第一单元第四课时 分数混合运算和简便运算重难点精讲精练-六年级数学上学期（人教版）

第四课时 分数混合运算和简便运算 重难点精讲精练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 本课时难点 重点:理解整数乘法运算定律在分数乘法中的运用。 难点:灵活运用运算性质和运算定律使计算简便。 知识梳理 1.分数乘加、乘减混合运算的运算顺序 分数乘加、乘减混合运算:没有括号的先算乘法,后算加减法;有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。 2.整数乘法运算定律推广到分数乘法 整数乘法的运算定律对于分数同样适用,在计算分数乘法时,也可以应用乘法的交换律、结合律和分配律,可以使计算简便。例如：a×b=b×a (a×b)×c= a×（b×c) (a+b)×c=a×c+b×c 3.整数乘法运算定律和性质在分数乘法中的应用 根据题目的运算符号和数字特点,选用合适的运算定律和性质进行计算。 课堂精讲 知识点一 分数乘加、乘减混合运算的运算顺序 问题导入：一个画框的尺寸如下图,做这个画框需要多长的木条? 过程讲解 1. 理解题意:由图可知这个画框的形状是长方形,求做这个画框需要多长的木条,也就是求这个长方形的周长,列式为+++或(+)X2或×2+×2。 2.计算过程:分数混合运算的运算顺序和整数混合运算相同。含有两级运算的要先算乘除再算加减,有括号的要先算括号里面的。解法如下: +++ (+)×2 ×2+×2 =(+)+(+) =（+）×2 =+1 =1+ =×2 ==2 =2 =2 答:做这个画框需要木条2m。 归纳总结 分数乘法混合运算,没有括号的先算乘法,后算加减。有括号的先算括号里面的，再算括号外面的 知识点二 整数乘法运算定律推广到分数乘法 问题导入：观察每组的两个算式,看看它们有什么关系。 过程讲解 1.观察比较 第一组算式:两个因数相同,因数调换位置。 第二组算式:三个因数相同,⚪左边的算式先算前两个因数的积,⚪右边的算式先算后两个因数的乘积。 第三组算式:⚪左边的算式是两个加数的和乘,⚪右边的算式是两个加数分别 与相乘后相加。 2. 计算结果 第一组：×= ×= 第二组：(×)×=×= ×(×)=×= 第三组：（+）×=×= ×+×=×== 3.寻找规律重点提示 乘法交换律:a×b=b×a 乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c × = ×运用了乘法交换律。 (×)× = ×(×)运用了乘法结合律。 (+)×= ×+×运用了乘法分配律。 归纳总结 整数乘法的交换律、结合律、分配律,对于分数乘法同样适用。 知识点三整数乘法运算定律和运算性质在分数乘法中的应用 问题导入：用简便方法计算下面各题 过程讲解 分析 第1题先用乘法交换律简算,变成×(5×),再用乘法结合律,变成（×5)×,然后先约分再相乘。第2题是用乘法分配律简算,加数和分别和12相乘都可以约分，和12相乘后是整数,和12相乘后也是整数，使计算简便。 解答： =（×5)× =10+3 = =13 归纳总结在分数运算中,要认真观察,根据运算符号和数字特点,符合运算定律的,可先运用运算定律简算。 拓展提高 在进行分数运算时,除了牢记运算定律、性质外,还要仔细审题,根据数字特点和运算符号,灵活地把参加运算的数拆开或合并或转换成符合运算定律的模式从而简化运算。 练习大观园 基础达标 一、选择题 1．12个的和是多少？列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．把一个长方体的长、宽、高各削去一半后，现在的体积是原来的（    ）。 A． B． C． D． 3．一件衣服100元，先降价以后，又涨价，现在这件衣服（    ）元。 A．100 B．101 C．99 D．80 4．一个大棚共480平方米，其中一半种各种萝卜，红萝卜地的面积占整块萝卜地的，红萝卜地有多少平方米？正确列式是（    ）。 A． B． C． 5．甲数是18，乙数是甲数的，丙数是乙数的，丙数是（    ）。 A．32.4 B．22.5 C．10 6．蔬菜大棚共360平方米，其中种各种萝卜，白萝卜地的面积占整块萝卜地的一半，白萝卜地有（    ）平方米。 A． B． C． D． 7．《西游记》是中国古代第一部浪漫主义长篇神魔小说。小山买了一本320页的《西游记》，第一周看了整本书的，第二周看了第一周页数的。“”的运算结果表示（    ）。 A．第一周看的页数 B．第二周看的页数 C．两周一共看的页数 8．，这是根据（    ）使计算简便。 A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 9．小明在图书馆借了一本中华英雄人物的故事书，全书60页，第一天读了全书的，第二天读的页数是第一天，第二天读了（    ）页。 A．7 B．8 C．9 D．10 10．一种商品先把价格提高后，再降价卖出，最后的价格（    ）。 A．原价不变 B．比原价低 C．比原价高 二、填空题 1．一平行四边形的高是分米，它的底是高的，这个平行四边形的面积是( )平方分米。 2．甲数是120，乙数是甲数的，丙数是乙数的，丙数是( )。 3．甲数是720，乙数是甲数的，丙数是乙数的，丙数是( )。 4．《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取的长度占最初一尺木棒长度的( )，剩下部分的长度是( )米。（一尺＝米） 5．如图，有两个边长是6厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分的面积是( )平方厘米。 6．爷爷今年80岁，爸爸年龄是爷爷的，而我的年龄恰巧是爸爸的。我今年( )岁。 7．成人体内血液约是体重的，血液中约含有的水。张老师的体重是65千克，他的血液中约含有( )千克水。 8．( )。 9． 。 10．学校六月份用水56吨，七月份的用水量是六月份的，八月份的用水量是七月份的，八月份的用水量是( )吨。 三、判断题 1．3个与2个的积是5个。( ) 2．把一根细绳连续对折5次，对折后每段绳子的长度是总长度的。( ) 3．一个正方体的棱长是分米，它的表面积是16平方分米。( ) 4．10吨增加后再减少还是10吨。( ) 5．一件100元的商品，先降价，再提价结果还是100元。( ) 6．新城小学六（1）班有45名学生，其中男生占，男生中又有的学生喜欢看《福尔摩斯》，六（1）班有15名男生喜欢看《福尔摩斯》。( ) 四、计算题 先说出运算顺序，再计算。                       培优精炼 五、解答题 1．甲地到乙地的铁路全长360千米，一列火车每小时可行驶全程的。这列火车小时可行驶多少千米？ 3. 某工厂原来平均每天用水75吨，开展节水活动后，每天比原来节约用水。照这样计算，9月份共节约用水多少吨？ 3．2015年北京轨道交通里程大约528千米，重庆轨道交通里程约占北京的。近十年重庆轨道交通快速发展，到2024年初重庆轨道交通里程是2015年的2.69倍，约占同时期北京轨道交通里程的64.3%。2024年初，重庆轨道交通里程是多少千米？ 4. 《庄子·天下》中有一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺（尺，中国古代长度单位，1米＝3尺）长的木棒，今天截取它的一半，明天截取它的一半的一半，后天再截取它一半的一半的一半，这样取下去，永远也取不完。这根木棒的长度是有限的，但它可以无限的分割下去。照这样的取法，第三天截取了这根木棒的几分之几？截取的长度是多少米？ 5. 小武有48本图书，小明的图书数量是小武的，小文的是小明的，小文有多少本图书？（用两种方法解答） 6. 生活垃圾一般分为四大类：可回收垃圾、厨房垃圾、有害垃圾和其他垃圾。某社区每天拉走55吨生活垃圾，其中可回收垃圾占，该社区一周拉走多少吨可回收垃圾？ 7. 新民街小学六（2）班有48名同学参加运动会，其中的是男生，男生中有的人获奖。六（2）班获奖的男生有多少名？ 8. 妈妈买一件上衣花了260元钱，买裤子的钱是上衣的，买皮鞋的钱是裤子的。妈妈买皮鞋花了多少元？ 9. 小红有课外书18本，小明的课外书本数是小红的，小军的课外书本数是小明的，小军有多少本课外书？ 10．一本《安徒生童话》120页，小红第一天看了这本书的，第二天看的页数是第一天的，第三天看的页数是第二天的，小红第三天看了多少页？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 一、1．A 【分析】12个，即运用分数乘法得到，12个相同的式子相加，根据乘法的意义可知，即用前面算式的结果乘12得出最后的式子，据此可得出答案。 【详解】12个列式为：，选项中A符合题意。 故答案为：A 2．D 【分析】根据题意，把一个长方体的长、宽、高各削去一半，即长、宽、高都缩小到原来的； 根据长方体的体积＝长×宽×高，以及积的变化规律可知，体积缩小到原来的（××），据此解答。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 【详解】××＝ 现在的体积是原来的。 故答案为：D 3．C 【分析】把这件衣服的原价看作单位“1”，先降价，则降价后的价格是原价的（1－），单位“1”已知，用乘法求出降价后的价格； 又涨价，再把降价后的价格看作单位“1”，涨价后的价格是降价后价格的（1＋）；单位“1”已知，用乘法求出现价。 【详解】100×（1－）×（1＋） ＝100×× ＝90× ＝99（元） 现在这件衣服99元。 故答案为：C 【点睛】本题考查分数乘法的应用，区分两个单位“1”的不同，明确求比一个数多或少几分之几的数是多少，用乘法计算。 4．B 【分析】把大棚的总面积看作单位“1”，已知种萝卜的面积占总面积的，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用大棚的总面积480平方米乘，即可求出种萝卜的面积，把种萝卜的面积的看作单位“1”，红萝卜地的面积占整块萝卜地的，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用整块萝卜地的面积乘即可得解。 【详解】 ＝ ＝60（平方米） 即红萝卜地有60平方米。 故答案为：B 【点睛】此题的解题关键是掌握连续求一个数的几分之几是多少的计算方法。 5．C 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此用18乘求出乙数，再用乙数乘即可求出丙数。 【详解】18×× ＝15× ＝10 则丙数是10。 故答案为：C 【点睛】本题考查分数连乘的运算。掌握“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”是解题的关键。 6．A 【分析】把蔬菜大棚的总面积看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用360×即可求出种各种萝卜的面积，再把整块萝卜地看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用整块萝卜地乘即可求出白萝卜地的面积。 【详解】360×× ＝120× ＝60（平方米） 即白萝卜地有60平方米。 故答案为：A 【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法的意义，掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，从而解决问题。 7．B 【分析】首先把这本书的页数看作单位“1”，第一周看了整本书的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出第一周看了多少页，再把第一周看的页数看作单位“1”，第二周看了第一周页数的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出第二周看的页数。 【详解】由分析得：“”的运算结果表示第二周看的页数。 故答案为：B 【点睛】此题属于基本的分数乘法应用题，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问题。 8．B 【分析】三个数相乘先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变，这叫做乘法结合律，乘法结合律改变算式的运算顺序，据此解答。 【详解】（×）×＝×（×），这时根据乘法结合律使计算简便。 故答案为：B 【点睛】本题考查对乘法运算定律的掌握，熟练掌握乘法运算定律是解答本题的关键。 9．C 【分析】用全书的页数乘，求出第一天读的页数，再用第一天读的页数乘，即可求出第二天读的页数。 【详解】60×× ＝10× ＝9（页） 所以，第二天读了9页。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了分数乘法应用题，解题关键是先找出题目中的单位“1”是哪个量，再根据一个数乘分数的意义，列式计算。 10．B 【分析】根据题意，一种商品先把价格提高，是把商品的原价看作单位“1”，提价后的价格是原价的（1＋），用乘法计算求出提价后的价格；再降价卖出，是把提价后的价格看作单位“1”，最后的价格是提价后的价格的（1－），用乘法计算求出最后的价格；把最后的价格与原价相比较，得出结论。 【详解】设商品的原价为“1”。 1×（1＋）×（1－） ＝1×× ＝ ＜1，最后的价格比原价低。 故答案为：B 【点睛】确定单位“1”，明确题中的两个所对应的单位“1”不同；根据求比一个数多或少几分之几的数是多少，用乘法计算。 二、1． 【分析】这个平行四边形的底是高的，即底是分米，根据平行四边形的面积公式计算即可。平行四边形的面积＝底×高。 【详解】（平方分米） 即个平行四边形的面积是平方分米。 2．16 【分析】先把甲数看作单位“1”，乙数是甲数的，单位“1”已知，用甲数乘，求出乙数； 再把乙数看作单位“1”，丙数是乙数的，单位“1”已知，用乙数乘，求出丙数。 【详解】120×× ＝96× ＝16 丙数是16。 3．120 【分析】先将甲数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率，那么用甲数乘即可求出乙数。再将乙数看作单位“1”，将乙数乘即可求出丙数。 【详解】720×× ＝90× ＝120 所以，丙数是120。 4． 【分析】把整根木棒长度看作单位“1”，已知第一天取走整根木棒的一半，剩下整根木棒的，第二天取走第一天剩下的一半，第二天剩下的占第一天剩下的，根据分数乘法的意义，用×即可求出第二天剩下的长度占整根木棒的几分之几；第三天取走第二天剩下的一半，第三天剩下的占第二天剩下的，根据分数乘法的意义，用××即可求出第三天截取的长度是整根木棒的几分之几；用××也可求出第三天剩下的长度占整根木棒的几分之几，最后用×（××）即可求出第三天剩下的长度。 【详解】××＝ ×＝（米） 第三天截取的长度占最初一尺木棒长度的，剩下部分的长度是米。 【点睛】此题的关键是明确每一天取的长度都是前一天剩下的一半，然后再进一步解答。 5．9 【分析】标注字母并作出辅助线，如图：根据正方形的性质可得OA＝OC，△AOB和△COD形状大小完全相同，可以将△COD割补到△AOB的位置，因此重叠部分面积就是正方形面积的。 【详解】根据分析可知，重叠部分面积： 6×6 ＝36 ＝9（平方厘米） 如图，有两个边长是6厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分的面积是9平方厘米。 【点睛】本题考查正方形的特征，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答。 6．12 【分析】把爷爷今年的年龄看作单位“1”，爸爸年龄是爷爷的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出爸爸今年的年龄； 再把爸爸今年的年龄看作单位“1”，我的年龄恰巧是爸爸的，据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出我今年的年龄。 【详解】 （岁） 我今年12岁。 【点睛】本题考查分数乘法应用题，找出单位“1”，区分两个单位“1”的不同，单位“1”已知，根据分数乘法的意义解答。 7． 【分析】把张老师的体重看作单位“1”，张老师血液的重量＝张老师的体重×，张老师血液中水的重量＝张老师血液的重量×，则张老师血液中水的重量＝张老师的体重××，据此解答。 【详解】65×× ＝5× ＝（千克） 所以，他的血液中约含有千克水。 【点睛】本题主要考查分数乘法的应用，连续求一个数的几分之几是多少用分数连乘计算。 8． 【分析】先把带分数化成假分数，再计算，能约分的要先约分。 【详解】。 【点睛】本题考查分数乘法，解答本题的关键是掌握分数乘法的计算方法。 9．1 【分析】先计算小括号内的加减法，再按照分数连乘的计算方法，计算即可。 【详解】 ＝ ＝1 所以，。 【点睛】本题考查了分数连乘，有一定运算能力是解题的关键。 10．21 【分析】八月份的用水量＝六月份的用水量××，据此列式计算。 【详解】56×× ＝3×7 ＝21（吨） 所以，八月份的用水量是21吨。 【点睛】连续求一个数的几分之几是多少用分数乘法计算。 三、1．× 【分析】根据题意可列出分数的连乘运算，熟练运用分数连乘运算定律计算得出答案。 【详解】由题意得： ，两个式子结果不相等，原题说法错误。 故答案为：× 2．√ 【分析】根据题意可知，把绳子的总长度看作单位“1”，对折1次，则现在长度是单位“1”的；再对折1次，则长度是现在长度的，也就是绳子的总长度的×；依次类推，对折5次，则对折后的长度是单位“1”的××××。据此解答。 【详解】××××＝ 把一根细绳连续对折5次，对折后每段绳子的长度是总长度的。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查了分数乘分数的意义以及应用，明确对折后的长度是前一次的。 3．× 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。 【详解】××6 ＝×6 ＝（平方分米） 一个正方体的棱长是分米，它的表面积是平方分米。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查正方体的表面积计算公式的运用，掌握分数乘法的计算法则是解题的关键。 4．× 【分析】把10吨看作单位“1”，增重后的吨数是原来的（1＋）；再把增重后的吨数看作单位“1”，减重后的吨数是增重后吨数的（1－）；单位“1”已知，用连乘求出现在的吨数，再与原来的10吨相比较，得出结论。 【详解】10×（1＋）×（1－） ＝10×× ＝12× ＝9.6（吨） 9.6＜10 10吨增加后再减少是9.6吨。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查分数乘法的应用，区分两个单位“1”的不同，单位“1”已知，根据分数乘法的意义列式计算。 5．× 【分析】把这件商品的原价看作单位“1”，先降价的意思是，降价后的价格是原价的（1－），单位“1”已知，用原价乘（1－）求出降价后的价格； 再提价，是把降价后的价格看作单位“1”，提价后的价格是降价后价格的（1＋），单位“1”已知，用降价后的价格乘（1＋），求出提价后的价格；最后与100元相比较，得出结论。 【详解】100×（1－）×（1＋） ＝100×× ＝90× ＝99（元） 99＜100 一件100元的商品，先降价，再提价结果是99元。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查分数乘法的应用，明确求比一个数多或少几分之几的数是多少，用乘法计算。 6．√ 【分析】全班学生有45人，男生占，用45乘即可求出男生人数。男生中又有的学生喜欢看《福尔摩斯》，用男生人数乘即可求出有多少名男生喜欢看《福尔摩斯》。 【详解】45×× ＝25× ＝15（名） 故答案为：√ 【点睛】本题考查分数连乘的实际应用。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 四、26；50；； ；；56 【分析】，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法交换律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法结合律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，先把98拆分为14×7，然后根据乘法结合律，将算式变为进行简算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 五、1．48千米 【分析】从题意可知：以全程为单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用360×＝120千米，即可求出这列火车1小时行驶的路程，也就是这列火车的速度； 再根据路程＝速度×时间，用即可求出这列火车小时可行驶的路程。据此解答。 【详解】 ＝ ＝48（千米） 答：这列火车小时可行驶48千米。 2．125吨 【分析】从题意可知：以原来每天用水量为单位“1”，现在每天比原来节约用水，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用吨，就求出了现在1天节约的水量；9月份一共有30天，再用，即可求出9月份共节约用水多少吨。据此解答。 【详解】 ＝ ＝125（吨） 答：9月份共节约用水125吨。 3．538千米 【分析】把2015年北京轨道交通里程的长度看作单位“1”，重庆轨道交通里程约占北京的，求2015年重庆轨道交通里程的长度，用528×；到2024年初重庆轨道交通里程是2015年的2.69倍，再用2015年重庆轨道交通里程的长度×2.69，即可求出2024年重庆轨道交通里程的长度，据此解答。 【详解】528××2.69 ＝200×2.69 ＝538（千米） 答：2024年初，重庆轨道交通里程是538千米。 4．；米 【分析】根据题意，把一根一尺长的木棒看作单位“1”，第一天取它的一半，就是1×；第二天就是取第一天剩下的一半的，即1××；第三天就是取第二天剩下的一半的，即1×××﹔又知1米＝3尺，即1尺＝米，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出第三天截取的长度即可。 【详解】1××× ＝× ＝ 1÷3＝（米） ×＝（米） 答：第三天截取了这根木棒的，截取的长度是米。 5．28本 【分析】方法一：先把小武的图书数量看作单位“1”，小明的图书数量是小武的，单位“1”已知，用小武的图书数量乘，求出小明的图书数量； 再把小明的图书数量看作单位“1”，小文的是小明的，单位“1”已知，用小明的图书数量乘，求出小文的图书数量。 方法二：已知小明的图书数量是小武的，小文的是小明的，那么小文的图书数量是小武的（×），把小武的图书数量看作单位“1”，单位“1”已知，用小武的图书数量乘（×），即可求出小文的图书数量。 【详解】方法一： 48×× ＝36× ＝28（本） 方法二： 48×（×） ＝48× ＝28（本） 答：小文有28本图书。 6．154吨 【分析】根据求一个数的几分之几是多少的计算方法，用每天拉走的垃圾重量×，求出每天可回收垃圾的重量，一星期有7天，再用每天可回收垃圾的重量×7，即可求出一周拉走可回收垃圾的重量，据此解答。 【详解】一星期＝7天 55××7 ＝22×7 ＝154（吨） 答：该社区一周拉走154吨可回收垃圾。 7．12名 【分析】根据题意，用六（2）班同学人数乘，求出男生人数，再乘，即可求出六（2）班获奖的男生有多少名。 【详解】48×× ＝30× ＝12（名） 答：六（2）班获奖的男生有12名。 8．400元 【分析】要计算买皮鞋的钱数需要先计算买裤子的钱数，裤子的钱数＝上衣的钱数××，据此解答。 【详解】260×× ＝280× ＝400（元） 答：妈妈买皮鞋花了400元。 【点睛】连续求一个数的几分之几是多少用分数乘法计算。 9．12本 【分析】先把小红的本数看成单位“1”，用乘法求出它的就是小明课外书的本数，再把小明的本数看成单位“1”，再用乘法求出它的就是小军的本数。 【详解】18×× ＝15× ＝12（本） 答：小军有12本课外书。 【点睛】解答此题的关键是分清两个不同的单位“1”，已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少用乘法。 10．12页 【分析】用书的总页数乘，求出第一天看的页数。用第一天看的页数乘，求出第二天看的页数。最后，利用第二天看的页数乘，求出第三天看的页数。 【详解】120××× ＝48×× ＝16× ＝12（页） 答：小红第三天看了12页。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，求一个数的几分之几是多少，用乘法。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$