.故选B. (2)因为α＋β＝，所以β＝－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin＝3sin α－cos α＝sin(α－φ)＝，其中sin φ＝，cos φ＝.所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sin α＝sin＝cos φ＝，k∈Z. (3)由同角三角函数的基本关系，知tan α＝＝cos α，所以sin α＝cos2α，所以sin2α＝cos4α，所以cos2α＋cos4α＝cos2α＋sin2α＝1.－＝－＝－＝＝＝＝1. 学生用书↓第79页 考点二　诱导公式的应用基础练 [(1)化简： ＝________. (2)(2024·江苏南通调研)已知cos＝a，则cos＋sin＝________. 答案：(1)－　(2)0 解析：(1)原式＝＝－. (2)cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a， 所以cos＋sin＝－a＋a＝0. 规律方法 1．诱导公式应用的步骤 第一步，负化正：将负角的三角函数化为正角的三角函数； 第二步，大化小：将大于360°的角的三角函数化为0°～360°角的三角函数； 第三步，小化锐：将大于90°的角的三角函数化为0°～90°角的三角函数； 第四步，锐求值：得到0°～90°角的三角函数后直接求值． 也就是”负化正，大化小，小化到锐角就好了“． 2．常见的互余和互补的角 常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等；常见的互补关系有＋θ与－θ，＋θ与－θ等．　　 对点练2.(1)若f(α)＝ (1＋2sin α≠0)，则f＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)(2024·陕西铜川模拟)已知sin＝，则cos＝(　　) A． B． C．－ D．－ (3)(2024·广西梧川模拟)若f(x)＝sin＋1，且f(2 024)＝2，则f(2 025)＝________. 答案：(1)B　(2)B　(3)1 解析：(1)因为1＋2sin α≠0，所以f(α)＝＝＝＝，又因为sin＝sin＝sin＝，且cos＝cos＝，所以f＝＝＝.故选B. (2)因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.故选B. (3)因为f(2 024)＝sin＋1＝sin(1 012π＋α)＋1＝sin α＋1＝2，所以sin α＝1，cos α＝0，所以f(2 025)＝sin×2 025＋α)＋1＝sin＋1＝cos α＋1＝1. 考点三　同角关系与诱导公式的综合应用综合练 [(1)(2024·江西九江模拟)已知角α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　) A. B. C. D. (2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－，则＝________. 答案：(1)C　(2)－ 解析：(1)由已知得消去sin β，得tan α＝3，所以sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，因为α为锐角，所以sin α＝.故选C. (2)由已知，得sin x＋cos x＝，两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.因为(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，由－π<x<0知，sin x<0，又2sin xcos x＝－<0，所以cos x>0，所以sin x－cos x<0，所以sin x－cos x＝－，所以＝＝＝＝－. 规律方法 1．利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． 2．注意角的范围对三角函数符号的影响．　　 对点练3.已知角θ的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为. (1)求tan θ的值； (2)求的值． 解：(1)由角θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P，得2＋y2＝1，y<0， 解得y＝－，所以tan θ＝＝－. (2)因为tan θ＝－， 所以原式＝＝＝＝2－. 课时测评27　同角三角函数的基本关系及诱导公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．已知tan α＝，则等于(　　) A．－ B法 C．2 D．－2 答案：C 解析：因为tan α＝，所以＝＝＝2.故选C. 2．化简：sin＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：sin＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝－sin＋cos 2 640°＋tan 1 665°＝sin＋cos(360°×7＋120°)＋tan(360°×4＋225°)＝＋cos(180°－60°)＋tan(180°＋45°)＝－cos 60°＋tan 45°＝－＋1＝1.故选C. 3．若sin(π＋α)－cos(π－α)＝，则sin·cos等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：由sin(π＋α)－cos(π－α)＝，可得－sin α＋cos α＝，平方可得1－2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝，所以sincos＝cos αsin α＝.故选A. 4．(2024·安徽滁州模拟)若sin 12°＋cos 12°＝a，则cos 66°等于(　　) A．1－a B．a－1 C．1－a2 D．a2－1 答案：D 解析：由题知sin 12°＋cos 12°＝a，两边平方并化简得1＋sin 24°＝a2，sin 24°＝a2－1，所以cos 66°＝cos(90°－24°)＝sin 24°＝a2－1.故选D. 5．[多选题]在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝sin C B．sin＝cos C．tan(A＋B)＝－tan C D．cos(A＋B)＝cos C 答案：ABC 解析：在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，故A正确；sin＝sin＝cos，故B正确；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，故C正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故D错误．故选ABC. 6．[多选题]若＝1，则角θ的取值范围可能为(　　) A. B. C. D. 答案：BD 解析：原式＝ ＝＝＝1， 即＝1，由给定选项知，角θ的终边不在坐标轴上，则cos θ与sin θ异号，角θ为第二象限角或第四象限角．若角θ为第二象限角，则＝＝1，cos θ＋sin θ<0，θ∈；若角θ为第四象限角，则＝＝1，cos θ＋sin θ>0，θ∈.故选BD. 7．sin·cos·tan的值是________． 答案：－ 解析：原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－. 8．若<α<π，且cos α＝－，则的值为________． 答案： 解析：因为<α<π，且cos α＝－，所以sin α＝＝，则＝＝＝＝＝＝. 9．(新设问)若实数α，β满足方程组则β的一个值可以是____________．(写出满足条件的一个值即可) 答案：(答案不唯一，满足β＝＋2kπ，k∈Z即可) 解析：由题可得9sin2α＋9cos2α＝(2cos β)2＋(2sin β＋1)2， 即9＝4＋4sin β＋1，所以sin β＝1，所以β＝＋2kπ，k∈Z，可取k＝0时，β＝. 10．(13分)已知<α<π，tan α－＝－. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解：(1)令tan α＝x，则x－＝－， 整理得2x2＋3x－2＝0， 解得x＝或x＝－2，即tan α＝或tan α＝－2， 因为<α<π，所以tan α<0，故tan α＝－2. (2)原式＝＝tan α＋1＝－2＋1＝－1. 11．(14分)已知 f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)求f的值； (3)若cos＝，α∈，求f(α)的值． 解：(1)原式＝＝－cos α. (2)f＝－cos＝－cos＝－. (3)由cos＝，可得sin α＝－， 因为α∈，所以cos α＝－， 所以f(α)＝－cos α＝. (每小题6分，共12分) 12．[多选题]已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式＋(k∈Z)的取值为(　　) A．－2 B．－1 C．2 D．1 答案：AC 解析：当k为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；当k为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.故选AC. 13．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝________. 答案：0 解析：因为cos(180°－α)＝－cos α，所以cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1°＝cos 90°＝0. (每小题8分，共16分) 14．(新定义)[多选题]已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α广义互余的有(　　) A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝ 答案：AC 解析：若α与β广义互余，则α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，即β＝＋2kπ－α(k∈Z)．又由sin(π＋α)＝－，可得sin α＝.若α与β广义互余，则sin β＝sin＝cos α＝±＝±，故A正确；若α与β广义互余，则cos β＝cos＝sin α＝，而由cos(π＋β)＝，可得cos β＝－，故B错误；由A，B可知sin β＝±，cos β＝，所以tan β＝＝±，故C正确，D错误．故选AC. 15．(2024·安徽芜湖模拟)已知函数f(n)＝2sin＋1(n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝(　　) A．2 025 B．2 025＋ C．2 026＋ D．2 026 答案：B 解析：由f(n)＝2sin＋1(n∈N*)得f(n＋4)＝2sin＋1＝2sin＋1＝f(n)，所以4是f(n)的周期，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2sin＋1＋2sin ＋1＋2sin＋1＋2sin＋1＝4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 025)＝4×＋2sin＋1＝2 025＋.故选B. 学生用书↓第80页 学科网（北京）股份有限公司 $$