微专题2 专项4 圆锥曲线中的探索与综合问题（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

专项四　圆锥曲线中的探索与综合问题 探究、存在性问题：先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．要注意的是：(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知时，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法． 题型一　探索性问题 (2024·福建泉州模拟)已知圆C：2＋y2＝16，点G，圆周上任一点P，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若过点(1，0)的动直线n与椭圆C相交于M，N两点，直线l的方程为x＝4.过点M作MT⊥l于点T，过点N作NR⊥l于点R.记△GTR，△GTM，△GRN的面积分别为S，S1，S2.问是否存在实数λ，使得λ－S＝0成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)圆C：2＋y2＝16的圆心C(，0)，半径r＝4， 因为线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，所以|PQ|＝|QG|，又|PC|＝4， 所以|QG|＋|QC|＝|PQ|＋|QC|＝|PC|＝4>|GC|＝2， 所以点Q的轨迹是以G(－，0)，C(，0)为焦点的椭圆， 这里2a＝4，2c＝2，所以a＝2，c＝，则b2＝a2－c2＝4－3＝1， 所以曲线E的方程为＋y2＝1. (2)存在．理由如下：设直线n的方程为x＝my＋1， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则T(4，y1)，R(4，y2)， 联立消去x并整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0， Δ＝4m2＋12(m2＋4)＝16m2＋48>0恒成立， y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以S＝|TR|×(4＋)＝|y1－y2| ＝＝ ＝， S1＝|TM|·|y1|＝(4－x1)|y1| ＝[4－(my1＋1)]|y1| ＝(3－my1)|y1|， 同理得S2＝(3－my2)|y2|， 所以S1·S2＝(3－my1) (3－my2)|y1y2| ＝|y1y2| ＝·＝， 所以＝， 所以＝＝， 所以－S＝0， 所以存在实数λ＝， 使得λ－S＝0成立． 学生用书↓第235页 规律方法 探索性问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．　　 对点练1.(2024·四川绵阳二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，左、右顶点分别为A1，A2，椭圆上异于A1，A2的任意一点P，都满足直线PA1，PA2的斜率之积为－. (1)若椭圆上存在两点B1，B2关于直线y＝x＋m对称，求实数m的取值范围； (2)过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q.那么，是否存在实数k，使得＋为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意得c＝2，A1(－a，0)，A2(a，0)，P(x，y)， kPA1·kPA2＝·＝－⇒2y2＝a2－x2①， 因为点P在C上，所以y2＝b2－x2代入①式，所以2b2－x2＝a2－x2，所以a2＝2b2， 因为c＝2，所以a2＝8，b2＝4，椭圆C的方程为＋＝1， 设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，lB1B2⊥l， 设lB1B2：y＝－x＋t联立x2＋2y2＝8得3x2－4tx＋2t2－8＝0， Δ＝(4t)2－12>0⇒t2<12⇒t∈， t1＋t2＝，t1t2＝. 所以B1，B2中点M在l上，＝t＋m， 所以t＝－3m⇒m＝－∈. (2)存在．理由如下：设M(x3，y3)，N(x4，y4)． 设lMN：x＝sy＋2联立x2＋2y2＝8得y2＋4sy－4＝0， y3＋y4＝，y3y4＝， |MN|＝|y3－y4|＝， lOQ：y＝－sx联立x2＋2y2＝8得，x＝，y＝， 则|OQ|2＝， 所以＋＝＋＝， 因为＋为定值，设为λ， 所以s2＋(2k＋1)＝8λs2＋8λ， 所以k＋2＝2k＋1，k＝， 所以存在k＝，使得＋为定值. 题型二　圆锥曲线的综合问题 在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋2－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C的方程； (2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN的距离的取值范围． 解：(1)设椭圆C：＋＝1的右焦点F2(c，0)，则以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为(x－c)2＋y2＝a2， 所以圆心到直线x＋y＋2－1＝0的距离 d＝＝a， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a＝2c，b＝c， 解得a＝2，b＝，c＝1， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设B(m，n)，线段MN的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点， 因为O为△BMN的重心， 则|BO|＝2|OD|＝|OA|， 所以D， 即B到直线MN的距离是原点O到直线MN的距离的3倍． 当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时点B在长轴的端点处． 由|OB|＝2，得|OD|＝1，则点O到直线MN的距离为1，点B到直线MN的距离为3. 当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则有 两式相减得 ＋＝0， 因为D为线段MN的中点， 所以x1＋x2＝－m，y1＋y2＝－n， 所以k＝＝－， 所以直线MN的方程为y＋＝－， 即6mx＋8ny＋4n2＋3m2＝0， 所以原点O到直线MN的距离 d＝. 因为＋＝1，所以3m2＝12－4n2， 所以d＝＝＝. 因为0<n2≤3，所以9<n2＋9≤12，即3<≤2， 所以≤<，即≤<， 所以≤3d<3，即点B到直线MN的距离的取值范围为， 综上，点B到直线MN的距离的取值范围为. 规律方法 圆锥曲线综合问题中，常常考查直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线之间的关系，其解法是联立方程，利用韦达定理以及弦长公式、面积公式等，然后结合题目求最值等．　　 对点练2. 如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝. (1)求抛物线C1和椭圆C2的方程； (2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题知，a＝4，＝， 所以c＝2，所以b＝＝2，p＝4. 所以抛物线C1的方程为y2＝8x， 椭圆C2的方程为＋＝1. (2)由题设知直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为x＝my＋4. 则⇒y2－8my－32＝0. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32. 所以＝ ＝＝ ＝， 因为直线OC的斜率为＝＝， 所以直线OC的方程为y＝x. 由得y2＝1， 则y＝1， 同理可得y＝1， 所以y·y＝1， 所以y·y＝， 要使S1∶S2＝3∶13， 只需＝2， 解得m＝±1， 所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件． 课时测评70　圆锥曲线中的探索与综合问题 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．(20分)(2024·北京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|＝3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)当直线l的斜率为k(k≠0)时，在x轴上是否存在一点P(异于点F)，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设椭圆C的半焦距为c>0， 由题意可得解得， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)存在．理由如下：由(1)可得F(1，0)， 根据题意可设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m，0) (m≠1)， 联立方程消去y得x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则Δ＝64k4－4(4k2＋3) (4k2－12)＝144(k2＋1)>0， 可得x1＋x2＝，x1x2＝，① 由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则kPA＋kPB＝＋＝0， 可得＋＝0， 因为k≠0，可得(x1－1) (x2－m)＋(x1－m) (x2－1)＝0， 整理得2x1x2－(m＋1) (x1＋x2)＋2m＝0，② 将①代入②得－＋2m＝0，解得m＝4， 所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时P(4，0). 2．(20分)(2024·云南曲靖三模)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形． (1)求双曲线C的方程； (2)已知M，N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2，且MN的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)依题意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2， 当x＝c时，－＝1，得y2＝b2＝，即y＝±， 所以|BF|＝，由|AF|＝|BF|，得a＋c＝，得a2＋2a＝22－a2， 解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)， 所以b2＝c2－a2＝4－1＝3， 故双曲线C的方程为x2－＝1. (2)存在．理由如下：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为Q(x0，y0). 因为M，N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2. 所以 ①－②得(x1＋x2) (x1－x2)－＝0， 当kMN存在时，kMN＝＝＝＝， 因为MN的中垂线为直线l， 所以y－y0＝－(x－2)，即l：y＝－(x－8)， 所以l过定点T(8，0). 当kMN不存在时，M，N关于x轴对称，MN的中垂线l为x轴，此时l也过T(8，0)， 所以存在以(8，0)为圆心的定圆E：(x－8)2＋y2＝1，使得l被圆E截得的弦长为定值2. 3．(30分)(2023·安徽安庆一模)如图①所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图②中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB＝－，AB⊥BD． (1)求双曲线E的方程； (2)设A1，A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P(4，0)的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由． 解：(1)如图所示： 延长CA与DB交于点F1，因为AB⊥BD，tan∠CAB＝－， 则tan∠F1AB＝tan(π－∠CAB)＝－tan∠CAB＝，即＝， 令|BF1|＝3t(t>0)，则|AB|＝4t， 所以|AF1|＝＝＝5t， 由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a＝4，则|AF2|＝|AF1|－4＝5t－4， |BF1|－|BF2|＝2a＝4，则|BF2|＝|BF1|－4＝3t－4， 又因为|AB|＝|AF2|＋|BF2|，即4t＝5t－4＋3t－4，解得t＝2， 所以|BF1|＝3t＝6，|BF2|＝3t－4＝2， 由勾股定理可得2c＝|F1F2|＝＝＝2，则c＝， 故b＝＝＝， 因此双曲线E的方程为－＝1. (2)存在．理由如下：若直线l与x轴重合，则直线l与双曲线E的交点为双曲线E的两个顶点，不合乎题意， 设直线l的方程为x＝my＋4，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立可得y2＋24my＋36＝0， 由题意可得 解得m≠±， 由韦达定理可得y1＋y2＝－，y1y2＝， 易知点A1(－2，0)，A2(2，0)，则kA1M＝＝，kA2N＝＝， 直线A1M的方程为y＝(x＋2)，直线A2N的方程为y＝(x－2)， 联立直线A1M，A2N的方程并消去y可得＝， 可得＝＝＝ ＝＝－3， 解得x＝1， 因此直线A1M与直线A2N的交点Q在定直线x＝1上． 4．(30分)(2024·河北沧州模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1的左顶点和右焦点分别为A，F，动点P满足|PA|2＋|PF|2＝，记动点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)设点Q在E上，过Q作C的两条切线，分别与y轴相交于M，N两点．是否存在点Q，使得|MN|等于E的短轴长？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)依题意知，A(－2，0)，F(1，0)， 设P(x，y)，则由|PA|2＋|PF|2＝， 得(x＋2)2＋y2＋＝， 即(x＋1)2＋y2＝1， 所以曲线C的方程为(x＋1)2＋y2＝1. (2)存在．理由如下：法一：设点Q(x0，y0)，则4y＝12－3x， 由题意知，QM，QN的斜率存在，不妨依次设为k1，k2， 则直线QM的方程为y－y0＝k1(x－x0)， 即k1x－y＋y0－k1x0＝0， 因为直线QM与圆C相切， 所以＝1， 即k－2(x0＋1)y0k1＋y－1＝0， 同理可得k－2(x0＋1)y0k2＋y－1＝0， 显然k1，k2是方程k2－2(x0＋1)y0k＋y－1＝0的两根， 所以Δ＝4(x0＋1)2y－4＝4x＋4y＋8x0>0， 即x0≠－2，k1＋k2＝，k1k2＝. 设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1＝y0－k1x0，y2＝y0－k2x0， 所以|MN|＝|y1－y2|＝|k2－k1||x0|＝|x0| ＝|x0| ＝＝＝＝， 由|MN|＝＝2，得x0＝－， 由4y＝12－3x，得y0＝±， 所以存在点Q或Q满足题意． 法二：设点Q(x0，y0)，M(0，m)，N(0，n)，Q在E上，所以4y＝12－3x， 由题意知，QM，QN的斜率存在，分别为，， 则直线QM的方程为x0y－(y0－m)x－mx0＝0， 因为直线QM与圆C相切，所以＝1， 即m2－2y0x0m－x＝0， 同理可得n2－2y0x0n－x＝0， 显然m，n是方程t2－2y0x0t－x＝0的两根， 所以m＋n＝，mn＝， 所以|MN|＝|m－n|＝＝ ＝＝＝， 由|MN|＝＝2，得x0＝－， 由4y＝12－3x，得y0＝±， 所以存在点Q或Q满足题意． 学生用书↓第236页 学科网（北京）股份有限公司 $$