拓展视野4 等和线与极化恒等式、平面向量与三角形的“四心”（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

一、等和线定理 已知平面内一组基向量，及任一向量，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线． 容易得到等和线的几个结论： (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1. (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)． (3)当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，＋∞)． (4)当等和线过O点时，k＝0. (5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数． (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 二、极化恒等式 1．极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． 极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式． 2．极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即a·b＝(||2－||2)． 3．极化恒等式的三角形模式：在△ABC中，若M是BC的中点，则·＝2－2. 4．(1)具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． (2)遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决． 三、四心的概念介绍 (1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2∶1. (2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等． (3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等． (4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 四、三角形四心与推论 (1)内心：三角形的内心在向量＋所在的直线上． ||·＋||·＋||·＝0⇔P为△ABC的内心． (2)外心：||＝||＝||⇔P为△ABC的外心． (3)垂心：·＝·＝·⇔P为△ABC的垂心． (4)重心：＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． 学生用书↓第151页 类型一　利用等和线求值或范围 如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为(　　) A． B． C．2 D．2 答案：C 解析： 如图，作出定值k为1的等和线DE，DE与BO相交于点P，AC是过圆上的点最远的等和线，则＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y，当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，设2x＋y＝k，则k＝＝2，所以2x＋y的最大值为2.故选C． 规律方法 1.在利用等和线定理求解两系数的线性关系式的值时，需要先通过变换基向量，使得需要研究的代数式为基的系数和，再去找基向量的等和线，转化为线段比例关系求解． 2．要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线． 对点练1.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________． 答案：2 解析：法一：以O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图①所示，则A(1，0)，B(－，)，设∠AOC＝α(α∈)，则C(cos α，sin α)．由＝x＋y＝(x－y，y)，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin(α＋)，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2. 法二：令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图②，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝＝2. 类型二　利用向量极化恒等式求值或范围 角度1　求值问题 (1)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则·＝________． (2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.·＝4，·＝－1，则·的值为________． 答案：(1)27　(2) 解析：(1)BD＝＝12，所以AO＝6，OE＝3，所以由极化恒等式知·＝2－2＝36－9＝27. (2)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，得·＝2－2＝9n2－m2＝4①，·＝2－2＝n2－m2＝－1②，联立①②，解得n2＝，m2＝.因此·＝2－2＝4n2－m2＝.即·＝. 角度2　求最值或范围问题 (1)等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则·＋·的最大值为(　　) A．4 B．7 C．8 D．11 (2)(2024·河南郑州、开封重点中学联考)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则·的取值范围是________． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为△ABC为等边三角形，其外接圆的半径为2，所以以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(－1，)，B，C(－1，－)，易知AC⊥x轴，交x轴于M点，取BM的中点为N，连接PN，PM，PA，PB，PC． 所以·＋·＝·＝·2＝2·.由极化恒等式得，·＝2－2.其中＝＝，≤≤，所以·＝2－∈[0，4]，所以·＋·∈[0，8]，即所求最大值为8.故选C． (2)因为B是EF的中点，且EF＝6，由极化恒等式得，·＝2－2＝2－9，又知△ABC是边长为8的等边三角形，P在AC上运动，则∈，所以2∈，所以·＝2－2＝2－9∈. 规律方法 极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积的范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)． 对点练2.(1)(新情境)(2024·北京朝阳高三专题练习)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图②中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN∥CD，点P在正六边形的边上运动，则·的最小值为(　　) 学生用书↓第152页 A．5 B．6 C．7 D．8 (2)在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD于E，F两点，点P是劣弧上一点，则·的取值范围为________． 答案：(1)D　(2)[1－3，－2] 解析：(1)如图所示，由正六边形的几何性质可知，△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA均为边长为4的等边三角形，当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时，取最大值4，当点P为正六边形各边的中点时，取最小值，即min＝×4＝2，所以∈.所以·＝·＝·＝2－4∈，故·的最小值为8.故选D． (2)法一：连接BD，设M为BD的中点，连接PM(图略)，由极化恒等式得，·＝2－2.由已知得，＝＝，－1≤≤.在△BEM中，由余弦定理得，2＝BE2＋BM2－2·BE·BMcos 45°＝4＋－2×2××＝，即－1≤≤，所以2－2＝2－∈[1－3，－2]，即·∈[1－3，－2]． 法二：根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：由题意可知A，B(3，0)，C，D.设点P，则·＝(3－cos θ，－sin θ)·＝1－3sin θ－3cos θ＝1－3sin .又0≤θ≤，所以≤θ＋≤，所以≤sin ≤1，所以1－3≤1－3sin (θ＋)≤－2，即·的取值范围为[1－3，－2]． 类型三　平面向量与三角形的“重心”问题 (1)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．△ABC的外心 (2)在△ABC中，＋＋＝0，＝2，||＝λ||，若·＝9·，则实数λ＝(　　) A． B． C． D． 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)取AB的中点D，则2＝＋，因为＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，所以＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选C． (2)由＋＋＝0，知O为△ABC的重心，所以＝×(＋)＝(＋)，又＝2，所以＝－＝－，9·＝3(＋)·(－)＝·－22＋32＝·，所以22＝32，λ＝＝＝.故选D． 规律方法 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论： 1．＋＋＝0. 2．＝(＋＋)． 3．若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心． 4．若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心． 对点练3.已知△ABC的外接圆圆心为O，G为△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，若＋＝，则sin∠BOG＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：取BC的中点D，连接AD，由＋＋＝0，知G为△ABC的重心，则G在AD上，所以＝(＋)＝，而＝(＋)＝，所以A，G，O，D四点共线，所以AB＝AC，即AD⊥BC，不妨令AD＝5，则AO＝BO＝4，OD＝1.所以sin∠BOG＝sin∠BOD＝＝.故选C． 类型四　平面向量与三角形的“外心”问题 (1)设P是△ABC所在平面内一点，若·(＋)＝2·，且2＝2－2·，则点P是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 (2)已知△ABC中，AB＝4，AC＝5，点O为△ABC所在平面内一点，满足||＝||＝||，则·＝________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，所以·(＋)＝0.设D为AB的中点，则·2＝0，故·＝0.由2＝2－2·，得(＋)·(－)＝－2·，即(＋－2)·＝0.设E为BC的中点，则(2－2)·＝0，则2·＝0，故·＝0.所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心．故选A． (2)因为点O为△ABC所在平面内一点，且满足||＝||＝||，所以O为△ABC的外心，取BC的中点为D，连接OD，AD(图略)，则OD⊥BC，即·＝0，所以·＝(＋)·＝·＋·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝×(52－42)＝. 规律方法 设O是△ABC的外心，则有以下结论： 1．||＝||＝||⇔2＝2＝2. 2．(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 3．动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的外心． 对点练4.已知△ABC，点H，O为△ABC所在平面内的点，且·＝·，·＝·，＋＋＝，则点O为△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案：B 解析：因为·＝·，所以·(－)＝0，即·＝0，又因为＋＋＝，所以＋＝－，即＋＝，所以(＋)·＝0，即(＋)·(－)＝0，所以||2－||2＝0，所以OB＝OC，同理，OA＝OC，所以O为△ABC的外心．故选B． 类型五　平面向量与三角形的“垂心”问题 (2024·河南南阳模拟)若H为△ABC所在平 学生用书↓第153页 面内一点，且||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2，则点H是△ABC的(　　) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 答案：D 解析：||2＋||2＝||2＋||2⇒||2＋(＋)2＝||2＋(＋)2，得·＝·⇒·＝0，即⊥；||2＋||2＝||2＋||2⇒||2＋(＋)2＝||2＋(＋)2，得·＝·⇒·＝0，即⊥；||2＋||2＝||2＋||2⇒||2＋(＋)2＝||2＋(＋)2，得·＝·⇒·＝0，即⊥，所以H为△ABC的垂心．故选D． 规律方法 设O是△ABC的垂心，则有以下结论： 1．·＝·＝·. 2．||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2. 3．若动点P满足＝λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的垂心． 对点练5.已知O是△ABC所在平面内一点，且满足·＋||2＝·＋||2，则点O(　　) A．在AB边的高所在的直线上 B．在∠C平分线所在的直线上 C．在AB边的中线所在的直线上 D．是△ABC的外心 答案：A 解析：取AB的中点D，由题意，·(＋)＝－||2＋||2＝(＋)2－(＋)2＝2·，所以·2＝·(－2)，所以·2＝0，所以⊥，所以点O在AB边的高所在的直线上．故选A． 类型六　平面向量与三角形的“内心”问题 若O在△ABC所在的平面内，且满足·＝·＝·＝0，则O是△ABC的(　　) A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 答案：C 解析：，分别表示在边AC和AB上的单位向量，可设为和，则－＝，则当·＝0时，即⊥，点O在∠BAC的平分线上，，分别表示在边BC和BA上的单位向量，可设为和，则－＝，则当·＝0时，即⊥，点O在∠ABC的平分线上；同理可知，点O在∠ACB的平分线上，故O是△ABC的内心．故选C． 规律方法 设P是△ABC的内心，则有以下结论： 1．||＋||＋||＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长． 2.＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的内心． 对点练6.(1)在平面上有△ABC及其内一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0(奔驰定理)，若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，现有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 (2)[多选题](2024·广东汕头二模)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理，设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心．下列四个选项中结论正确的是(　　) A．＝2 B．＋＋＝0 C．设BC边的中点为D，则有＝3 D．＝＝ 答案：(1)B　(2)AB 解析：(1)因为＝＋，＝＋，所以a·＋b·＋c·＝a·＋b(＋)＋c(＋)＝(a＋b＋c)·＋b·＋c·＝0，所以＝(＋)，因为，分别是，方向上的单位向量，所以向量＋平分∠BAC，即AO平分∠BAC，同理BO平分∠ABC，所以O为△ABC的内心．故选B． (2)由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线．对于A，由题意得，＝2，OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH，所以＝2，故A正确；对于B，由题意得，＋＝2＝－，所以＋＋＝0，故B正确；对于C，由题意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以＝2，故C错误；对于D，向量，，的模相等，方向不同，故D错误．故选AB． 学生用书↓第154页 学科网（北京）股份有限公司 $$