拓展视野1 基本不等式链（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

若a＞0，b＞0，则≤≤≤ . 其中和 分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数． 即调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件)． 一、利用不等式链求最值 [多选题]设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．有最大值 B．＋有最小值3 C．a2＋b2有最小值 D．＋有最大值 答案：ACD 解析：对于A，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，由≤＝＝，得＋≥，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，由 ≥＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，由≤ ＝，得＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确．故选ACD． 二、利用基本不等式链证明不等式 已知a，b，c都是非负实数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)． 证明：因为 ≥， 即≥(a＋b)， 同理，≥(b＋c)，≥(c＋a)， 相加可得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝(a＋b＋c)， 当且仅当a＝b＝c时等号成立． 对点练1．(1)(数学文化)(2024·浙江宁波模拟)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≥(a>0，b>0) D．≥(a>0，b>0) (2)(2024·湖南郴州模拟)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝＝，由于OD≥CD，所以≥(a>0，b>0)．由于CD≥DE，所以≥＝(a>0，b>0)．故选C． (2)因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以x2＋y2＝＝≥＝，当且仅当2x＝y＝时等号成立． 对点练2．(2024·吉林长春校考二模)已知函数f (x)＝x3＋2x－2－x，若实数a，b满足f (2a2)＋f (b2－1)＝0，求a的最大值． 解：函数f (x)的定义域为R，且f (－x)＝(－x)3＋2－x－2x＝－x3＋2－x－2x＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，因为函数y＝x3、y＝2x、y＝－2－x均为R上的增函数，故函数f (x)在R上为增函数，由f (2a2)＋f (b2－1)＝0可得f (2a2)＝－f (b2－1)＝f (1－b2)，所以2a2＝1－b2，即2a2＋b2＝1，当a取最大值时，则a>0，所以a ＝＝≤＝，当且仅当即当时，等号成立，因此，a的最大值为. 学生用书↓第14页 学科网（北京）股份有限公司 $$