拓展视野3 泰勒展开式、洛必达法则（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

一、泰勒公式 1．若函数f (x)在含有x0的开区间(a，b)内有n＋1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x－x0的多项式和一个余项的和： f (x)＝f (x0)＋f′(x0)·(x－x0)＋·(x－x0)2＋·(x－x0)3＋…＋·(x－x0)n＋Rn(x)． 2．常见的泰勒展开式 在泰勒公式中，令x0＝0，即可得到如下泰勒展开式： (1)ex＝1＋x＋＋＋…＋＋…. (2)ln(x＋1)＝x－＋＋…＋(－1)n＋1＋…. (3)sin x＝x－＋＋…＋(－1)n－1·＋…. (4)cos x＝1－＋＋…＋(－1)n－1·＋…. (2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则(　　) A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 答案：A 解析：根据题意，构造函数f (x)＝1－，g(x)＝cos x，h(x)＝，则a＝f，b＝g，c＝h.由泰勒展开式，f (x)＝1－，g(x)＝1－＋＋ο(x4)， h(x)＝1－＋＋ο(x4)，g＝1－×＋×＋ο(x4)＝＋×＋ο(x4)，h＝1－×＋×＋ο(x4)＝＋×＋ο(x4)，所以f＜g＜h，即c>b>a.故选A． 对点练1．若a＝ln，b＝0.02sin 0.01，c＝0.01sin 0.02，则(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b 答案：B 解析：易知a＝ln＜ln 1＝0，而b＞0，c＞0.当x→0时，由泰勒公式展开，得b＝0.02sin 0.01＝0.02＝2×10－4－×10－8＋ο(x3)，c＝0.01sin 0.02＝0.01＝2×10－4－×10－8＋ο(x3)．可知×10－8＜×10－8，所以b＞c.故a<c<b.故选B． 二、洛必达法则 1．在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“”型或“”型的代数式，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则． 2．法则Ⅰ　若函数f (x)和g(x)满足下列条件 (1)f (x)＝0及 g(x)＝0； (2)在点a的某去心邻域内，f (x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3) ＝A，那么 ＝ ＝A． 法则Ⅱ　若函数f (x)和g(x)满足下列条件 (1)f (x)＝∞及g(x)＝∞； (2)在点a的某去心邻域内，f (x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3) ＝A，那么 ＝ ＝A． 学生用书↓第80页 已知函数f (x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)． (1)若f (x)在x＝－1处有极值，求a的值； (2)当x＞0时，f (x)≥0，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝ex－1＋xex－2ax＝(x＋1)ex－2ax－1， 依题意知f′(－1)＝2a－1＝0，所以a＝. (2)法一：当x＞0时，f (x)≥0，即x(ex－1)－ax2≥0， 即ex－1－ax≥0，令φ(x)＝ex－1－ax(x＞0)， 则φ(x)min≥0，φ′(x)＝ex－a. ①当a≤1时，φ′(x)＞0，所以φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以φ(x)＞φ(0)＝0，所以a≤1满足条件． ②当a＞1时，若0＜x＜ln a，则φ′(x)＜0，若x＞ln a，则φ′(x)＞0. 所以φ(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 所以φ(x)min＝φ(ln a)＝a－1－aln a≥0.令g(a)＝a－1－aln a(a＞1)， 所以g′(a)＝1－(1＋ln a)＝－ln a＜0，所以g(a)在(1，＋∞)上单调递减． 所以g(a)＜g(1)＝0与g(a)≥0矛盾，故a＞1不满足条件， 综上，实数a的取值范围是(－∞，1]． 法二：当x＞0时，f (x)≥0，即x(ex－1)－ax2≥0，即ex－1－ax≥0， 即ax≤ex－1，即a≤恒成立，令h(x)＝(x＞0)， 所以h′(x)＝，令k(x)＝ex(x－1)＋1(x＞0)， 所以k′(x)＝ex·x＞0，所以k(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以k(x)＞k(0)＝0，所以h′(x)＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 由洛必达法则知，h(x)＝ ＝ex＝1，所以a≤1. 故实数a的取值范围是(－∞，1]． 对点练2．已知函数f (x)＝(x＋1)ln (x＋1)．若对任意x＞0都有f (x)＞ax成立，求实数a的取值范围． 解：当x∈(0，＋∞)时，(x＋1)ln(x＋1)＞ax恒成立，即a＜恒成立． 令g(x)＝(x＞0)， 所以g′(x)＝.令k(x)＝x－ln(x＋1)(x＞0)， 所以k′(x)＝1－＝＞0，所以k(x)在(0，＋∞)上单调递增． 所以k(x)＞k(0)＝0，所以x－ln(x＋1)＞0恒成立， 所以g′(x)＞0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 由洛必达法则知g(x)＝ ＝[ln(x＋1)＋1]＝1， 所以a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]． 学生用书↓第81页 学科网（北京）股份有限公司 $$