7.6 空间向量的概念与运算（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§7.6　空间向量的概念与运算 【课程标准】　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．　3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，了解空间向量投影的概念及其投影向量的意义．　4.理解直线的方向向量与平面的法向量．　5.能用向量语言表述直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系．　6.能用向量方法证明有关线面位置关系的一些简单定理． 1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 a，b，c 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 ± 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量(平行向量) 表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一平面的向量 2.空间向量的运算 (1)空间向量的加减法 (2)空间向量的数乘运算 (3)空间向量的数量积 ①两个向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积：已知两个空间向量a，b，把cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝cos〈a，b〉． 特殊地：a·a＝2＝a2，. ③空间向量数量积的运算律 结合律：·b＝λ(λ∈R)． 交换律：a·b＝b·a. 分配律：a·＝a·b＋a·c. ④投影向量与投影数量 (ⅰ)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|cos〈a，b〉|． 学生用书↓第174页 (ⅱ)若用a0表示与向量a同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为1＝cos〈a，b〉a0.因此，称cos〈a，b〉为投影向量的数量，简称为向量b在向量a方向上的投影数量． 微提醒　空间向量数量积的运算特别注意： (1)a·b＝c·b⇒/a＝c.(2)·c≠a·(b·c)． 3．空间向量中的有关定理 (1)共线向量基本定理：空间两个向量a与b共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb． (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对，使得p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫作空间的一组基． 微提醒　空间向量基本定理的三点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基．(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基．(3)一组基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示． 4．空间向量运算的坐标表示及应用 设a＝(x1，y1，z1)，b＝. 向量表示 坐标表示 向量和 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 向量差 a－b (x1－x2，y1－y1，z1－z2) 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 数乘 λa (λx1，λy1，λz1)，λ∈R 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 夹角余弦 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 5.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量．显然，一条直线有无数个方向向量． (2)平面的法向量：如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量． (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2或l1与l2重合 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α或l⊂α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β或α与β重合 n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 微提醒　(1)方向向量和法向量均为非零向量且不唯一． (2)确定平面的法向量的方法： ①直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是该平面的法向量．②待定系数法：取平面内的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝，由解方程组求得． 【记牢常用结论】 1．在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 1．[多选题]下列关于空间向量的命题中，正确的有(　　) A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成一组基，则a∥b 学生用书↓第175页 B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c C．若，，是空间的一组基，且＝＋＋，则A，B，C，D四点共面 D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间一组基，则a，b，c也是空间的一组基 答案：ACD 2．(链接北师选择性必修一P103T3)如图，在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c 答案：A 解析：由题意，根据向量的几何运算法则，＝＋＝＋ (－)＝c＋ (b－a)＝－a＋b＋c.故选A． 3．(链接北师选择性必修一P115T8)在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 答案：B 解析：由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD．故选B． 4．(用结论)已知空间任意一点O 和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z，则“x＝1，y＝－3，z＝3”是“P，A，B，C 四点共面”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：当x＝1，y＝－3，z＝3 时，x＋y＋z＝1－3＋3＝1，则P，A，B，C 四点共面；而x＋y＋z＝1 的x，y，z 不止1，－3，3 这一组，故“x＝1，y＝－3，z＝3”是“P，A，B，C 四点共面”的充分不必要条件．故选A． 考点一　空间向量的线性运算基础练 (1)在空间四边形ABCD中，＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　) A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3) C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1) (2)[多选题]如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　) A．＝b－c B．＝b＋c－a C．＝b－c－a D．＝a＋b＋c 答案：(1)B　(2)BD 解析：(1)因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点， 所以＝－，＝(＋)，＝(＋)．所以＝(＋)－(＋)＝(＋)＝×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．故选B． (2)对于A，利用向量的平行四边形法则，＝＋＝b＋c，故A错误；对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得＝－＝－＝－＝＋－＝b＋c－a，故B正确；对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以＝＝＝b＋c－a，故C错误；对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，故D正确．故选BD． 规律方法 空间向量线性运算的三个关键点 1．结合图形，明确图形中各线段的几何关系． 2．正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义． 3．平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立． 对点练1.如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，O为AC的中点． ①化简－－＝________； ②用，，表示，则＝________． 答案：①　②＋＋ 解析：①－－＝－(＋)＝－＝＋＝. ②因为＝＝(＋)，所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋. 考点二　空间向量基本定理及其应用基础练 (2024·山东聊城模拟)已知A，B，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O，若点M 满足＝(＋＋)． 学生用书↓第176页 (1) 判断，， 三个向量是否共面； (2) 判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1) 由题知＋＋＝3， 所以－＝－＋－， 即＝＋＝－－， 所以，， 共面． (2)由(1)知，，， 共面且有公共点M， 所以M，A，B，C 四点共面，即点M 在平面ABC 内． 规律方法 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点P，A，B 共线 空间四点M，P，A，B 共面 ＝λ 且同过点P ＝x＋y 且同过点M 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 对点练2.(1)[多选题]下列说法中正确的是(　　) A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B．若，共线，则AB∥CD C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 (2)若A，B，C 三点共线，则m＋n＝ ________． 答案：(1)CD　(2)－3 解析：(1)由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，a，b共线，但不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(－)，即＝λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．故选CD． (2)因为＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C 三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即 (m＋1，n－2，－2)＝λ (3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，所以 解得 所以m＋n＝－3. 考点三　 空间向量数量积及应用综合练 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F分别为BC，AD的中点． (1)求·的值； (2)求|. 解：(1)设＝a，＝b，＝c，由题可知，a，b，c两两夹角为60°. 因为E为BC的中点， 所以＝ (＋)＝ (a＋b). 又F为AD的中点，所以＝c， 所以·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝ (a2cos 60°＋a2cos 60°) ＝. (2)因为＝－＝c－ (a＋b)＝ (c－a－b)， 所以＝ ＝ ＝＝a，所以＝a. [变式探究] (变设问)在本例条件下，求与夹角的余弦值． 解：因为＝ (＋)，＝－， 所以·＝ (a＋b)·(c－b) ＝(a·c－b·a＋b·c－b2)＝－， 又＝＝a，所以与的夹角θ满足cos θ＝＝＝－. 学生用书↓第177页 规律方法 1．利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算． 2．空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离) 利用公式2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 对点练3.(1)(2024·江苏徐州期末)已知a＝ (2，0，1)，b＝(3，2，－5)，则向量b在向量a上的投影向量是(　　) A． (3，2，－5) B． (3，2，－5) C． (2，0，1) D． (2，0，1) (2)[多选题](2024·山东新泰月考)设几何体ABCD -A1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则下列结论正确的是(　　) A．·＝a2 B．·＝a2 C．·＝－a2 D．·＝a2 答案：(1)C　(2)ACD 解析：(1)因为a＝ (2，0，1)，b＝(3，2，－5)，则向量b在向量a上的投影数量为＝＝，所以向量b在向量a上的投影向量是×＝×a＝a＝ (2，0，1).故选C． (2)如图，建立空间直角坐标系，则A (a，0，0)，B(a，a，0)，C (0，a，0)，D(0，0，0)，A1 (a，0，a)，B1(a，a，a)，O， 所以A1B1＝(0，a，0)，＝(－a，a，0)，＝(0，a，0)，＝(－a，a，－a)，＝ (0，－a，0)，＝(0，a，a)，＝.所以·＝a2，A对；·＝a2，B错；·＝－a2，C对；·＝a2，D对．故选ACD． 考点四　用向量方法研究立体几何中的位置关系综合练 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点． (1)求证：EF∥平面A1B1BA； (2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1. 证明：(1)因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC． 因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2，所以E (0，0，0)，C (，0，0)，A (0，2，0)，B (－，0，0)，B1 (－，0，2，A1 (0，2，)，则F. 所以＝，＝ (－，－2，0)，＝(0，0，. 设平面A1B1BA的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 取x＝－2，则所以n＝. (－2，，0) 因为·n＝× (－2)＋1×＋×0＝0， 所以⊥n. 又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA． (2)因为EC⊥平面AEA1，所以＝(，0，0)为平面AEA1的一个法向量． 又EA⊥平面BCB1，所以＝(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量． 因为·＝0，所以⊥，故平面AEA1⊥平面BCB1. 规律方法 1．利用向量法证明平行问题 (1)线线平行：方向向量平行； (2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直； (3)面面平行：两平面的法向量平行． 2．利用向量法证垂直问题的类型及常用方法 (1)线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零； (2)线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的性质定理转化为证明线线垂直； (3)面面垂直问题：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的性质定理转化为证明线面垂直． 对点练4.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD ，AD＝1，AB＝，BC＝4. (1)求证：BD⊥PC； (2)设点E 在棱PC 上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ 的值． 证明：(1)如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF∥AB，交BC 于点F，以D 为坐标原点，DA，DF，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，，0)，C(－3，，0)．设PD＝a，则P (0，0，a)， ＝(－1，－，0)，＝(－3，，－a)， 因为·＝3－3＝0，所以BD⊥PC． (2)由题意知，＝ (0，，0)，＝(0，0，a)，＝(1，0，－a)，＝(－3，，－a). 因为＝λ，所以＝(－3λ，λ，－aλ)，＝＋＝(0，0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)＝(－3λ，λ，a－aλ)． 设n＝(x，y，z) 为平面PAB 的法向量， 则 即 令z＝1，得x＝a，y＝0，所以n＝(a，0，1). 因为DE∥平面PAB，所以·n＝0，所以－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0.因为a≠0，所以λ＝. 课时测评54　空间向量的概念与运算 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．(2024·贵州遵义期末)在空间直角坐标系O-xyz中，与点 (－1，2，1)关于平面xOz对称的点为(　　) A． (－1，－2，1) B． (－1，2，1) C． (－1，－2，－1) D． (1，－2，－1) 答案：A 解析：因为点(－1，2，1)，则其关于平面xOz对称的点为(－1，－2，1).故选A． 2．(2024·安徽江南十校统考)在三棱柱A1B1C1-ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．－a＋b＋c 答案：D 解析：＝＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选D． 3．(2024·北京昌平二模)如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，则下列结论正确的是(　　) A．A1O∥EF B．A1O⊥EF C．A1O∥平面EFB1 D．A1O⊥平面EFB1 答案：B 解析：在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令AB＝2a，DD1＝2b(a>0，b>0)，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，则O(a，a，0)，A1(2a，0，2b)，E(2a，2a，b)，B1(2a，2a，2b)，F(0，0，b)，＝(a，－a，2b)，＝(2a，2a，0)，＝(0，0，b)，对于A，显然与不共线，即A1O与EF不平行，A不正确；对于B，因为·＝a·2a＋(－a)·2a＋0·2b＝0，则⊥，即A1O⊥EF，B正确；对于C，设平面EFB1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝(1，－1，0)，·n＝2a>0，因此与n不垂直，即A1O与平面EFB1不平行，C不正确；对于D，由选项C知，与n不共线，即A1O与平面EFB1不垂直，D不正确．故选B． 4．(2024·北京丰台二模)如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是(　　) A． B．1 C． D． 答案：C 解析：建立坐标系，如图，令AF＝x，AD＝y(0<x<2，0<y<2)，则A(0，0，0)，F(x，0，0)，D(0，y，0)，G(1，0，2)，E(0，2，1)， ＝(－1，y，－2)，＝(x，－2，－1)，因为GD⊥EF，所以·＝0，即x＋2y＝2，|DF|2＝(－x)2＋y2＝x2＋y2＝(2－2y)2＋y2＝5y2－8y＋4，y＝时，|DF|2最小，为⇒＝.故选C． 5．[多选题](2024·福建宁德期末)已知a＝(1，0，1)，b＝(－1，2，－3)，c＝(2，－4，6)，则下列结论正确的是(　　) A．a⊥b B．b∥c C．〈a，c〉为钝角 D．c在a方向上的投影向量为(4，0，4) 答案：BD 解析：因为1× (－1)＋0×2＋1×(－3)＝－4≠0，所以a，b不垂直，故A错误；因为c＝－2b，所以b∥c，故B正确；因为a·c＝1×2＋0×(－4)＋1×6＝8，所以cos〈a，c〉>0，所以〈a，c〉不是钝角，故C错误；因为c在a方向上的投影向量为·cos〈a，c〉·＝a＝ (1，0，1)＝ (4，0，4)，故D正确．故选BD． 6．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ACD所成锐二面角的正切值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD下下下1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则D (0，0，0) D1 (0，0，2)，C1 (0，4，2)，A1 (4，0，2)，B (4，4，0)，可得＝(0，4，－2)，＝(－4，4，0)， 可知平面ABCD的法向量＝ (0，0，2)， 设平面A1BC1的法向量n＝(a，b，c)，则 令b＝1，则c＝2，a＝1，可得n＝(1，1，2)， 设平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角为θ∈， 则cos θ＝＝＝＝，可得sin θ＝＝，所以平面A1BC1与平面ACD所成锐二面角的正切值tan θ＝＝＝.故选A． 7．如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A和B，且AC和BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为______． 答案：2 解析：由向量的线性运算法则，可得＝＋＋，因为AB＝4，AC＝6，BD＝8，且二面角的平面角为60°，可得＝4，＝6，＝8，且〈，〉＝120°，又因为AC和BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，所以·＝·＝0，所以 ＝ ＝＝2. 8．在棱长为3的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E，F分别在棱AB，BC上，BE＝BF＝1，点G，H为棱DD1上的动点．若平面EFG∥平面ACH，＝λ，则λ＝________． 答案： 解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立坐标系，如图所示．则A (0，0，0)， E(2，0，0)，F (3，1，0)，C (3，3，0)，D (0，3，0)，设G(0，3，t)，由＝λ可得H (0，3，)，设平面ACH的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(3，3，0)，＝(0，3，)，则即 令y＝－1，则n＝；设平面EFG的一个法向量为m＝(a，b，c)，＝ (1，1，0)，＝(－2，3，t)，则即令b＝－1，则m＝(1，－1，)；因为平面EFG∥平面ACH，所以n∥m，所以＝，即5＝，解得λ＝. 9．(2024·天津南开区期中)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点．设D是线段B1C1上的(包括两个端点)动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为，则线段BD的长为________． 答案：2 解析：如图，以E为坐标原点建立空间直角坐标系， 则E (0，0，0)，F，B (0，－1，0)，设D(0，t，2)(－1≤t≤1)，则＝，＝(0，t＋1，2)，设直线BD与EF所成角为θ，所以cos θ＝ ＝＝，即23t2＋14t－37＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)，所以＝＝2. 10．(12分)已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)， 故|2a＋b|＝＝5. (2)令＝t(t∈R)， 所以＝＋＝＋t ＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2) ＝(－3＋t，－1－t，4－2t)， 若⊥b，则·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0， 解得t＝. 因此存在点E，使得⊥b， 此时E点的坐标为. 11．(15分)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1； (2)在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 解：(1)证明：因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以∠ACB＝90°， 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C1 (0，0，4)，B (0，4，0)，B1 (0，4，4)， 因为＝ (－3，0，0)，＝(0，－4，4)，所以·＝0，⊥，即AC⊥BC1. (2)若存在点D，使AC1∥平面CDB1，则＝λ＝(－3λ，4λ，0)，0≤λ≤1，D (3－3λ，4λ，0)，＝ (3－3λ，4λ－4，－4)，＝ (0，－4，－4)，＝ (－3，0，4)， 因为AC1∥平面CDB1，所以存在实数m，n，使＝m＋n成立， 则解得λ＝，故在AB上存在点D，使AC1∥平面CDB1，此时点D为AB的中点． (每小题6分，共12分) 12．(2024·湖南湘潭模拟)如图，已知正方体ABCD -A1B1C1D1 的棱长为2，M，N，G 分别是棱AA1，BC，A1D1 的中点，设Q 是该正方体表面上的一点，若＝x＋y (x，y∈R)，则点Q 的轨迹围成图形的面积为________． 答案：3 解析：因为＝x＋y (x，y∈R)，所以点Q在平面MGN 上，分别取AB，CC1，C1D1 的中点E，F，O，则点Q的轨迹是正六边形OFNEMG，因为正方体ABCD -A1B1C1D1 的棱长为2，所以正六边形OFNEMG 的边长为，所以点Q 的轨迹围成图形的面积为S＝6××××sin 60°＝3. 13．在正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且满足∠BMC＝，则＝________． 答案：1 解析：依题意建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设AB＝3，则A(0，0，0)，B(3，0，3)，C(3，3，0)，D(0，3，3)．因为AO⊥平面BCD，所以O是△BCD的重心，即O(2，2，2)，线段AO上的点M可设为M(t，t，t)(0≤t≤2)，所以＝(t－3，t，t－3)，＝(t－3，t－3，t)．由∠BMC＝，得·＝0，所以(t－3)2＋t(t－3)＋(t－3)t＝0，即3(t－3)(t－1)＝0，即t＝1或t＝3(舍去)，所以M(1，1，1)，故＝1. (每小题8分，共16分) 14．[多选题](2024·山东济南模拟)已知正方体ABCD -A1B1C1D1棱长为2，P为空间中一点．下列论述正确的是(　　) A．若＝，则异面直线BP与C1D所成角的余弦值为 B．若＝λ＋ (λ∈[0，1])，三棱锥P-A1BC的体积为定值 C．若＝λ＋ (λ∈[0，1])，有且仅有一个点P，使得A1C⊥平面AB1P D．若＝λ (λ∈[0，1])，则异面直线BP和C1D所成角的取值范围是[，] 答案：ABD 解析：对于选项A，由题知，如图①所示，P为AD1的中点，取B1D1的中点O，连接PO，BO，则PO∥C1D，所以∠BPO或其补角即为异面直线BP与C1D所成的角，易得BP＝＝＝，PO＝AB1＝×2＝，BO＝，所以cos ∠BPO＝＝＝＝＝，故A正确；对于选项B，由条件＝λ＋，可知P点的轨迹为线段B1C1，因为B1C1∥BC，故P到平面A1BC的距离为定值，且三角形A1BC的面积为定值，故三棱锥P-A1BC的体积为定值．故选项B正确；对于选项C，由＝λ＋(λ∈[0，1]))，可知点P在线段EF上，F分别为BB1，CC1的中点)，如图②所示，因为A1C⊥平面AB1D1，所以平面AB1P即为平面AB1D1，点P即为平面AB1D1与直线EF的交点，此交点在FE延长线上，故选项C错误； 对于选项D，由＝λ(λ∈[0，1])可知点P的轨迹为线段AD1.建系如图③所示，得＝(－2，0，2)，B(2，0，2)，设P(0，a，2－a)，a∈[0，2]，则＝ (－2，a，－a)，所以cos〈，〉＝＝，令2－a＝x∈[0，2]， 当a＝2，即x＝0时，cos〈，〉＝0，此时直线BP和C1D所成角是； 当a≠2，即x∈(0，2]时，则cos〈，〉＝， 令＝t∈， cos〈，〉＝，所以当＝t＝，即a＝0时，cos〈，〉取最大值为，直线BP和C1D所成角的最小值为，故选项D正确．故选ABD． 15．[多选题]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E，F 分别为线段PB，CD 的中点，G 为线段PC 上的动点(含端点)，则下列说法正确的是(　　) A．对任意点G，都有B，E，G，F 四点共面 B．存在点G，使得A，E，G，F 四点共面 C．对任意点G，都有AG⊥平面PBD D．存在点G，使得EG∥平面PAF 答案：BD 解析：因为PA⊥ 底面ABCD，四边形ABCD 为正方形，所以以点A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图． 设PA＝AB＝2，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C(2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (1，0，1)，F (1，2，0)，设＝λ＝(2λ，2λ，－2λ)，其中0≤λ≤1，则＝＋＝(2λ，2λ，2－2λ)，＝(1，0，1)，＝(1，2，0)，设＝m＋n＝(m＋n，2n，m)， 则 解得m＝n＝λ＝，故存在点G，使得A，E，G，F 四点共面，故B正确；＝ (－1，0，1)， ＝(－1，2，0)，＝ (－2，0，2)，＝＋＝ (2λ－2，2λ，2－2λ)，设＝a＋b＝(－a－b，2b，a)，所以 解得 故A错误；＝(2λ，2λ，2－2λ)，＝ (－2，0，2)，若AG⊥平面PBD，BP⊂平面PBD，则·＝－4λ＋4－4λ＝4－8λ＝0，解得λ＝，故C错误；设平面PAF的法向量为n＝ (x，y，z)，＝ (0，0，2)，＝ (1，2，0)，则 即 取x＝2，则n＝(2，－1，0)，＝＋＝(－1，0，1)＋(2λ，2λ，－2λ)＝(2λ－1，2λ，1－2λ)．若EG∥平面PAF，则·n＝4λ－2－2λ＝2λ－2＝0，解得λ＝1，故当点G与点C重合时，EG∥平面PAF，故D正确．故选BD． 学生用书↓第178页 学科网（北京）股份有限公司 $$