4.9 解三角形及其应用举例（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§4.9　解三角形及其应用举例 【课程标准】　1.能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．　2.能利用余弦定理、正弦定理解决三角形中的最值和范围问题． 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 微提醒　注意区分方位角与方向角的概念． 1．[多选题]下列说法中正确的是(　　) A．东南方向与南偏东45°方向相同 B．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β C．俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为 D．方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系 答案：ABD 2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 答案：B 解析：由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置关系如图， 则灯塔A在灯塔B的北偏西10°.故选B． 3．(链接北师必修二P117T1)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km. 答案： 解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝ km. 4．(链接北师必修二P124T9)(2024·重庆模拟)如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高300 m的M处(即MD＝300 m)，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高BC＝________m. 答案：450 解析：依题意∠AMD＝45°，则MA＝MD＝300，∠CMA＝45°＋15°＝60°，∠CAB＝60°，故∠MAC＝180°－60°－45°＝75°，∠ACM＝180°－75°－60°＝45°，在△MAC中，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝300，则BC＝ACsin 60°＝450. 学生用书↓第107页 考点一　解三角形的应用举例多维练 角度1　测量距离问题 (1)(2024·江西南昌模拟)如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度MC＝100 m，NB＝50 m，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为60°，N点的仰角为30°，以及∠MAN＝45°，　则M，N间的距离为(　　) A．100 m B．120 m C．100 m D．200 m (2)(2023·山东青岛一模)湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园．已知∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，∠BAC＝30°，∠DBC＝60°，AB＝2千米，则CD＝________千米． 答案：(1)A　(2)2 解析：(1)由题意，可得∠MAC＝60°，∠NAB＝30°，MC＝100，NB＝50，∠MAN＝45°，且∠MCA＝∠NBA＝90°，在Rt△ACM中，可得AM＝＝200，在Rt△ABN中，可得AN＝＝100，在△AMN中，由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos∠MAN＝2002＋(100)2－2×200×100×cos 45°＝20 000，所以MN＝100 m．故选A． (2)在△ABC中，由正弦定理得＝，所以＝，即＝，所以4＝，所以AC＝＋，又∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，所以△ABD为等腰直角三角形，所以AD＝AB＝2，在△DAC中由余弦定理得CD＝ ＝＝2，所以CD＝2千米． 角度2　测量高度问题 (2024·陕西渭南模拟)宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位．如图，在宝塔山的山坡A处测得∠CAD＝15°，从A处沿山坡直线往上前进85 m到达B处，在山坡B处测得∠CBD＝30°，∠BCD＝45°，则宝塔CD的高约为_________m．(≈1.41，≈2.45，结果取整数) 答案：44 解析：因为∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，∠CBD＝∠CAD＋∠ACB，所以∠ACB＝15°，所以∠ACB＝∠CAD＝15°，所以AB＝BC＝85，因为∠BCD＝45°，所以∠BDC＝180°－∠CBD－∠BCD＝180°－30°－45°＝105°，sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝，在△BCD中，由正弦定理得＝，CD·sin∠BDC＝BC·sin∠CBD，所以CD·sin 105°＝85sin 30°，CD·＝85×，所以CD＝≈≈44 m. 角度3　测量角度问题 从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我国海军护航舰立即以10海里/小时的速度，以直线轨迹行驶前去营救，求护航舰的航向(方位角)和靠近货船所需的时间． 解：设所需时间为t小时，则AB＝10t，CB＝10t， 在△ABC中，∠ACB＝120°，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 120°， 可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)． 所以护航舰需要1小时靠近货船．此时AB＝10，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得＝，所以sin∠CAB＝＝， 所以∠CAB＝30°，45°＋30°＝75°， 所以护航舰航行的方位角为75°. 规律方法 解三角形的应用问题的要点 1．从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素． 2．利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解． 对点练1.(1)(2024·江西上饶一模)矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A， 学生用书↓第108页 B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为，，，且AB＝BC＝20 m，则四门通天的高度为(　　) A．15 m B．10 m C．6 m D．5 m (2)(2024·浙江宁波模拟)图①是南北方向水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)的示意图，其中表高为h，日影长为l.图②是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26′)，在某地利用一表高为2 dm的圭表按图①方式放置后，测得日影长为2.98 dm，则该地的纬度约为北纬(参考数据：tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.48)(　　) A．23°26′ B．32°34′ C．34° D．56° (3)(2024·安徽宿州模拟)萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村窑址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的揭露，将萧窑的历史提溯至隋代．为进一步摸清萧窑窑址的分布状况、时空框架以及文化内涵等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对萧县白土寨窑址进行主动性考古发掘．如图为该地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损．为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：AB＝34.64 cm，AD＝10 cm，BE＝14 cm，A＝B＝，则D，E两点间的距离为________ cm(参考数据：≈1.732)． 答案：(1)B　(2)B　(3)14 解析：(1)设P的投影为O，且PO＝x m，在Rt△POC中，∠PCO＝，所以CO＝，在Rt△POB中，∠PBO＝，所以BO＝x，在Rt△PAO中，∠PAO＝，所以AO＝x，在△BOC和△BOA中分别用余弦定理得cos∠OBC＋cos∠OBA＝＋＝0，解得x＝10或x＝－10(舍去)，即四门通天的高度为10 m．故选B． (2)如图所示，由图③可得tan α＝≈0.67，又tan 34°≈0.67，所以α≈34°，所以由图④知∠MAN≈90°－34°＝56°， 所以β≈56°－23°26′＝32°34′，该地的纬度约为北纬32°34′.故选B． (3)如图，延长AD，BE交于点C，因为A＝B＝，所以C＝，故＝＝，所以AC＝BC＝＝≈＝20，由题意得CD＝20－10＝10，CE＝20－14＝6，C＝，DE＝，故DE＝＝＝14，故D，E两点间的距离为14 cm. 考点二　解三角形中的最值和范围问题 综合练 (2024·河南驻马店模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2，c2＋a2＝b2＋ac，b＝2. (1)求A； (2)若M，N在线段BC上且和B，C都不重合，∠MAN＝，求△AMN面积的取值范围． 解：(1)由c＝2得2acos C＝c＋2b， 由正弦定理得2sin Acos C＝sin C＋2sin B＝sin C＋2sin＝sin C＋2sin Acos C＋2cos Asin C， 所以2cos Asin C＋sin C＝0， 又因为C∈，所以sin C≠0， 所以cos A＝－，又A∈，所以A＝. (2)由c2＋a2＝b2＋ac，得c2＋a2－b2＝ac， 由余弦定理知cos B＝＝， 又因为B∈，所以B＝， 所以C＝π－A－B＝，所以b＝c＝2，如图，设∠BAM＝α， 则∠CAN＝－(＋α)＝－α，∠BMA＝π－(＋α)＝－α，∠CNA＝π－(＋－α)＝＋α， 在△ABM中，由正弦定理可知AM＝＝＝， 在△ANC中，由正弦定理可知AN＝＝＝， 故S△AMN＝AM·AN·sin∠MAN＝···sin＝ ＝＝＝＝， 因为α∈，所以<2α＋<， 所以<sin≤1， 所以2<2sin＋1≤3， 所以≤<， 即S△AMN∈. 规律方法 解三角形中最值(范围)问题的解题策略 利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)． 对点练2.(2024·广西北海模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csin B＝a－bcos C． (1)求角B的大小； (2)若b＝2，求△ABC周长的最大值． 解：(1)由csin B＝a－bcos C及正弦定理得sin Csin B＝sin A－sin Bcos C， 因为sin A＝sin＝sin＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 所以sin Csin B＝cos Bsin C， 因为C∈，所以sin C≠0， 所以sin B＝cos B，tan B＝， 又0<B<π，解得B＝. (2)因为b＝2，cos B＝＝， 即(a＋c)2－12＝3ac， 所以(a＋c)2－12＝3ac≤(a＋c)2，当且仅当a＝c时等号成立， 所以a＋c≤4，当且仅当a＝c＝2时等号成立． 所以△ABC周长的最大值为6. 课时测评34　解三角形及其应用举例 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 答案：A 解析：依题意，如图，在△ABC中，∠BAC＝50°－20°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，AB＝40×＝20，由正弦定理得＝，即＝，因此BC＝＝10(海里)，所以B，C两点间的距离是10海里．故选A． 2．(2024·江西南昌模拟)岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度CD约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)(　　) A．18米 B．19米 C．20米 D．21米 答案：B 解析：Rt△ADC中，∠DAC＝30°，则AC＝CD，Rt△BDC中，∠DBC＝45°，则BC＝CD，由AC－BC＝AB，得CD－CD＝14⇒CD＝＝7(＋1)≈19.124，故CD约为19米．故选B． 3．(2024·广西北海模拟)《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝99.9 cm，BC＝100.2 cm，AB＝180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(　　) A．0.62 B．0.56 C．－0.56 D．－0.62 答案：A 解析：由题意，∠OAC＝∠OBC＝90°，所以∠AOB＋∠ACB＝180°，切线AC＝99.9 cm，BC＝100.2 cm，由切线长定理，不妨取AC＝BC＝100 cm，又AB＝180 cm，由余弦定理，有cos∠ACB＝＝＝－0.62, cos∠AOB＝cos＝－cos∠ACB＝0.62.故选A． 4．(2023·安徽阜阳质检)北京大兴国际机场(如图①所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，如图②，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46 km处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场之间的距离约为(参数数据：sin 16.28°≈0.28，sin 47.43°≈0.74，sin 31.15°≈0.52)(　　) A．65.46 km B．74.35 km C．85.09 km D．121.12 km 答案：A 解析：如图所示，由题意可得AC＝46，∠ACB＝16.28°，∠BAC＝180°－47.43°＝132.57°，∠ABC＝47.43°－16.28°＝31.15°. 由正弦定理可得＝，即＝，则BC＝sin 132.57°≈×0.74≈65.46.故选A． 5．[多选题]如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是(　　) A．a，b，γ B．α，β，γ C．a，β，γ D．α，β，b 答案：ACD 解析：对于A项，由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos γ，可求得c，故A正确；对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；对于C项，由正弦定理可知＝⇒c＝，故C正确；对于D项，同上由正弦定理得c＝，故D正确．故选ACD． 6．[多选题]一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向，距离12 海里，灯塔C在A的北偏西30°方向，距离为12 海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，下面结论正确的有(　　) A．AD＝24 B．CD＝12 C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120° D．∠CDA＝60° 答案：ABD 解析：如图，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得＝，则AD＝＝24，故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos 30°＝(12)2＋242－2×12×24×＝144，所以CD＝12，故B正确；由正弦定理得＝，所以sin∠CDA＝，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因为AD>AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，故C不正确，D正确．故选ABD． 7．(2023·山东济南三模)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图①)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图②，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________米． 答案：100 解析：由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BD＝CD＝300，BC＝CD＝300，又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，＝，所以AC＝×＝200，在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(200)2＋(300)2－2×200×300×＝150 000，所以AB＝100. 8．(2024·安徽蚌埠期末)五一期间，我市的地标建筑——中国南北分界线雕塑成为了网红打卡地，某校数学课外兴趣小组，拟借助所学知识测量该建筑的高度．记该雕塑的最高点为点A，其在地面的投影点为点H，在点H南偏西60°方向的点B处测得点A的仰角为60°，在点H正东方向的点C处测得点A的仰角为45°，点B，C相距米，则该雕塑的高度为__________米． 答案：40 解析：由题意可得∠BHC＝60°＋90°＝150°，∠ABH＝60°，∠ACH＝45°，BC＝米，设AH＝x，则HC＝x，在△ABH中，由于tan∠ABH＝，可得tan 60°＝，所以BH＝，在△BHC中，由余弦定理BC2＝BH2＋CH2－2BH·CH·cos∠BHC，可得()2＝()2＋x2－2××x×cos 150°，解得x＝40，即该雕塑的高度AH的值为40米． 9．(2023·江西南昌一模)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，B＝60°，则b的取值范围为______________． 答案： 解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，所以＝，即b＝，因为锐角△ABC，所以0°<A<90°，0°<C<90°，即0°<A<90°，0°<120°－A<90°，解得30°<A<90°，所以<sin A<1，所以1<<2，故<<，即b∈. 10．(12分)(2024·陕西渭南模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋(2c－a)sin C＝2bsin B． (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求△ABC周长的取值范围． 解：(1)因为sin A＋(2c－a)sin C＝2bsin B， 由正弦定理可得a＋(2c－a)c＝2b2，整理得a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理可得cos B＝＝＝， 且B∈，故B＝. (2)由正弦定理可得＝＝＝＝， 可得a＝sin A，c＝sin C， 则a＋b＋c＝sin A＋1＋sin C＝sin A＋sin＋1＝sin A＋sin A＋cos A＋1＝sin A＋cos A＋1＝2sin＋1， 因为B＝，则C＝－A， 且△ABC为锐角三角形，则 解得<A<， 可得<A＋<，则<sin≤1， 所以a＋b＋c＝2sin＋1∈， 故△ABC周长的取值范围为. 11．(15分)(2024·安徽马鞍山模拟)如图，马鞍山长江公铁大桥是巢马城际铁路控制性工程，总长3 248米，为世界上首座双主跨超千米的三塔斜拉桥，同时也是世界上最长联钢桁梁斜拉桥．为了解桥的一些结构情况，某学校道路桥梁工程设计学习小组将大桥的结构进行了简化，取其部分抽象成图中所示的模型，其中AB，CD为其中两座桥塔的高，通过测量得知AB＝308米，AC＝384米，点P在线段AC上，且在点P处测得AB的顶端B的仰角为α，在点P处测得CD的顶端D的仰角为β.当sin α＝时，sin β＝. (1)求主塔的高CD的长度； (2)是否存在点P，使得∠BPD＝？如果存在，求出点P的位置；如果不存在，请说明理由． 解：(1)由题意，∠BPA＝α，∠DPC＝β，且sin α＝，sin β＝， tan α＝＝＝2，tan β＝＝＝， 所以AP＝＝＝154米，PC＝AC－AP＝230米，CD＝PC·tan β＝345米， 所以主塔的高CD的长度为345米． (2)不存在．理由如下： 设AP＝x，则tan α＝，tan β＝， 所以tan∠BPD＝－tan(α＋β) ＝－＝，x∈， 若∠BPD＝，则＝1，得x2－421x－12 012＝0， 设f(x)＝x2－421x－12 012，x∈，则f(0)<0，f(384)<0，f()<0， 所以f(x)在内无零点，即方程x2－421x－12 012＝0在内无实根， 所以不存在点P，使得∠BPD＝. (每小题6分，共12分) 12．[多选题](2024·江西抚州期末)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin C＝，则下列选项正确的是(　　) A．cos Acos C的取值范围是 B．若D是AC边上的一点，且＝2，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为 C．若三角形是锐角三角形，则的取值范围是 D．若三角形是锐角三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为3 答案：AC 解析：对于A选项，因为sin C＝(bsin B－asin A)，所以c＝(b2－a2)，所以c2－2acsin B＝，即＝sin B，由余弦定理得cos B＝sin B，即tan B＝，又B∈(0，π)，所以B＝，cos Acos C＝－cos Acos＝sin Acos A－cos2A＝sin 2A－＝sin(2A－)－，因为A∈(0，)，所以2A－∈，所以sin∈，所以cos Acos C∈，故A正确；对于B选项，因为＝2，所以＝＋，所以2＝2＝2＋·＋2，又BD＝2，所以4＝c2＋a2＋ac≥2＋ac＝ac，即ac≤6，当且仅当c2＝a2，即a＝2c时，等号成立，所以S△ABC＝ac×sin＝ac≤，即△ABC的面积的最大值为，故B错误；对于C选项，＝＝＝＋，因为所以<A<，所以tan A>tan＝，所以0<<，所以＝＋∈，故C正确；对于D选项，由题意得：S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分线以及面积公式得acsin＝asin＋csin，化简得ac＝a＋c，所以＋＝，所以4a＋c＝(4a＋c)×(＋)＝(4＋＋＋1)≥(5＋2)＝3，当且仅当即时取等号，此时b＝＝＝，而c2＝a2＋b2，所以C＝，与三角形是锐角三角形矛盾，所以等号不成立，故D错误．故选AC． 13．(2024·河南南阳模拟)微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段．如图所示，有一架无人机在空中P处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在A，B处观察该无人机(两人的身高忽略不计)，C为无人机在水平地面上的正投影．已知甲乙两人相距100 m，甲观察无人机的仰角为45°，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度PC，则这两个角可以是________________． (写出所有符合要求的编号) ①∠BAC和∠ABC；②∠BAC和∠PAB； ③∠PAB和∠PBA；④∠PAB和∠ABC． 答案：①③④ 解析：对于①，当已知∠BAC和∠ABC时，在△ABC中利用内角和定理和正弦定理可得AC，然后在Rt△PAC中，由三角函数定义可得PC，故①正确；对于②，当已知∠BAC和∠PAB时，在△ABC中已知一角一边，在△PAB中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；对于③，当已知∠PAB和∠PBA时，在△PAB中已知两角一边，可解出PA，然后在Rt△PAC中，由三角函数定义可得PC，故③正确；对于④，当已知∠PAB和∠ABC时，可先由最小角定理求得∠BAC，然后解△ABC可得AC，最后在Rt△PAC中，由三角函数定义可得PC，故④正确．故答案为：①③④. 14．(16分)(2024·陕西渭南二模)随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A-B-C-A为某区的一条健康步道，AB，AC为线段，是以BC为直径的半圆，AB＝2 km，AC＝4 km，∠BAC＝. (1)求的长度； (2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A-D-C(B，D在AC两侧)，其中AD，CD为线段．若∠ADC＝，求新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少长度？ 解：(1)连接BC，在△ABC中，由余弦定理可得， BC＝＝＝2， 所以＝×2×π×1＝π，即的长度为π. (2)记AD＝a，CD＝b，则在△ACD中，由余弦定理可得，a2＋b2－2abcos＝16，即a2＋b2－ab＝16， 从而2＝16＋3ab≤16＋32， 所以2≤16，则a＋b≤8，当且仅当a＝b＝4时，等号成立； 新建健康步道A-D-C的最长路程为8， 故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加8－π－2. 学生用书↓第109页 学科网（北京）股份有限公司 $$