7.4 平行关系（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§7.4　平行关系 【课程标准】　1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳出有关平行的性质定理和判定定理并加以证明．　2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 1．直线与平面平行的性质定理和判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥a 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 微提醒　应用判定定理时，要注意“外”“内”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可． 2．平面与平面平行的性质定理和判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 微提醒　(1)平面与平面平行还有如下判定： ①如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． ②如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (2)平面与平面平行还有如下性质： ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． 【记牢常用结论】 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b. 4．若α∥β，a⊂α，则a∥β. 5．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 1．[多选题]下列命题中错误的是(　　) A．若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面 B．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α C．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β D．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行 答案：ABCD 学生用书↓第165页 2．(链接北师必修二P223T2(1))已知m，n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，“m∥n”是“n∥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：因为m，n是平面α外的两条直线，m∥α，所以α面内必存在一条直线与m平行，不妨设为l，则m∥l，所以当m∥n时，n∥l，又l⊂α，n⊄α，所以n∥α，即充分性成立；当n∥α时，m，n可能平行，也可能相交或异面，即必要性不成立；所以“m∥n”是“n∥α”的充分不必要条件．故选A． 3. (链接北师必修二P218例4)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________． 答案：平行 解析：连接BD，设AC∩BD＝O，连接OE(图略)，则OE∥BD1，又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 4. (用结论)如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________． 答案： 解析：由题意知＝，所以AB＝＝＝. 考点一　直线与平面平行的性质与判定多维练 角度1　直线与平面平行的性质 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝AD＝2，E为PB的中点，F是PC上的点． (1)若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点； (2)求点C到平面PBD的距离． 解：(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD． 因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM， 又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM， 因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC， 所以EF∥PM，从而得EF∥BC． 因为E为PB的中点，所以F为PC的中点． (2)因为PA⊥底面ABCD，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝AD＝2， 所以PB＝＝2， PD＝＝2，BD＝＝2， 所以S△DPB＝PB·＝6. 设点C到平面PBD的距离为d， 由V三棱锥C-PBD＝V三棱锥P-BCD得， S△DPB·d＝S△BCD·PA＝××BC×AB×PA，则6d＝×2×2×2，解得d＝. 角度2　直线与平面平行的判定 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，求证： (1)PB∥平面ACF； (2)EF∥平面PAB． 证明：(1)如图，连接BD交AC于O，连接OF， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点， 又因为F是PD的中点，所以OF∥PB，又因为OF⊂平面ACF，PB⊄平面ACF， 所以PB∥平面ACF. (2)取PA的中点G，连接GF，BG. 因为F是PD的中点， 所以GF是△PAD的中位线，所以GF綊AD， 因为底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点， 所以BE綊AD，所以GF綊BE， 所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG， 又因为EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB． 规律方法 1．应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 2．判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 学生用书↓第166页 对点练1. 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． 解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE. 因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形， 所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE. 又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. (2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE， 又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l， 所以l∥AM， 同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM， 平面ABM∩平面BDE＝m， 所以m∥AM，所以l∥m. 考点二　平面与平面平行的性质与判定综合练 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)． (1)求证：BC∥GH； (2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. 证明：(1)因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1， 又因为平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG， 所以由面面平行的性质定理得BC∥GH. (2)因为E，F分别为AB，AC的中点， 所以EF∥BC， 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， 所以EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB， 所以A1G綊EB， 所以四边形A1EBG是平行四边形， 所以A1E∥GB． 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 又因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， 所以平面EFA1∥平面BCHG. [变式探究] (变条件)在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值． 解：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1. 由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1， 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则＝＝1. 又由题得＝，所以＝1，即＝1. 规律方法 判定或证明面面平行的常用方法 1．面面平行的定义． 2．面面平行的判定定理． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． 5．利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化． 对点练2. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点． 证明：(1)因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点， 所以EF∥A1C1，因为A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，所以EF∥平面A1C1G， 又F，G分别为A1B1，AB的中点，所以A1F＝BG，又A1F∥BG， 所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G， 因为A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G， 所以BF∥平面A1C1G， 又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，所以平面A1C1G∥平面BEF. (2)因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，则A1C1∥GH，得GH∥AC， 因为G为AB的中点，所以H为BC的中点． 学生用书↓第167页 考点三　平行关系的综合应用综合练 已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立：①F是AB的中点；②E是PC的中点；③BE∥平面PFD． 证明：选①F是AB的中点，②E是PC的中点为已知条件，证明③BE∥平面PFD． 取PD的中点M，连接ME，FM(如图)， 所以ME∥CD，ME＝CD，又FB∥CD，FB＝CD， 所以ME∥FB，ME＝FB，所以四边形MEBF是平行四边形，BE∥MF， 因为BE⊄平面PFD，MF⊂平面PFD， 所以BE∥平面PFD． 选②E是PC的中点，③BE∥平面PFD为已知条件，证明①F是AB的中点． 取PD的中点M，连接ME，FM(图略)， 所以ME∥CD，ME＝CD，因为FB∥CD， 所以ME∥FB， 即平面MEBF∩平面PFD＝FM， 因为BE∥平面PFD，BE⊂平面MEBF， 所以BE∥MF， 所以四边形MEBF是平行四边形，BF＝ME， 因为ME＝CD＝AB，所以BF＝AB， 即F是AB的中点． 选①F是AB的中点，③BE∥平面PFD为已知条件，证明②E是PC的中点． 取CD的中点N，连接BN，EN(如图)， 所以DN∥FB，DN＝FB， 四边形BFDN是平行四边形，BN∥DF， 因为BN⊄平面PFD，DF⊂平面PFD， 所以BN∥平面PFD， 因为BE∥平面PFD，BN∩BE＝B， 所以平面PFD∥平面BEN， 因为EN⊂平面BEN，所以EN∥平面PFD，因为EN⊂平面PDC，平面PDC∩平面PFD＝PD， 所以EN∥PD， 因为N是CD的中点，所以E是PC的中点． 规律方法 三种平行关系的转化 对点练3. 如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝. (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． 解：(1)证明：连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1， 因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD， 故△PBC∽△PDM，所以＝＝，又因为＝＝， 所以＝＝，所以PQ∥MD1. 又MD1⊂平面A1D1DA， PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA． (2)当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA． 证明：如图，因为＝，即＝，故＝， 所以PR∥DA． 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA， 又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR， 所以平面PQR∥平面A1D1DA． 课时测评52　平行关系 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．(2024·辽宁锦州模拟)已知α，β是空间两个不同的平面，命题p：“α∥β”，命题q：“平面α内有无数条直线与β平行”，则p是q的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若α∥β，则平面α内的任意一条直线平行于另一个平面，故平面α内有无数条直线与β平行，所以p可以推出q；根据面面平行的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．若平面α内有无数条直线与β平行，则α与β可能相交，不一定平行，所以q不能推出p.故选A． 2．(2024·北京三模)已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(　　) A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n 答案：C 解析：对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图，α⊥γ，β⊥γ，而α，β相交，故A错误；对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图，满足m∥α，m∥β，但α，β相交，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，如图，满足m∥α，n∥α，但m，n相交，故D错误．故选C． 3. (2024·安徽黄山模拟)如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC，则平面NAC即为平面α，因为SB∥α，平面SMB∩α＝DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN，因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC＝∠BAC＝30°，MC＝BC＝AB，所以MC∥AB且MC＝AB，所以＝＝，又SB∥DN，所以＝＝，所以＝.故选B． 4. (2024·广东广州模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则下列结论正确的是(　　) A．MF∥EB B．A1B1∥NE C．四边形MNEF为平行四边形 D．四边形MNEF为梯形 答案：D 解析：由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；因为在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，所以AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，所以MN∥AB．又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC．又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，所以MN∥EF，所以EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，所以EF≠MN，所以四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．故选D． 5. [多选题]如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是(　　) A．OM∥PD B．OM∥平面PCD C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA 答案：ABC 解析：对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故A正确；对于B，由于OM∥PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，则OM∥平面PCD，故B正确；对于C，由于OM∥PD，OM⊄平面PDA，PD⊂平面PDA，则OM∥平面PDA，故C正确；对于D，由于M∈平面PAB，故D错误．故选ABC． 6. [多选题]在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，则下列结论正确的是(　　) A．平面PAD内任意一条直线都不与BC平行 B．平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行 C．平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行 D．平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行 答案：ABD 解析：若平面PAD内存在直线与BC平行，则BC∥平面PAD，由BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，可得BC∥AD，则四边形ABCD为平行四边形，与已知矛盾，故A正确；平面PAD和平面PBC的一个交点为P，故二者存在过点P的一条交线，在平面PBC内，与平面PAD和平面PBC的交线平行的所有直线均与平面PAD平行，故B正确；由AB∥CD得AB∥平面PCD，进而AB平行于平面PAB与平面PCD的交线，所以平面PAB与平面PCD的交线与底面ABCD平行，故C错误；若平面PAD与平面PBC的交线与底面ABCD平行，则平面PAD与平面PBC的交线与BC平行，与AD也平行，与已知底面ABCD为梯形矛盾，故D正确．故选ABD． 7. 有下列三个命题，在横线处都缺少同一个条件，补上这个条件使各命题构成真命题(其中l，m为不同的直线，α，β为不同的平面)，则此条件为__________． ①⇒l∥α；②⇒l∥α；③⇒l∥α. 答案：l⊄α 解析：①l⊄α，m⊂α，；②l⊄α，m∥α，；③l⊄α，l⊥β，. 8．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线EF∥平面ACD1的点F的个数是________． 答案：5 解析：分别取AB，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点M，N，I，H，G，连接ME，EN，NI，IH，HG，GM，BC1，所以EN∥BC1，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1∥BC1，所以EN∥AD1，又EN⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，所以EN∥平面ACD1，同理EM∥平面ACD1，又因为EM∩EN＝E，EM⊂平面ENIHGM，EN⊂平面ENIHGM，所以平面ACD1∥平面ENIHGM，所以平面ENIHGM内的任意一条直线都与平面ACD1平行，则满足条件直线EF∥平面ACD1的点F可以是M，N，I，H，G的任何一个，所以点F的个数是5个． 9. (2024·北京门头沟一模)在边长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM ∥平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是________． 答案：2 解析： 如图，边长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，动点M满足BM ∥平面AD1C，由面面平行的性质得：当BM始终在一个与平面AD1C平行的面内，即满足题意，连接A1B，BC1，A1C1，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，同理A1B∥D1C，又AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，所以AD1 ∥平面A1BC1，因为D1C⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，所以D1C ∥平面A1BC1，又因AD1∩D1C＝D1，AD1，D1C⊂平面AD1C，所以平面A1BC1∥平面AD1C，又B∈平面A1BC1，所以动点M的轨迹所形成区域为△A1BC1，A1B＝BC1＝A1C1＝2，S△A1BC1＝×2××2＝2，所以动点M的轨迹所形成区域的面积是2. 10．(10分) (2024·上海嘉定三模)在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点． (1)求三棱锥A-GEF的体积； (2)点P在矩形ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，求线段D1P长度的最小值． 解：(1)依题意有S△AEF＝AE·BF＝××＝， 所以三棱锥A-GEF的体积VA-GEF＝VG-AEF＝·S△AEF·DD1＝××1＝. (2)如图，连接D1A，AC，D1C， 因为E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点， 所以AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1， 所以EF∥平面ACD1， 因为EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1， 所以EG∥平面ACD1， 因为EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ACD1， 因为D1P∥平面EFG， 所以点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2， S△AD1C＝×× ＝， 所以当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为＝＝. 11．(14分)(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P-ABC的体积． 解：(1)证明：连接DE，OF，设AF＝tAC，则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋，又BF⊥AO，AB⊥BC，则·＝[(1－t)＋t]·(－＋)＝(t－1)2＋t2＝4(t－1)＋4t＝0，解得t＝，则F为AC的中点，由D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点，得DE∥AB，DE＝AB，OF∥AB，OF＝AB，即DE∥OF，DE＝OF， 则四边形ODEF为平行四边形， 故EF∥DO，又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO， 所以EF∥平面ADO. (2)过P作PM垂直FO的延长线交于点M， 因为PB＝PC，O是BC中点，所以PO⊥BC， 在Rt△PBO中，PB＝，BO＝BC＝， 所以PO＝＝＝2， 因为AB⊥BC，OF∥AB，所以OF⊥BC， 又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF， 所以BC⊥平面POF， 又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM， 又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC， 所以PM⊥平面ABC， 即三棱锥P-ABC的高为PM， 因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°， 所以PM＝POsin 60°＝2×＝， 又S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2， 所以VP-ABC＝S△ABC·PM＝×2×＝. 12．(15分) 如图，在四棱锥E-ABCD中，AB∥CD，CD＝4AB，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在EF上． (1)当P为EF的中点时，证明：PB∥平面ADE； (2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得l∥平面PBD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：如图，设点G为棱ED的中点，连接AG，PG，所以GP＝DF＝DC，GP∥DC，因为AB∥CD，CD＝4AB，所以GP＝AB，GP∥AB，所以四边形ABPG为平行四边形，所以AG∥PB，又PB⊄平面ADE，AG⊂平面ADE，所以PB∥平面ADE. (2)存在．理由如下：如图，延长DA，CB相交于点H，连接EH， 则直线EH为平面EAD与平面EBC的交线，连接HF，交BD于点I，若EH∥平面PBD，由线面平行的性质可知EH∥PI，设＝λ，因为点F为棱CD的中点，AB∥CD，CD＝4AB，所以＝λ＝＋＝＋2λ，因为D，I，B三点共线，所以＋2λ＝1，即λ＝， 所以当＝时，＝＝，所以EH∥PI，又EH⊄平面PBD，PI⊂平面PBD，所以EH∥平面PBD，所以存在满足条件的点P使得l∥平面PBD，此时＝. (每小题8分，共16分) 13．(2024·北京石景山一模)点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动．若PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF中点O，连接A1O，EM， 因为点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，所以AA1∥BB1，AA1＝BB1，BB1∥EM，BB1＝EM，所以AA1∥EM，AA1＝EM，所以四边形A1AME为平行四边形，所以A1E∥AM，而在平面B1BCC1中，易证MN∥EF，因为A1E⊄平面AMN，AM⊂平面AMN，所以A1E∥平面AMN，因为EF⊄平面AMN，MN⊂平面AMN，所以EF∥平面AMN， 又因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面A1EF，所以平面AMN∥平面A1EF，因为动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，所以点P的轨迹是线段EF， 因为A1E＝A1F＝＝，EF＝＝，所以A1O⊥EF，所以当P与O重合时，PA1的长度取最小值A1O＝＝，因为△A1EF为等腰三角形，所以P在点E或者点F处时，此时PA1最大，最大值为.即PA1的长度范围为.故选B． 14. [多选题]如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，BC⊥CD，AB∥CD，BC＝，AA1＝AB＝AD＝2，点P，Q，R分别在棱BB1，CC1，DD1上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论正确的是(　　) A．任意点P，都有AP∥QR B．存在点P，使得四边形APQR为平行四边形 C．存在点P，使得BC∥平面APQR D．存在点P，使得△APR为等腰直角三角形 答案：AC 解析：对于A，因为直四棱柱ABCD -A1B1C1D1，AB∥CD，所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1，又因为平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，平面APQR∩平面DCC1D1＝QR，所以AP∥QR，故A正确；对于B，若四边形APQR为平行四边形，则AR∥QP，而AD与BC不平行，即平面ADD1A1与平面BCC1B1不平行，所以平面APQR∩平面BCC1B1＝PQ，平面APQR∩平面ADD1A1＝AR，直线PQ与直线AR不平行，与AR∥QP矛盾，所以四边形APQR不可能是平行四边形，故B不正确；对于C，当BP＝CQ时，PQ∥BC，满足BC∥平面APQR，故C正确；对于D，假设存在点P，使得△APR为等腰直角三角形，令BP＝x，过点D作DE⊥AB交AB于点E，则DE＝BC＝，在线段DR上取一点M，使得DM＝BP＝x，连接BD，PM，则四边形BDMP为矩形，所以MP＝BD＝2，则PR＝＝，AP＝＝，AR＝＝，假设△APR为等腰直角三角形，显然AR≠PR，AP≠PR，若AP＝AR，得BP＝DR＝x且四边形BPRD为平行四边形，所以RP＝BD＝2＝AP＝＝，无解，故D错误．故选AC． 学生用书↓第168页 学科网（北京）股份有限公司 $$