4.7 三角函数中有关ω的范围问题(培优课4)（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§4.7　三角函数中有关ω的范围问题(培优课4) 在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点． 题型一　三角函数的单调性与ω的关系 (1)(2023·山东青岛三模)将函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)图象向左平移后，得到g(x)的图象，若函数g(x)在上单调递减，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． (2)(2024·湖南常德模拟)将函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)f(x)＝sin(ω>0)向左平移，得g(x)＝sin＝sin，x∈时，ωx＋∈，g(x)在上单调递减，即＋≤⇒ω≤，故ω∈.故选C． (2)由题意得g(x)＝2sin＝2sin，又函数y＝g(x)的一个极值点是，即x＝是函数g(x)图象的一条对称轴，所以＋＋＝＋kπ，则ω＝＋2k(k∈Z)，函数 g(x)在上单调递增，则函数g(x)的周期T＝≥2，解得0<ω≤2，则k＝0，ω＝.故选A． 规律方法 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围． 对点练1.(2024·福建福州质检)函数f(x)＝2sin(ω∈R)恒有f(x)≤f，且f(x)在上单调递增，则ω的值为(　　) A．－ B． C． D．或 答案：B 解析：易知ω≠0，因为恒有f(x)≤f，所以当x＝2π时，f(x)取得最大值，所以2πω＋＝＋2kπ，k∈Z，得ω＝＋k，k∈Z.因为f(x)在上单调递增，所以－≤，即≥π，得0<|ω|≤2.当0<ω≤2时，因为x∈，所以ωx＋∈.因为f(x)在上单调递增，所以k∈Z，得k∈Z.所以4－12k>0，且1＋6k>0，k∈Z，解得－<k<，k∈Z，故k＝0，ω＝.当ω＝－时，f(x)＝2sin＝－2sin，因为x∈，所以x－∈，故f(x)在上单调递减，不满足题意．故选B． 题型二　三角函数的对称性与ω的关系 (1)(2024·山西大同模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)且满足f＝f(x－)，则ω的最小值为(　　) A． B． C．1 D．2 (2)[多选题](2024·陕西西安模拟)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，则ω可取的值为(　　) A． B． C．1 D．4 答案：(1)A　(2)CD 解析：(1)由已知可得f＝f(x＋－)，即f＝f，所以f(x)关于x＝对称，故ω·＋＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝4k＋，又ω>0，所以k＝0时，ω取最小值为.故选A． (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin(ωx＋－)＝cos，又因为F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，所以F(x)＝sin(ωx＋)cos＝sin的图象关于点对称，则2ω·＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝，k∈Z，又因为ω>0，故ω可取的值为1，4.故选CD． 规律方法 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围． 对点练2.(2024·广东佛山模拟)设函数f(x)＝sin，x∈(0，5π)，方程[f(x)]2＝1恰有5个实数解，则正实数ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：当0<x<5π时，<ωx＋<5ωπ＋，因为函数f(x)＝sin在区间(0，5π)上恰好有5个f(x)，使得f(x)＝±1，故f(x)在(0，5π)上恰有5条对称轴．令ωx＋＝t(<t<5ωπ＋)，则y＝sin t在(，5ωπ＋)上恰有5条对称轴，如图： 所以<5ωπ＋≤，解得ω∈.故选B． 题型三　三角函数的最值与ω的关系 (2024·山东济南一模)已知函数f(x)＝sin(ωx－)(ω>0)在上的值域为，则ω的取值范围为 __________． 答案： 解析：函数f(x)＝sin(ωx－)(ω>0)在上的值域为，ωx－∈，所以≤－≤，解得≤ω≤. 学生用书↓第101页 规律方法 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围． 对点练3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间(－，)上有最小值无最大值，则ω的最大值是(　　) A．11 B．13 C．15 D．17 答案：C 解析：由题意，直线x＝是f(x)的一条对称轴，所以f ＝±1，即ω＋φ＝k1π＋，k1∈Z①，又f ＝0，所以－ω＋φ＝k2π，k2∈Z②，由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，又f(x)在区间上有最小值无最大值，所以T≥－＝，即≥，解得ω≤16.综上，先检验ω＝15，当ω＝15时，由①得×15＋φ＝k1π＋，k1∈Z，即φ＝k1π－，k1∈Z，又|φ|≤，所以φ＝－，此时f(x)＝sin，当x∈时，15x－∈，当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．故ω的最大值为15.故选C． 题型四　三角函数的零点与ω的关系 (1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 答案：(1)C　(2)[2，3) 解析：(1)由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈.根据函数f(x)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，知<πω＋≤3π，得<ω≤，即ω的取值范围为.故选C． (2)因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cos t的图象(如图)可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 规律方法 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围． 对点练4.(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________． 答案：3 解析：因为f(x)＝cos(ω>0，0<φ<π)，所以最小正周期T＝，因为f＝cos(ω·＋φ)＝cos＝cos φ＝，又0<φ<π，所以φ＝，即f(x)＝cos，又x＝为f(x)的零点，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝3＋9k，k∈Z，因为ω>0，所以当k＝0时，ωmin＝3. 课时测评32　三角函数中有关ω的范围问题(培优课4) (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－10，每小题8分，11，12每小题10分，共100分) 1．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　) A．最小值2 B．最大值2 C．最小值1 D．最大值1 答案：A 解析：因为函数的对称中心到对称轴的最短距离是，所以对称中心点到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又因为T＝，所以≤，所以ω≥2，所以ω有最小值2.故选A． 2．(2024·河北秦皇岛模拟)已知ω>0，函数f(x)＝3sin－2在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z，即函数的单调递减区间为，k∈Z，又π－≤，所以T≥π，令k＝0，则函数f(x)的其中一个单调递减区间为，函数f(x)在区间上单调递减，则满足得所以ω的取值范围是.故选D． 3．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f()＝3，f(π)＝0，f(x)在(，)上单调递减，那么ω的取值共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：D 解析：因为f()＝3，f(π)＝0，所以π－＝·T(n∈N*)，所以T＝，因为f(x)在(，)上单调递减，所以≥－＝，所以T≥，即≥，所以2n－1≤10，即n≤(n∈N*)，所以n＝1，2，3，4，5，即周期T有5个不同的取值，所以ω的取值共有5个．故选D． 4．(2024·北京期末)设函数f(x)＝2sin(ω>0)，将函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若对于任意的实数x，g(x)≤g恒成立，则ω的最小值等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：将函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，则可得g(x)＝2sin(2ωx＋)，且对于任意的实数x，g(x)≤g恒成立，则g＝2sin＝2，即ωπ＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝＋3k，k∈Z，且ω>0，所以当k＝0时，ωmin＝.故选C． 5．(2024·安徽芜湖模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(0，2π)) 的一条对称轴为直线x＝－，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　) A． B．3 C． D． 答案：D 解析：函数y＝sin(ωx＋φ)的对称轴可表示为x＝－(k∈Z)，由f(x)在上单调，可得∃k0∈Z，使得解得k0≤ω≤(k0＋1)，又因为ω>0，所以k0＝0，1，2，3，所以当k0＝3时，ω可取最大值为.故选D． 6．(2023·山东菏泽二模)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)在区间上单调递增，且在区间[0，π]上只取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：依题意，函数f(x)＝2sin(ωx－)，ω>0，因为f(x)在区间上单调递增，由x∈，则ωx－∈，于是－ω－≥－且ω－≤，解得ω≤且ω≤，即0<ω≤，当x∈[0，π]时，ωx－∈，因为f(x)在区间[0，π]上只取得一次最大值，因此≤ωπ－<π，解得≤ω<，所以ω的取值范围是.故选B． 7．[多选题](2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，则(　　) A．若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2 B．若ω＝1，则f(x)在上的最小值为－1 C．若f(x)在上单调递增，则0<ω≤ D．若f(x)在上恰有2个零点，则1≤ω<3 答案：AC 解析：对于A，若f(x)的最小正周期为π，则＝π，解得ω＝2，故A正确；对于B，若ω＝1，则f(x)＝sin(x＋)，x∈时，x＋∈，所以f(x)＝sin∈，故f(x)在上的最小值为－，故B错误；对于C，x∈时，ωx＋∈，因为f(x)在上单调递增，则<＋≤，解得0<ω≤，故C正确；对于D，x∈时，ωx＋∈，若f(x)在上恰有2个零点，则2π≤2πω＋<3π，解得≤ω<，故D错误．故选AC． 8．[多选题](2024·河南郑州模拟)已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)．则下列判断正确的是(　　) A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|min＝π，则ω＝2 B．存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C．若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为 D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为 答案：CD 解析：因为f(x)＝1－2cos2＝－cos(2ωx＋)＝－cos＝sin，所以周期T＝＝.对于A，由条件知，周期为2π，所以ω＝，故A错误；对于B，函数图象向右平移个单位长度后得到的函数为y＝sin(2ωx－＋)，其图象关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，故对任意整数k，ω∉(0，2)，所以B错误；对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋<8π，解得≤ω<，故C正确；对于D，由条件得解得ω≤，又ω>0，所以0<ω≤，故D正确．故选CD． 9．(2024·四川成都期末)已知函数f(x)＝sin(ω∈N)在[0，π)上有且仅有一个零点，则ω的值为___________． 答案：1 解析：令ωx＋＝kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，因为函数f(x)＝sin在上有且仅有一个零点，所以<π，且≥π得<ω≤，又ω∈N，所以ω＝1. 10．函数y＝sin(ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是________． 答案： 解析：令ωx－＝kπ，k∈Z，则函数的零点为x＝，k∈Z，所以函数在y轴右侧的四个零点分别是，，，，函数y＝sin(ωx－)(ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点，所以≤π，且>π，解得ω∈. 11．(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx在上存在最值，且在上单调，则ω的取值范围是__________． 答案： 解析：因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin(ωx－)，当0<x<时，因为ω>0，则－<ωx－<－，因为函数f(x)在上存在最值，则－>，解得ω>，当<x<π时，－<ωx－<πω－，因为函数f(x)在上单调，则⊆(kπ－，kπ＋)，所以－≥kπ－，且πω－≤kπ＋，其中k∈Z，解得k－≤ω≤k＋，所以k－≤k＋，解得k≤，又因为ω>0，则k∈.当k＝0时，0<ω≤；当k＝1时，≤ω≤；当k＝2时，≤ω≤.又因为ω>，所以实数ω的取值范围是. 12．(2024·湖北黄冈模拟)已知函数y＝f(x)的图象是由函数y＝cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得，若函数y＝f(x)在区间(π，2π)上单调，则ω的取值范围是________________． 答案：∪ 解析：y＝f(x)的图象是由y＝cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得，故f(x)＝cos(ωx＋)，因为当x∈(π，2π)，即ωx＋∈(ωπ＋，2ωπ＋)时，函数y＝f(x)单调，所以kπ≤ωπ＋<2ωπ＋≤kπ＋π，k∈Z， 所以 所以由＋>k－，得k<，又k∈Z，得k＝0或k＝1，所以0<ω≤或≤ω≤.综上，ω的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$