8.8 圆锥曲线中的几个常用二级结论(培优课12)（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§8.8　圆锥曲线中的几个常用二级结论(培优课12) 对于数学课本上直接给出的定理、公式，我们把它们称为一级结论，而二级结论就是在一级结论的基础上，经过公式的推导、转化、换算出来的．虽然我们平时解题时，也是在用一级结论去理解和解题，但很多时候一级结论不能直接让我们选出答案，这中间就会涉及到推导和换算等步骤．对于简答题，这些步骤是必不可少的！但像选择、填空这样的题，如果我们对二级结论熟练，可以直接省去这个换算的步骤．根据题意直接用二级结论，不仅能简化解题流程，也能大大提高做题的准确率． 题型一　焦点三角形的面积公式 (1)(2024·河南开封三模)已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为(　　) A．6 B．12 C． D．2 (2)已知双曲线－＝1上一点M与两焦点 F1，F2所成的∠F1MF2＝120°，则△F1MF2的面积为________． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)由椭圆＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4. 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，所以m＋n＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得：(2c)2＝m2＋n2－2mn·cos∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·，可得64＝100－mn，得mn＝，故S△F1PF2＝mn·sin∠F1PF2＝×× ＝.故选C． (2)根据双曲线焦点三角形面积的二级结论S△F1PF2＝，得S△F1PF2＝＝. 规律方法 1．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝θ，则其焦点三角形的面积为S△F1PF2＝b2tan. 2．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝θ，则其焦点三角形的面积为S△F1PF2＝.　　 对点练1.(2024·四川眉山模拟)已知P是椭圆＋＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若＝ ，则△F1PF2的面积为______． 答案：3 解析：因为a＝5，b＝3，c＝＝4，所以||＋||＝10，若cos〈，〉＝＝，因为0°≤〈，〉≤180°，则可得∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得 cos 60°＝ ＝ ＝，所以||||＝12，则S△F1PF2＝||||sin 60°＝×12×＝3. 学生用书↓第212页 题型二　椭圆与双曲线的三个e2－1 如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆＋＝1的左、下顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k. (1)若直线PA平分线段MN，求k的值； (2)对任意k>0，求证：PA⊥PB． 解：(1)由题设知，a＝2，b＝，故M(－2，0)，N(0，－)，所以线段MN的中点坐标为(－1，－)．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过直线MN的中点，又直线PA过原点，所以k＝. (2)证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1，0)．因为P，A，B都在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减得kPB·kAB＝＝－.设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为点C在直线AB上，所以k2＝＝＝，从而kk1＝2k1k2＝－×2＝－1，因此PA⊥PB． 规律方法 1．椭圆、双曲线中点弦的e2－1 (1)已知AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝－，即kAB＝－； (2)已知AB是双曲线－＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝，即kAB＝. 2．椭圆、双曲线中心弦的e2－1 (1)已知椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB＝－； (2)已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，P是双曲线上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB＝； (3)平面内与两定点A1(－a，0)，A2(a，0)连线的斜率的乘积等于常数e2－1的点的轨迹，叫做椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点．当e2－1>1时，轨迹为双曲线，当e2－1∈(－1，0)时，轨迹为椭圆．　　 3．椭圆、双曲线切点弦的e2－1 (1)直线AB与椭圆＋＝1(a>b>0)相切于P点，O是坐标原点，若直线AB，OP斜率存在，则kOP·kAB＝－； (2)直线AB与双曲线－＝1(a，b>0)相切于P点，O是坐标原点，若直线AB，OP斜率存在，则kOP·kAB＝. 对点练2.(1)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP，AQ 的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)已知双曲线x2－＝1，直线l的斜率为－2，与双曲线交于A，B两点，若在双曲线上存在异于A，B的一点C，使得直线AB，BC，AC的斜率满足＋＋＝3，且D，E，H分别为AB，BC，AC的中点，则kOE＋kOH等于(　　) A．－6 B．5 C．6 D．7 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)由题意得A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则kAP＝，kAQ＝，故kAP·kAQ＝·＝＝，又＋＝1，则y＝，所以＝，即＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.故选A． (2)由题意得＋＋＝＋＋＝3，所以＋＝.因为kBCkOE＝，所以kBCkOE＝2，即kOE＝.同理得kOH＝，所以kOE＋kOH＝＋＝2(＋)＝2×＝7.故选D． 学生用书↓第213页 题型三　椭圆、双曲线共焦点 已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为F1，F2，记它们其中的一个交点为P，且∠F1PF2＝，则该椭圆的离心率e1与双曲线的离心率e2必定满足的关系式为(　　) A．e1＋e2＝1 B．e1＋e2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：C 解析：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则由椭圆及双曲线的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，化简可得3a＋a＝4c2，两边同时除以4c2，可得＋＝1，故选C． 规律方法 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则＋＝1.　　 对点练3.已知F1，F2为椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为(　　) A． B． C．2 D．3 答案：A 解析：设椭圆C1、双曲线C2的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点M在第一象限，则由椭圆、双曲线的定义可知|MF1|＋|MF2|＝2a1，且|MF1|－|MF2|＝2a2，所以|MF1|＝a1＋a2，|MF2|＝a1－a2.在△F1MF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos∠F1MF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，整理得4c2＝a＋3a，于是得4＝＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即e2＝e1时取等号，从而e1e2≥，所以e1e2的最小值为.故选A． 题型四　焦点弦问题 (1)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|为________． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过C的右焦点F2的直线l与C的右支分别交于A，B两点，且|AB|＝3|BF2|，2|OB|＝|F1F2|(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为________． 答案：(1)　(2) 解析：(1)易知＋＝＝2，又因为|AF|＋|BF|＝|AB|＝，|AF|<|BF|，解得|AF|＝. (2)如图，连接AF1，BF1，因为2|OB|＝|F1F2|，所以BF1⊥BF2.设|BF2|＝t，因为|AB|＝3|BF2|，所以|AF2|＝2t.因为＋＝，由双曲线定义可 得|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF2|＝，|BF1|＝2a＋.由勾股定理可得|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2，化简整理得8a2＝9b2，所以C的离心率为e＝＝. 规律方法 圆锥曲线的焦点弦的重要性质与结论 1．椭圆焦点弦满足：＋＝(其中p＝)． 2．双曲线焦点弦，若A，B在同支上则＋＝；若A，B在异支上则＝(其中p＝)． 3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则＋＝(实质上也是＋＝)．　　 对点练4.抛物线y2＝4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是(　　) A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定 答案：A 解析：抛物线的焦点F(1，0)，准线x＝－1，设y＝k(x－1)，把它代入y2＝4x得k2x2－2x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，由抛物线定义可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，所以m＋n＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝(x1＋x2)＋2，mn＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝(x1＋x2)＋2，所以m＋n＝mn.故选A． 课时测评65　圆锥曲线中的几个常用二级结论(培优课12) (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－10，每小题6分，11－14，每小题10分，共100分) 1．(2024·河南灵宝模拟)设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．14 B．7 C．15 D．5 答案：C 解析：设|PF1|＝5x，|PF2|＝3x，则由双曲线的定义可得：|PF1|－|PF2|＝5x－3x＝2x＝2a＝4，所以x＝2，故|PF1|＝10，|PF2|＝6，又|F1F2|＝14，故cos∠F1PF2＝＝－，故sin∠F1PF2＝，所以△PF1F2的面积为×10×6×＝15.故选C． 2．(2024·河南汝州模拟)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上的一点(不同于左，右顶点)，且sin∠PF2F1＝2sin∠PF1F2，则△PF1F2的面积是(　　) A．2 B．3 C．2 D． 答案：D 解析：在△PF1F2中，由正弦定理得，＝，又sin∠PF2F1＝2sin∠PF1F2，所以|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2.由余弦定理可得，cos∠F1PF2＝＝＝，所以sin∠F1PF2＝，所以△PF1F2的面积S＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×4×2×＝.故选D． 3．(2024·河北承德模拟)已知F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M的个数为(　　) A．2 B．4 C．0 D．不确定 答案：B 解析：由＋＝1得a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝1，c＝1.由椭圆的定义知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2.因为△MF1F2的内切圆的周长等于π，所以△MF1F2内切圆的半径为r＝＝，S＝r·(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)＝.设点M(x0，y0)，则S＝|F1F2|·|y0|＝，所以y0＝±.将点M的坐标代入椭圆方程可得＋＝1，解得x0＝±1，所以点M的坐标为(1，)，(1，－)，(－1，)或(－1，－)，因此满足条件的点M的个数为4.故选B． 4．已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－3，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由椭圆C：＋＝1，知其左顶点A1(－2，0)，右顶点A2(2，0)．设P(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1，所以＝－.记直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，则k1k2＝＝－.因为直线PA2斜率的取值范围是[－3，－1]，所以直线PA1斜率的取值范围是.故选A． 5．已知P，A，B是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B关于原点对称，若直线PA，PB的斜率的乘积kPAkPB＝，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝x或y＝－x B．y＝x或y＝－x C．y＝x或y＝－x D．y＝x或y＝－x 答案：A 解析：法一：令P(x，y)，A(m，n)，由A，B关于原点对称得B(－m，－n)，将P(x，y)，A(m，n)代入双曲线方程得两式作差得·＝.由kPAkPB＝，得·＝，整理得＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选A． 法二：因为点A，B关于原点对称，且直线PA，PB的斜率的乘积kPAkPB＝，得＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选A． 6．(2024·重庆模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为－，则椭圆E的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：A 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由对称性可得D(－x2，－y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减可得＝－，因为直线AB与AD的斜率之积为－，所以·＝－，即＝－，所以＝，设椭圆E的半焦距为c，因为椭圆E的焦距为4，所以2c＝4，所以c＝2，又a2＝b2＋c2，所以b2＝4，a2＝8，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.故选A． 7．(2023·八省联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，直线l过坐标原点并交椭圆于P，Q两点(P在第一象限)，点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线QA交椭圆于点B，若直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设P(x1，y1)，Q(－x1，－y1)，A(2x1，0)，显然kPQ＝，kQA＝，所以kPQ＝3kQA，根据题意，PQ⊥PB，所以kBPkPQ＝－1，kBPkBQ＝－，即·kBQ＝·kBQ＝－＝－，所以e＝.故选D． 8．[多选题]已知椭圆＋＝1上一点P到左、右焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．面积为的三角形 D．周长为12的三角形 答案：BD 解析：不妨设点P在第一象限，由题意可知|F1F2|＝2c＝4且⇒所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，则△PF1F2是以F2为直角顶点的直角三角形，面积为6，周长为12.故选BD． 9．[多选题](2023·山东济宁三模)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，M为线段AB中点，A′，B′，M′分别为A，B，M在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，则下列结论中正确的是(　　) A．F的坐标为(1，0) B．|A′B′|＝2|M′F| C．A，A′，M′，F四点共圆 D．直线AB的方程为y＝±x＋1 答案：BCD 解析：对于A选项，抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，故A错误； 对于D选项，当点A在第一象限，过点B作BN垂直于AA′，N为垂足，如图所示，设|BF|＝m，则|AF|＝3m，因为BB′⊥l，AA′⊥l，BN⊥AA′，则四边形A′B′BN为矩形，所以|A′N|＝|BB′|＝|BF|＝m，则|AN|＝|AA′|－|A′N|＝|AA′|－|BB′|＝3m－m＝2m，设直线AB的倾斜角为α，则α为锐角，且sin α＝＝＝，则α＝，此时直线AB的方程为y＝x＋1，当点A在第二象限时，同理可知，直线AB的方程为y＝－x＋1，综上所述，直线AB的方程为y＝±x＋1，故D正确；对于B选项，不妨设点A在第一象限，则直线AB的方程为y＝x＋1，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得x2－x－4＝0，Δ＝2＋16＝>0，由韦达定理可得x1＋x2＝，x1x2＝－4，设点M(x0，y0)，则x0＝＝，故点M′，所以直线M′F的斜率为kM′F＝＝－，而直线AB的斜率为kAB＝，所以，kABkM′F＝－1，故M′F⊥AB，又因为AA′⊥l，故A，A′，M′，F四点共圆，同理可知，当点A在第二象限时，A，A′，M′，F四点共圆，综上所述，故A，A′，M′，F四点共圆，故C正确；对于B选项，|M′F|＝＝，|A′B′|＝|x1－x2|＝＝＝＝2|M′F|，故B正确．故选BCD． 10．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点.＝2，则|AB|＝________． 答案： 解析：设|AF2|＝t，则|BF2|＝2t，由椭圆焦点弦公式可知，＋＝，所以＝，所以t＝，从而|AB|＝. 11．已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆Γ上，设△ABC三条边AB，BC，CA的中点分别为D，E，M，且三条边所在的直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为零，O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则＋＋＝________． 答案：－ 解析：由题知c＝1，e＝＝，则a＝2，b＝，则椭圆Γ：＋＝1，由中点弦二级结论，kODk1＝kOEk2＝kOMk3＝－＝－，所以kOD＋kOE＋kOM＝－(＋＋)＝1，所以＋＋＝－. 12．过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________． 答案：－ 解析：法一：设直线m的方程为y＝k1(x＋2)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由整理得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0，Δ＝64k－4(1＋2k)(8k－2)>0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1＋y2＝k1(x1＋2)＋k1(x2＋2)＝k1(x1＋x2＋4)＝，所以P(，)，则k2＝＝－，则k1k2＝－. 法二：由椭圆的中点弦二级结论知kOP·kP1P2＝－，所以k1k2＝－. 13．(2022·新高考Ⅱ卷) 已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________． 答案：x＋y－2＝0 解析：令AB的中点为E，因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，所以－＋－＝0，即＋＝0，所以＝－，即kOE·kAB＝－， 设直线AB：y＝kx＋m，k<0，m>0，令x＝0得y＝m，令y＝0得x＝－，即M(－，0)，N(0，m)，所以E(－，)，即k×＝－，解得k＝－或k＝(舍去)，又|MN|＝2，即|MN|＝＝2，解得m＝2或m＝－2(舍去)，所以直线AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0. 14．已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它的公共点，且∠F1PF2＝，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为________． 答案：2 解析：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义可知 所以设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝， 则在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)·cos，化简得a＋3a＝4c2，该式可化成＋＝4，所以＋＝4，所以＝＝2. 学生用书↓第214页 学科网（北京）股份有限公司 $$