8.5 椭圆（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§8.5　椭圆 【课程标准】　1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．　2.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合思想．　3.了解椭圆的简单应用，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 1．椭圆的定义 条　件 结论1 结论2 平面内的动点P与平面内的两个定点F1，F2 P点的 轨迹叫 作椭圆 F1，F2叫作椭圆的焦点 |PF1|＋|PF2|＝2a |F1F2|叫作椭圆的焦距 2a＞|F1F2| 微提醒　在数学表达式|MF1|＋|MF2|＝2a中：若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹为线段F1F2；若2a<|F1F2|，则动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1 (a＞b＞0) ＋＝1 (a＞b＞0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 性 质 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 微提醒　(1)焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．(2)离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁． 【记牢常用结论】 1．若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a. (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中： (1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大． (2)S＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－. 1．[多选题]下列说法中正确的是(　　) A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 B．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆 学生用书↓第202页 C．方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆 D．＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同 答案：CD 2．(链接北师选择性必修一P56T7)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________________． 答案：＋＝1 解析：如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又△ABF2的周长为16，所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16，即4a＝16，a＝4，又e＝＝，则c＝2，b＝＝2，故椭圆C的方程为＋＝1. 3．(链接北师选择性必修一P56T1)已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为___________________________________． 答案：3或 解析：若0<m<5，则a2＝5，b2＝m，则c＝.由e＝，得＝，解得m＝3. 若m>5，则a2＝m，b2＝5，则c＝.由e＝，得＝，解得m＝.综上，m＝3或. 4．(用结论)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_______． 答案： 解析：结合题意，由结论4可知：kOM·kAB＝－＝－，所以a＝b，所以c＝b，所以e＝＝＝. 考点一　 椭圆的定义及其应用 综合练 (1)如图所示，圆O 的半径为定长r，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 (2)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 (3)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________． 答案：(1)A　(2)B　(3) 解析：(1)如图，连接QA．由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A 在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，知点Q 的轨迹是以O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆，故选A． (2)法一：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan 45°＝1＝×|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B． 法二：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，平方得：|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B． (3)由题意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，所以|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，所以|F1P|·|PF2|＝，所以S△PF1F2＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝. [变式探究] (变条件)若将本例(3)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积． 解：因为PF1⊥PF2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16， 又|PF1|＋|PF2|＝2a， 所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2，即4a2－16＋2|PF1||PF2|＝4a2. 所以|PF1|·|PF2|＝8， 所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝4. 规律方法 椭圆定义的应用技巧 1．椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． 2．通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题以及|PF1|·|PF2|问题．　　 学生用书↓第203页 对点练1.(1)(2024·浙江温州模拟)已知椭圆＋＝1 上的一点P 到焦点F1 的距离为6，点M 是PF1 的中点，O 为坐标原点，则|OM|＝(　　) A．2 B．4 C．7 D．14 (2)(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则|OP|＝(　　) A． B． C． D． 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M 分别是F1F2 和PF1 的中点，所以|OM|＝|PF2|，由椭圆的方程得a＝10，所以2a＝20，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝20－6＝14，所以|OM|＝7.故选C． (2)法一：设∠F1PF2＝2θ，0<θ<，所以S△PF1F2＝b2tan＝b2tan θ，由cos∠F1PF2＝cos 2θ＝＝＝，解得tan θ＝，由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝×|F1F2|×|yp|＝×2×|yp|＝6×，解得y＝3，即x＝9×(1－)＝，因此|OP|＝＝＝.故选B． 法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1||PF2|＝，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而＝(＋)， 所以|OP|＝||＝|＋| ＝ ＝＝.故选B． 考点二　椭圆的标准方程多维练 角度1　定义法 (2024·湖南长沙开学考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，若|F1F2|，|PF2|，|PF1|成公差为2的等差数列，则椭圆C的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：D 解析：如图所示，由题知，|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c＋2，|PF1|＝2c＋4，又PF2垂直于x轴，所以(2c)2＋(2c＋2)2＝(2c＋4)2，解得c＝3，又由椭圆定义可得2a＝2c＋2＋2c＋4＝18，即a＝9，所以b2＝a2－c2＝81－9＝72，所以椭圆方程为＋＝1.故选D． 角度2　待定系数法 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________________． 答案：＋＝1 解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．将P1，P2代入方程，得解得所以椭圆的方程为＋＝1. 规律方法 1．用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程，其中常用的关系有： (1)b2＝a2－c2. (2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a. (3)椭圆上任一短轴顶点到任一焦点的距离都等于实半轴长a. 2．用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 　对点练2.(1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若·＝－1，则C 的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，则椭圆的标准方程为__________． 答案：(1)B　(2)＋＝1 解析：(1)依题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－＝－c2＝－1，故c＝1，又C 的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C 的方程为＋＝1.故选B． (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由 解得m＝，n＝.所以椭圆的标准方程为＋＝1. 考点三　椭圆的简单几何性质多维练 角度1　求椭圆的离心率的值(范围) (1)(2023·山东淄博三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k>0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB．若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为(　　) 学生用书↓第204页 A． B． C． D． (2)(2024·河南洛阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B 是椭圆C 的任意两点，四边形ABF1F2 是平行四边形，且|AB|≤2|AF2|，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，如图所示，故四边形AFBF2为平行四边形， 设|AF|＝m，因为∠ABF＝30°，则|FB|＝2m，|BF2|＝|AF|＝m，|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，m＝a，在△BFF2中，2＝2＋2－2×a×a×cos 120°，整理得到4c2＝，即c＝a，故e＝＝.故选A． (2)因为四边形ABF1F2 是平行四边形，则AB∥F1F2，且|AB|＝|F1F2|＝2c，所以AB⊥AF2，则|AF2|＝.因为|AB|≤2|AF2|，即2c≤，所以ac≤b2＝a2－c2，即c2＋ac－a2≤0，同除以a2 可得e2＋e－1≤0，解得≤e≤.因为0<e<1，所以0<e≤. 角度2　与椭圆性质有关的最值(范围)问题 如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________． 答案：4 解析：由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为＋＝1.设P点的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因为F(－1，0)，A(2，0)，所以＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2，所以当x0＝－2时，·取得最大值4. 规律方法 1．求椭圆离心率的3种方法 (1)直接求出a，c 来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c 的值； (2)构造a，c 的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解； (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 提醒：在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1) 进行根的取舍，否则将产生增根．　　 2．与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略 对点练3.(1)(2024·九省适应性测试)椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝(　　) A． B． C． D．2 (2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1 的上顶点，点P 在C 上，则|PB| 的最大值为(　　) A． B． C． D．2 (3)(2024·广东深圳二模)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1.若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且·＝a2，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)A　(2)A　(3)C 解析：(1)由题意得e＝＝，解得a＝.故选A． (2)通解(消元转化法)：设点P(x，y)，则根据点P 在椭圆＋y2＝1 上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－2.当2y＋＝0，即y＝－ (满足|y|≤1 )时，|PB|2 取得最大值，所以|PB|max＝.故选A． 优解(利用椭圆的参数方程)：因为点P 在椭圆＋y2＝1 上，所以可设点P. 易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sin θ＋2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝－2.易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－ 时，|PB|2 取得最大值，所以|PB|max＝.故选A． (3)设∠PF1F2＝θ，由题意知|PF1|＝|F1F2|＝2c，由椭圆的定义得|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2c. 因为·＝a2，所以4c2cos θ＝a2. 在△PF1F2中，由余弦定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos θ，即(2a－2c)2＝8c2－8c2cos θ＝8c2－a2，整理可得4c2＋8ac－5a2＝0，即4e2＋8e－5＝0，解得e＝或e＝－(舍去)，所以e＝.故选C． 课时测评62　椭圆 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A． 2．(2024·吉林白山模拟)古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点P(x，y)到定点A(1，0)和到定直线x＝4的距离之比是，则点P的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案：B 解析：由题意得＝，整理得＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆．故选B． 3．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，M 是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：C 解析：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.因为c＝，所以b＝＝2.所以椭圆的方程是＋＝1.故选C． 4．(2024·江苏南通一模)2023年10月26日神舟十七号接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中，飞船与空间站的对接需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S1，近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S2，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为(　　) A． B．2 C． D．2 答案：D 解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意得a＋c＝S1＋R，a－c＝S2＋R，所以b2＝a2－c2＝(S1＋R)·(S2＋R)，故b＝，所以2b＝2.故选D． 5．(2024·河南新乡质检)设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2| 为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为(　　) A．－1 B． C． D．＋1 答案：A 解析：不妨设椭圆E 的方程为＋＝1(a>b>0)，因为△PF1F2 为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，所以椭圆E 的离心率e＝＝＝－1.故选A． 6．[多选题]已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A，B两点都在C上，且＝，则下列结论正确的是(　　) A．|AB|的最小值为4 B．|AF1|＋|BF1|为定值 C．存在点A，使得AF1⊥AF2 D．C的焦距是短轴长的倍 答案：BCD 解析：因为a2＝6，b2＝2，c2＝a2－b2＝4，所以a＝，b＝，c＝2，所以C的焦距是短轴长的倍，故D正确；因为＝，故A，B两点关于原点对称，所以|AB|的最小值为2b＝2，故A错误；由椭圆的对称性知，|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，为定值，所以B正确；当A在y轴上时，cos∠F1AF2＝<0，则∠F1AF2为钝角，所以存在点A，使得AF1⊥AF2，故C正确．故选BCD． 7．(2024·上海模拟)方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的范围是______________________________________________________________ ． 答案： 解析：因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，所以解得2<k<9. 8．已知F1，F2 分别为椭圆C：＋＝1 的左、右焦点，直线x－3y＋1＝0 与椭圆交于P，Q 两点，则△PQF2 的周长为_______． 答案：8 解析：由题意得，F1(－1，0)，F2(1，0)，直线x－3y＋1＝0 过左焦点F1(－1，0)，所以|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a＝4，|PQ|＝|PF1|＋|QF1|，所以C△PQF2＝|PQ|＋|QF2|＋|PF2|＝|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＋|PF2|＝4a＝8. 9．(2024·河北唐山模拟)已知F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E上两点A，B满足3＝2，|AF1|＝2|AF2|，则E的离心率为_________． 答案： 解析：如图，因为3＝2，所以可设|AF2|＝2t，|F2B|＝3t，又|AF1|＝2|AF2|，所以|AF1|＝4t，由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝6t＝2a，即t＝，又|BF1|＝2a－|BF2|＝2a－a＝a，即B点为短轴端点，所以在△ABF1中，cos B＝＝＝，又在△F2BF1中，cos B＝＝＝1－2e2＝，解得e＝或e＝－(舍去)． 10．(12分)(2024·安徽六安模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率为. (1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 若点A(0，1)，点B 在椭圆C 上，求线段AB 长度的最大值． 解：(1)依题意得2c＝2，c＝， 离心率e＝＝＝，解得a＝2， 所以b＝＝1， 所以椭圆C 的标准方程为＋y2＝1. (2)设B(x，y)，则＋y2＝1， 得|AB|2＝x2＋(y－1)2 ＝4－4y2＋y2－2y＋1 ＝－3y2－2y＋5＝－32＋， 其中－1≤y<1. 所以当y＝－ 时，|AB|max＝. 11．(15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为b. (1)求椭圆C的离心率； (2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的方程． 解：(1)由题意得，A(－a，0)，EF2：x＋y＝c， 因为A到直线EF2的距离为b， 即＝b， 所以a＋c＝b， 即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2， 所以(a＋c)2＝3(a2－c2)， 所以2c2＋ac－a2＝0， 因为离心率e＝， 所以2e2＋e－1＝0， 解得e＝或e＝－1(舍)， 所以椭圆C的离心率为. (2)由(1)知离心率e＝＝，即a＝2c，① 因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为， 则|PF1||PF2|sin 60°＝， 所以|PF1||PF2|＝4， 又 所以a2－c2＝3，② 联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (每小题6分，共12分) 12．[多选题](2024·河北衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4，F1，F2为C的两个焦点，P为C上任意一点，则下列结论正确的是(　　) A．C的方程为＋＝1 B．C的方程为＋＝1 C．△PF1F2内切圆半径最大值为4－6 D．满足·＝0的点P有且仅有四个 答案：BCD 解析：由题意得解得则椭圆C的方程为＋＝1，所以选项A错误，选项B正确；当点P与椭圆C的短轴端点重合时，△PF1F2的面积最大，且最大值为S＝|F1F2|×b＝×4×2＝4.设△PF1F2的内切圆半径为r，则△PF1F2的面积S＝(|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|)×r＝4，解得r＝＝4－6，所以选项C正确；若·＝0，即∠F1PF2＝.当点P与椭圆C的短轴端点重合时，∠F1PF2最大，由余弦定理可得此时cos∠F1PF2＝＝＝－，因为∠F1PF2∈(0，π)，所以∠F1PF2＝，即∠F1PF2的最大值为，所以满足条件的点P有且仅有四个，所以选项D正确．故选BCD． 13．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P，使＝，该椭圆的离心率的取值范围为________． 答案：(－1，1) 解析：在△PF1F2中，由正弦定理，得＝.因为＝，所以＝.由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a，则·|PF2|＋|PF2|＝2a，即|PF2|＝.由椭圆的几何性质，知|PF2|＜a＋c，则＜a＋c，即c2＋2ac－a2＞0，所以e2＋2e－1＞0，解得e＜－－1或e＞－1.又e∈(0，1)，所以e∈(－1，1)． (每小题8分，共16分) 14．(新载体)(2024·浙江宁波模拟)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为(60°)，若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为________． 答案：2－ 解析：如图所示， 伞柄底端应该位于椭圆的左焦点F处，且左焦点到右顶点的距离为CF＝＝2，即a＋c＝2.在△ABC中，由正弦定理得＝，所以a＝＝＝，所以c＝2－＝，所以该椭圆的离心率为e＝＝＝2－. 15．(2024·广东广州测试)已知F为椭圆C：＋＝1的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，AD⊥x轴，垂足为D，BD与椭圆C的另一个交点为E，则下列结论正确的是(　　) A．AB⊥AE B．△ABD面积的最大值为4 C．△ABF周长的最小值为12 D．＋的最小值为 答案：ABD 解析：对于A，如图①所示，设A(x1，y1)，E(x2，y2)，由题意可知D(x1，0)，且x1≠0，x1≠x2，x1＋x2≠0.由椭圆的对称性，得B(－x1，－y1)．因为A，E均在椭圆C上，所以两式相减得＋＝0，即＝－，即kBE·kAE＝－.又kAB＝＝，kBD＝，所以kBE＝kBD＝kAB，所以kAB·kAE＝－，即kAB·kAE＝－1，所以AB⊥AE，故A正确．对于B，由椭圆的对称性，不妨设点A(x1，y1)在第一象限，则x1>0，y1>0，所以1＝＋≥2，所以x1y1≤4，当且仅当＝＝，即x1＝2，y1＝2时取等号，所以S△ABD＝x1×2y1＝x1y1≤4，故B正确；对于C，由题意知a＝4，b＝2，所以c＝＝2，所以F(－2，0)． 如图②所示，设右焦点为F′(2，0)．连接AF′，则根据椭圆的对称性可知|BF|＝|AF′|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a，所以△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a＋|AB|＝8＋|AB|，易知椭圆的短轴为椭圆中最短的弦，其长为2b＝4，由题意可知AB不能与椭圆的短轴端点重合，故△ABF的周长大于8＋4，故C不正确．对于D，由C的分析可知|AF|＋|BF|＝2a＝8，故＋＝(|AF|＋|BF|)(＋)＝(17＋＋)≥(17＋2)＝，当且仅当＝，即|AF|＝，|BF|＝时取等号，故D正确．综上所述，选ABD． 学生用书↓第205页 学科网（北京）股份有限公司 $$