8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 【课程标准】　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系．　2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．　3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 1．直线与圆的位置关系 直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 图形 2. 圆与圆的位置关系 (1)用几何法判断圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r， 则圆心距d＝|C1C2|＝ . 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距与半径的关系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－r2| <d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 图示 公切线 4 0 2 1 3 (2)用代数法判定圆与圆的位置关系 已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 将方程联立 消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程， 则①判别式Δ>0时，C1与C2相交． ②判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切． ③判别式Δ<0时，C1与C2外离或内含． 微提醒　(1)涉及两圆相切时，没有特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．(2)两圆相交时两圆圆心的连线垂直平分公共弦． 【记牢常用结论】 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a) (x－a)＋(y0－b) (y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2 学生用书↓第197页 ＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 3．直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆方程，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 1．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．若两圆没有公共点，则两圆一定外离 B．若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 C．若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切 D．在圆中最长的弦是直径 答案：CD 2．(链接北师选择性必修一P38T5)过点(2，2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为(　　) A．x－2y＋2＝0 B．3x＋2y－10＝0 C．x＋2y－6＝0 D．x＝2或x＋2y－6＝0 答案：C 解析：将点(2，2)代入(x－1)2＋y2＝5，有(2－1)2＋22＝5成立，即点(2，2)在圆上，由结论1(2)知，故过圆(x－1)2＋y2＝5上点(2，2)的切线的方程为(x－1) (2－1)＋2y＝5，即x＋2y－6＝0.故选C． 3．(链接北师选择性必修一P38T9改编)直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是________． 答案：[－3，1] 解析：由题意可得，圆(x－a)2＋y2＝2的圆心为(a，0)，半径为，所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 4．(用结论)经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，并且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程为_________． 答案：x2＋y2－x＋7y－32＝0 解析：由结论2(2)知，设所求圆的方程为＋λ＝0，λ为实数，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，圆心坐标为，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－＋－4＝0，解得λ＝－7，故所求的圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 考点一　直线与圆的位置关系基础练 (1)[多选题](2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0(r>0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 (2)(2022·新高考Ⅱ卷) 设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是_________________________________________． 答案：(1)ABD　(2) 解析：(1)圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝r，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝>r，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<r，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝r，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD． (2)A(－2，3)关于y＝a的对称点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上，所以A′B所在直线即为对称直线l，所以直线l为y＝x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0；圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1，依题意圆心到直线l的距离d＝≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得≤a≤，即a∈. 规律方法 判断直线与圆的位置关系的方法 1．几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系来判断． 2．代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x (或y )的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组的解的个数)来判断． (1)如果Δ<0，那么直线与圆相离； (2)如果Δ＝0，那么直线与圆相切； (3)如果Δ>0，那么直线与圆相交．　　 对点练1.(1)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上恰有3点到直线x－y＋m＝0的距离等于1，则m＝________________． (2)(新设问)(2024·河南名校联考二)已知直线l与圆C：x2＋(y－1)2＝2相切，且切点的横、纵坐标均为整数，则直线l的方程为__________________．(写出一个满足条件的方程即可) 答案：(1)1±　(2)x－y－1＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或x－y＋3＝0(任写一个都对) 解析：(1)圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4的圆心C(1，2)，半径r＝2，由圆C上恰有3点到直线x－y＋m＝0的距离等于1，得圆心C到直线x－y＋m＝0的距离等于1，于是＝1，解得m＝1±，所以m＝1±. (2)易知圆C的圆心为点(0，1)，半径为r＝；圆C经过的整点有4个，即(0，1)，(－1，0)，(1，2)，(－1，2).①切点为(1，0)时，圆心与切点连线的斜率为k＝＝－1，则切线斜率为1，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为x－y－1＝0；②切点为(－1，0)时，圆心与切点连线的斜率为k＝＝1，则切线斜率为－1，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为x＋y＋1＝0；③切点为(1，2)时，圆心与切点连线的斜率为k＝＝1，则切线斜率为－1，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为x＋y－3＝0；④切点为(－1，2)时，圆心与切点连线的斜率为k＝＝－1，则切线斜率为1，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为x－y＋3＝0；故答案为：x－y－1＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或x－y＋3＝0.(任写其一) 考点二　圆与圆的位置关系 综合练 (1)设圆C1：x2＋y2－2x＋4y＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＝0，则圆C1，C2的公切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 (2) 圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0 与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0 的公共弦所在直线的方程为_________，公共弦长为 ________． 答案：(1)B　(2)x－2y＋4＝0　2 解析：(1)由题意，得圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝32，圆心C1(1，－2)，半径r1＝3，圆C2：(x＋3)2＋(y－4)2＝52，圆心C2(－3，4)，半径r2＝5，所以5－3<|C1C2|＝2<5＋3，所以C1与C2相交，有2条公切线．故选B． (2)联立两圆的方程得 两式相减并化简，得两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.设两圆相交于A，B 两点，则A，B 两点的坐标满足方程组 解得 或 所以|AB|＝＝2，即公共弦长为2. 学生用书↓第198页 [变式探究] (变条件，变设问)若本例(1)条件变为“圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线”，则m的取值范围是________． 答案： 解析：将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得(x＋m)2＋y2＝1，即圆心为(－m，0)，半径为1，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，因为圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或相离，所以≥2＋1，即m2≥5，解得m∈(－∞，－]∪[，＋∞)． 规律方法 圆与圆的位置关系的求解策略 1．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2 项得到．　　 对点练2.(1)[多选题]已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．若圆C2与x轴相切，则m＝2 B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离 C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0 D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点 (2)(2024·湖南长沙模拟)已知圆C1：x2＋(y－1)2＝1与圆C2：x2＋(y－m)2＝4相内切，则实数m的值为______． 答案：(1)BD　(2)0或2 解析：(1)由题可知，圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，故A错误；当m＝－3时，|C1C2|＝＝2>2＋，两圆相离，故B正确；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程，即4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2，1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，故点(2，1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11的内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．故选BD． (2)圆C1的圆心为(0，1)，半径为r1＝1，圆C2的圆心为(0，m)，半径为r2＝2，所以两圆的圆心距d＝，又因为两圆内切，有|m－1|＝|1－2|⇒m＝0或m＝2. 考点三　直线与圆的综合问题多维练 角度1　圆的弦长问题 (2023· 新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值________． 答案：2(2，－2，，－中任意一个皆可以) 解析：设点C到直线 AB 的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，由d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±或m＝±2. 角度2　圆的切线问题 (1)过点P(2，4) 作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 的切线，则切线方程为(　　) A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4 或3x＋4y－4＝0 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1 和(x－3)2＋(y－4)2＝16 都相切的一条直线的方程______________． 答案：(1)C　(2)3x＋4y－5＝0 或7x－24y－25＝0 或x＝－1 (只需挑一个作答即可) 解析：(1)当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.故选C． (2)圆x2＋y2＝1 的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16 的圆心为O1，半径为4，两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切．如图， 当切线为l 时，因为kO O1＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t>0)，点O 到l 的距离d＝＝1，解得t＝，所以l 的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.当切线为m 时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，由题意 解得 所以m 的方程为－x＋y＋＝0，即7x－24y－25＝0.当切线为n 时，易知切线方程为x＝－1.综上，所求切线的方程为3x＋4y－5＝0 或7x－24y－25＝0 或x＝－1. 角度3　直线与圆的位置关系中的最值(范围)问题 (1)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　　) A． B． C．1＋ D．2＋ (2)(2024·福建龙岩模拟)已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为________． 答案：(1)A　(2)2 解析：(1)如图所示，|OA|＝1，|PO|＝，则由题意可知∠APO＝45°，由勾股定理可得PA＝＝1， 当点A，D位于直线PO异侧时，如图①，设∠OPC＝α，0≤α<， 则·＝||·||cos(α＋)＝1×cos αcos(α＋)＝cos α(cos α－sin α)＝cos2α－sin αcos α＝－sin 2α＝－sin(2α－)，又0≤α<，则－≤2α－<，所以当2α－＝－时，·有最大值1， 当点A，D位于直线PO同侧时，如图②，设∠OPC＝α，0≤α<，则·＝||·||cos(－α)＝1×cos αcos(－α)＝cos α(cos α＋sin α)＝cos2α＋sin αcos α＝＋sin 2α＝＋sin(2α＋)，又0≤α<，则≤2α＋<，所以当2α＋＝时，·有最大值.综上可得，·的最大值为.故选A． (2)由圆O：x2＋y2＝2，得r＝，四边形PAOB的面积S＝2S△PAO＝|PA|·|AO|＝|PA|， 因为点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，所以P(x0，4－x0)，则|PA|＝＝，又|PO|2＝x＋(4－x0)2＝2x－8x0＋16＝2(x0－2)2＋8≥8，所以|PO|2－2≥6，则|PA|≥，所以四边形PAOB的面积的最小值为×＝2. 规律方法 1．弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长； (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 学生用书↓第199页 2．当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k； (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况． 3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题 解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．　　 对点练3.(1)(2024·湖北武汉模拟)若直线kx－y＋1－2k＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2 B．2 C． D． (2)(2023·山东烟台一模)由点P(－3，0)射出的两条光线与⊙O1：(x＋1)2＋y2＝1分别相切于点A，B，称两射线PA，PB上切点右侧部分的射线和优弧AB右侧所夹的平面区域为⊙O1的“背面”．若⊙O2：(x－1)2＋(y－t)2＝1处于⊙O1的“背面”，则实数t的取值范围为(　　) A．－2≤t≤2 B．－＋1≤t≤－1 C．－1≤t≤1 D．－≤t≤ 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)直线kx－y＋1－2k＝0，即k(x－2)－(y－1)＝0恒过定点M(2，1)，而(2－1)2＋12＝2<4，即点M在圆C内，因此当且仅当AB⊥CM时，|AB|最小，而圆C的圆心C(1，0)，半径r＝2，|CM|＝，所以|AB|min＝2＝2＝2.故选B． (2)设过点P的切线方程为y＝k(x＋3)， 所以＝1，所以k＝±，所以直线AP的方程为y＝(x＋3)，即x－y＋3＝0，直线PB的方程为y＝－(x＋3)，即x＋y＋3＝0，⊙O2：(x－1)2 ＋(y－t)2＝1处于⊙O1的“背面”，与PB相切时t取最小值，由＝1，解得t＝－或t＝－2，结合图形可得t的最小值为－，同理与PA相切时可得t的最大值为t＝，所以－≤t≤.故选D． 课时测评61　直线与圆、圆与圆的位置关系 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．(2024·河南安阳模拟)过点(0，2)且与直线y＝x－2 相切，圆心在x 轴上的圆的方程为(　　)　 A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x＋1)2＋y2＝5 C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝8 答案：D 解析：设圆心为(a，0)，由题意得＝，解得a＝－2，故圆的半径r＝＝2，所以圆的方程为(x＋2)2＋y2＝8.故选D． 2．(2024·四川南充适应性考试)若过点A(4，0) 的直线l 与圆(x－2)2＋y2＝1 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是(　　) A． B．[－，] C． D．[－，] 答案：D 解析：法一：设直线l 的方程为y＝k(x－4)，联立得 则(x－2)2＋k2(x－4)2＝1，得x2－x＋16k2＋3＝0，根据题意知Δ＝2－4≥0⇒－≤k≤.故选D． 法二：设直线l 的方程为y＝k(x－4)，直线l 与圆有公共点，则圆心(2，0)到直线l：kx－y－4k＝0 的距离d＝＝≤1⇒4k2≤k2＋1⇒3k2≤1⇒－≤k≤.故选D． 3．(2024·福建宁德一模)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与直线l：x＋y－1＝0，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则|PQ|的最小值是(　　) A． B．2 C．－1 D．2－1 答案：A 解析：圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0化为标准方程为C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，则圆C的圆心为C(2，3)，半径r＝1，则|CP|＝1，直线PQ与圆C相切，有|PQ|＝＝，因为点Q在直线l上，所以|CQ|≥＝2，则|PQ|≥ .即|PQ|的最小值是.故选A． 4．(知识融合)(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由e＝，则＝＝1＋＝5，解得＝2，又C的一条渐近线与已知圆相交，且此圆在第一象限，所以这一条渐近线方程为y＝2x，则圆心(2，3)到渐近线的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2＝.故选D． 5．[多选题](2024·福建宁德二模)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值可以为(　　) A． B．4 C． D．6 答案：BCD 解析：因为∠APB＝90°，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m，故点P是圆O与圆C的交点，C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心和半径分别为(3，4)，r＝1，|OC|＝＝5，因此两圆相切或相交，即|m－1|≤≤m＋1，解得4≤m≤6.故选BCD． 6．[多选题](2024·山东临沂模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，点A(0，4)，点P在圆C上，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　) A．线段AP长的最大值为6 B．当直线AP与圆C相切时，|AP|＝2 C．以线段AP为直径的圆不可能过原点O D．·的最大值为20 答案：ABD 解析：根据题意可知C：(x－3)2＋y2＝1的圆心C(3，0)，半径r＝1，如图所示． 易知|AP|≤|AC|＋|CP|＝＋1＝6，当且仅当A，C，P三点共线(且C点在中间)时，等号成立，即A正确；当直线AP与圆C相切时，由勾股定理可得|AP|＝＝＝2，所以B正确；若以线段AP为直径的圆过原点O，由直径所对圆周角为直角可得∠AOP＝90°，易知当P在x轴上时，满足题意；所以以线段AP为直径的圆可能过原点O，即C错误；设点P(x0，y0)，易知x0∈，y0∈，则＝(0，－4)，＝(x0，y0－4)，所以·＝16－4y0≤16－4×(－1)＝20，即·的最大值为20，即D正确．故选ABD． 7．(新设问)(2023·广东梅州三模)写出一个过点P(4，0)且与直线l：y＝x相切的圆的方程__________． 答案：(x－3)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一) 解析：过点P(4，0)且与直线l垂直的直线l1的方程为y＝－x＋4，设l与l1的交点为Q，由得所以Q点的坐标为(2，2)，故所求的一个圆可以是以PQ为直径的圆．因为PQ的中点坐标为(3，1)，|PQ|＝＝2，所以所求的一个圆的方程可以为(x－3)2＋(y－1)2＝2. 8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，若直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为__________． 答案：3 解析：由(x－1)2＋y2＝4可知圆心C(1，0)，半径为2，因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆C的半径2，所以PC＝2，所以直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P，使得PC＝2，即PC⊥l，所以圆心C到直线l的距离为2，所以＝2，解得m＝3或m＝－5(舍)． 9．(2024·河北衡水三模)若圆C1：x2＋y2＝1和C2：x2＋y2－2ax－2ay－5a＝0有且仅有一条公切线，则a＝______；此公切线的方程为__________________． 答案：1　 x＋y＋2＝0 解析：如图，由题意得C1与C2相内切，又C2：(x－a)2＋(y－a)2＝4a2＋5a，所以|C1C2|＝＝－1，所以2a＋1＝，解得a＝1，所以C2，kC1C2＝＝.联立解得所以切点的坐标为，故所求公切线的方程为y＋＝ －，即x＋y＋2＝0. 10．(10分)已知圆C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0 与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0. (1) 过点P(3，5) 作直线l 与圆C1 相切，求l 的方程； (2) 若圆C1 与圆C2 相交于A，B 两点，求AB 的长． 解：(1)圆C1 的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1， 即圆C1 的圆心为(2，3)，半径为1. 若直线l 的斜率不存在，方程为x＝3，与圆C1 相切，满足条件． 若直线l 的斜率存在，设斜率为k，方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y－3k＋5＝0. 由l 与圆C1 相切可得＝1， 解得k＝. 所以l 的方程为y－5＝(x－3)，即3x－4y＋11＝0. 综上可得l 的方程为x＝3 或3x－4y＋11＝0. (2)联立两圆方程得 两方程相减得AB 所在直线的方程为3x＋y－8＝0， 圆C1 的圆心到AB 的距离d＝＝，所以AB＝2＝. 11．(10分)已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0. (1)证明：直线l总与圆C相交； (2)设直线l与圆C交于E，F两点，求△CEF面积最大时，直线l的方程． 解：(1)证明：因为圆C：x2＋(y－4)2＝4，所以圆心C(0，4)，半径r＝2， 因为直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0， 整理得(3x－y)m＋(x＋y－4)＝0， 令解得所以直线l过定点M(1，3)， 因为|CM|＝＝<2＝r， 所以定点M(1，3)在圆内， 所以直线l总与圆C相交． (2)由题意S△CEF＝|CE|·|CF|·sin∠ECF＝r2·sin∠ECF， 当S△CEF最大时，∠ECF＝，此时△CEF是等腰直角三角形，此时圆心C(0，4)到直线l的距离d等于r，即d＝. 因为圆心C(0，4)到直线l的距离 d＝ ＝， 所以＝，解得m＝－1， 将m＝－1代入直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0，得x－y＋2＝0， 所以当△CEF面积最大时直线l的方程为x－y＋2＝0. 12．(12分)如图，已知圆C的圆心在原点，且与直线x＋3y＋4＝0 相切． (1) 求圆C 的方程； (2) 点P 在直线x＝8 上，过点P 引圆C 的两条切线PA，PB，切点为A，B． ① 求四边形OAPB 面积的最小值； ② 求证：直线AB过定点． 解：(1)依题意得，圆心 到直线x＋3y＋4＝0 的距离d＝r， 所以r＝d＝＝， 所以圆C 的方程为x2＋y2＝. (2)①连接OA，OB， 因为PA，PB 是圆C 的两条切线， 所以OA⊥AP，OB⊥BP， 所以S四边形OAPB＝2S△OAP＝|OA|·|PA|＝× . 所以当PO 取最小值8时， min＝＝. ②证明：由①得，A，B 在以OP 为直径的圆上， 设点P 的坐标为(8，b)，b∈R， 则线段OP 的中点坐标为， 所以以OP 为直径的圆的方程为(x－4)2＋2＝16＋， 即x2＋y2－8x－by＝0. 因为AB 为两圆的公共弦， 所以由 得直线AB 的方程为8x＋by＝，b∈R，即8＋by＝0， 则直线AB 恒过定点. 13．(7分)[多选题](2023·山东潍坊5月联考)已知点P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2上一点，A(－1，0)，B(1，0)，则以下说法正确的是(　　) A．若直线AB与圆C相切，则r＝4 B．若以A，B为直径的圆与圆C相切，则r＝4 C．若·＝0，则4≤r≤6 D．当r＝1时，|PA|2＋|PB|2的最小值为34 答案：ACD 解析：对于A，由A(－1，0)，B(1，0)，则直线AB的方程为lAB：y＝0，所以圆C的圆心(3，4)到直线AB的距离为d＝4，又直线AB与圆C相切，所以r＝4，故A正确；对于B，由A(－1，0)，B(1，0)，则以A，B为直径的圆的方程为：x2＋y2＝1，所以圆C的圆心(3，4)到圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)的距离为5，当圆x2＋y2＝1与圆C外切时，有r＋1＝5，得r＝4，当圆x2＋y2＝1与圆C内切时，有r－1＝5，得r＝6，故B不正确； 对于C，设P点的坐标为(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝x2－1＋y2＝0，即x2＋y2＝1，所以圆C与x2＋y2＝1有交点，所以结合选项B可得4≤r≤6，故C正确；对于D，设P点的坐标为(3＋cos α，4＋sin α) (α为参数)，则＝(－4－cos α，－4－sin α)，＝(－2－cos α，－4－sin α)，所以|PA|2＋|PB|2＝12cos α＋16sin α＋54＝20sin1(α＋θ)＋54，其中tan θ＝，所以当sin(α＋θ)＝－1时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，且最小值为34，故D正确．故选ACD． 14．(16分)(2024·福建福州期末)已知圆C过点A(1，2)，B(2，1)，且圆心C在直线y＝－x上．P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点． (1)求圆C的方程； (2)若点P的坐标为(0，－3)，求证：无论l的位置如何变化，|PM|·|PN|恒为定值； (3)对于(2)中的定值，使|PM|·|PN|恒为该定值的点P是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点P的集合(不必证明)． 解：(1)线段AB的中点坐标为，所在直线的斜率为kAB＝＝－1， 所以AB垂直平分线的斜率为1，垂直平分线的方程为y＝x， 联立方程解得 所以圆心为(0，0)，半径为r＝＝， 所以圆C的方程为x2＋y2＝5. (2)证明：如图，若MN斜率不存在，则|PN|＝3－，|PM|＝3＋，|PM|·|PN|＝4； 若MN斜率存在，设为k，则直线MN的方程为y＝kx－3，联立方程 消去y，并化简得x2－6kx＋4＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，|PM|＝＝，|PN|＝，|PM|·|PN|＝|x1x2|＝4，即不论MN斜率是否存在，|PM|·|PN|恒为定值4. (3)不唯一，不妨设P(a，b)，a2＋b2>5，当MN斜率不存在时，则|a|<，联立方程 解得y＝±，|PM|·|PN|＝|－b|·|－－b|＝|a2＋b2－5|； 若MN斜率存在，设为k，则直线MN的方程为y＝kx＋(b－ak)， 联立方程消去y，并化简得x2＋2k(b－ak)x＋(b－ak)2－5＝0， x1＋x2＝－，x1x2＝， |PM|·|PN|＝·＝·|x1x2－a(x1＋x2)＋a2|＝|a2＋b2－5|＝a2＋b2－5， 即不论P点在何处，MN的斜率是否存在，|PM|·|PN|＝a2＋b2－5＝4为定值，则a2＋b2＝9. 综上，使|PM|·|PN|＝4的P点不唯一，其集合为{(a，b)|a2＋b2＝9}. 学科网（北京）股份有限公司 $$