拓展视野2 破解嵌套函数的零点问题（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． 一、判断嵌套函数的零点个数 (2024·陕西咸阳模拟)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (f (x))－1的零点个数是(　　) A．1 B．0 C．2 D．3 答案：A 解析：函数f (x)＝对y＝－xex求导得y′＝－(x＋1) ex，令y′>0⇒x<－1，令y′<0⇒0>x>－1，可知y＝－xex在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，且x趋向负无穷时，y>0，x＝－1时，ymax＝，故结合对数函数图象，可画出函数f (x)的图象如下图所示： 函数g(x)＝f (f (x))－1的零点，即f (f (x))＝1，令t＝f (x)，代入可得f (t)＝1>，由图象可知t＝e－1，即f (x)＝e－1，结合函数图象可知，f (x)＝e－1有1个解，综合可知，函数g(x)＝f (f (x))－1的零点有1个．故选A． 二、由嵌套函数零点的情况求参数 [多选题](2024·河北石家庄模拟)已知函数f (x)＝若函数y＝f (f (x))恰好有4个不同的零点，则实数t的取值可以是(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．2 答案：BC 解析：由题意可知：当x≤0时，f (x)在(－∞，0]上单调递减，则f (x)≥f (0)＝t；当x>0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则f (x)>2ln 1－1＝－1；若函数y＝f (f (x))f恰好有4个不同的零点， 令u＝f (x)，则y＝f (u)有两个零点，可得当u>0时，则2ln (u＋1)－1＝0，解得u＝－1>0；当u≤0时，则u2－2u＋t＝0，可得可得f (x)＝－1和f (x)＝1－均有两个不同的实根，即y＝f (x)与y＝－1、y＝1－均有两个交点，不论t与－1的大小关系，则且解得－3<t≤0，综上所述，实数t的取值范围为(－3，0].又－3∉(－3，0]，－2∈(－3，0]，0∈(－3，0]，2∉(－3，0]，故AD错误，BC正确．故选BC． 对点练1．(2024·浙江杭州模拟)已知函数f (x)＝(e为自然对数的底数)，则函数F (x)＝f (f (x))－f (x)－1的零点个数为(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 答案：C 解析：设f (x)＝t，令F (x)＝0可得：f (t)＝t＋1，对于y＝，y′＝，故y＝在x＝0处切线的斜率值为k1＝1，设y＝k2x＋1与y＝ln x相切于点(x2，ln x2)，因为(ln x)′＝，所以切线斜率k2＝，则切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1，所以解得x2＝e2，k2＝；由于<<1，故作出f (x)与y＝x＋1图象如图①所示， 所以y＝x＋1与f (x)有四个不同交点，即y＝t＋1与f (t)有四个不同交点，设四个交点横坐标为t1，t2，t3，t4(t1<t2<t3<t4)，由图象可知：t1<0<t2<1<t3<t4，作出函数y＝t，y＝f (x)的图象如图②所示， 由图可知f (x)与y＝t1无交点，与y＝t2有三个不同交点，与y＝t3，y＝t4各有两个不同交点， 所以F (x)＝f (f (x))－f (x)－1的零点个数为7个．故选C． 对点练2．(2024·江苏镇江模拟)函数f (x)＝＋1，若g(x)＝2f2(x)－(2a＋3)f (x)＋3a有4个零点，则a的取值范围是(　　) A．(1，2) B． C．∪ D．∪ 答案：D 解析：由g(x)＝2f2(x)－(2a＋3)f (x)＋3a＝0，可得[2f (x)－3]·[f (x)－a]＝0， 解得f (x)＝或f (x)＝a，如图所示．由图可知，直线y＝与函数f (x)的图象有两个交点，又因为函数g(x)有四个零点，故直线y＝a与函数f (x)有两个交点，且a≠，所以1<a<2且a≠，因此实数a的取值范围是∪.故选D． 学生用书↓第52页 学科网（北京）股份有限公司 $$