4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象及三角函数的简单应用（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象及三角函数的简单应用 【课程标准】　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．　2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2．用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 微提醒　两种变换的区别：(1)先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；(2)先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度． 4．探究函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)性质的一般步骤 第1步，确定周期T＝； 第2步，在y＝sin x五个关键点(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)的基础上确定该函数的五个关键点； 第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象； 第4步，借助图象讨论性质． 【记牢常用结论】 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标． 1．[多选题]下列说法中正确的是(　　) A．由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的 B．利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致 学生用书↓第97页 C．函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 D．将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin 答案：AC 2．(链接北师必修二P50B组T1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则该函数的解析式为(　　) A．y＝4sin B．y＝4sin C．y＝4sin D．y＝4sin 答案：A 解析：显然A＝4，因为＝＋＝，所以T＝π，所以ω＝＝＝2，由f＝4，得4sin＝4，所以－＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z.因为|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)＝4sin.故选A． 3．(用结论)(链接人A必修一P241T5)将函数f(x)＝3sin的图象向左平移后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________． 答案：3sin 解析：g(x)＝f＝3sin＝3sin. 4．(链接北师必修二P72C组T2)某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m. 答案：1 解析：当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin(π－)＝1，即12点时潮水的高度是1 m. 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 基础练 (1)(2024·安徽合肥模拟)已知曲线C1：y＝sin，C2：y＝－cos，则下面结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 (2)(2024·湖南岳阳一模)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数y＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后所得图象的表达式为(　　) A．y＝2sin(2x－) B．y＝2sin(2x＋) C．y＝－2cos 2x D．y＝2cos 2x 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)曲线C1：y＝sin＝cos 2x，把C1：y＝cos 2x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得y＝cos(2×)x＝cos 3x的图象；再把得到的曲线向左平移个单位长度，可以得到曲线C2：y＝cos＝cos＝－cos[π－(＋3x)]＝－cos的图象．故选C． (2)依题意，得f()＝sin＋acos＝＋a＝0，a＝－，所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin(x－)．f(2x)＝2sin(2x－)，将其图象向左平移个单位长度得到y＝2sin＝2sin(2x＋)＝2cos 2x的图象．故选D． 规律方法 1．由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度． 2．如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值． 学生用书↓第98页 对点练1.(2024·福建宁德模拟)已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋图象的相邻的对称轴之间的距离为2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin C．g(x)＝sin D．g(x)＝sin 答案：D 解析：f(x)＝sin ωxcos ωx＋＝sin 2ωx＋＝sin，由题意知，最小正周期T＝2×2＝4，又T＝＝＝4，所以ω＝，所以f(x)＝sin；将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝sin＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，所以g(x)＝sin.故选D． 考点二　由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式综合练 (1)(2024·河南郑州模拟)已知函数f(x)＝2sin(其中ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，且满足f(0)＝f＝－f＝1，则f(x)＝(　　) A．2sin B．2sin C．2sin D．2sin (2)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________． 答案：(1)C　(2)－ 解析：(1)设f(x)的最小正周期为T，根据f＝－f及函数图象的对称性知，＝－x0，所以T＝＝，得ω＝3.由f(0)＝1，得sin＝，因为0<φ<π，由图知φ＝，故f(x)＝2sin.故选C． (2)由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－.故f(x)＝2cos，所以f＝2cos＝－2cos＝－. 规律方法 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 1．求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. 2．求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. 3．求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 对点练2.(2024·辽宁鞍山模拟)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g＝(　　) A． B． C． D．1 答案：D 解析：由图象可知，＝1－＝2，得T＝8＝，所以ω＝，所以f(x)＝Acos，又因为在函数f(x)的图象上，所以Acos(－＋φ)＝0，所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝Acos.又在函数f(x)的图象上，所以Acos＝，即A＝2，即f(x)＝2cos(x－)所以g(x)＝f＝2cos[(x＋1)－]＝2cosx，所以g＝2cos(×)＝2cos＝1.故选D． 考点三　三角函数图象、性质的综合应用多维练 角度1　图象与性质的综合应用 [多选题](2024·安徽淮北模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．φ＝ C．f(x)在上单调递增 D．将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)＝cos 2x的图象 答案：AD 解析：对于A项，由图象可得，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，故A项正确；对于B项，由图象可得，A＝，所以f(x)＝sin.又图象过点，根据“五点法”可得2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z.又－<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin，故B项错误；对于C项，因为－1≤x≤，所以－2＋≤2x＋≤＋.因为π<2，所以－＝>0，所以>，所以＋>＋＝.因为y＝sin x在上单调递增，在上单调递减，故C项错误；对于D项，因为f(x)＝sin，将函数f(x)的图象向左平移个单位，可得y＝sin＝sin＝cos 2x的图象，故D项正确．故选AD． 学生用书↓第99页 角度2　三角函数的零点(方程的根)的问题 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________． (2)(2024·广东广州模拟)若关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是__________． 答案：(1)－　(2) 解析：(1)设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.因为f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z.所以f(x)＝sin＝sin，所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin，又因为f(0)<0，所以f(x)＝sin，所以f(π)＝sin＝－. (2)方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，所以题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根，即直线y＝和函数y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，作出y＝，y＝sin t的图象，如图中实线部分所示． 由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是. 角度3　三角函数模型 (数学建模)[多选题](2024·江苏南通模拟)明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2 m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下记d为负数)，若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则下列结论正确的是(　　) A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4 m B．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点 C．盛水桶第二次距离水面4 m时用时15秒 D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面 答案：ABC 解析：以O为坐标原点，平行于水面为x轴，垂直于水面为y轴建立平面直角坐标系，如图， 则OC＝2 m，则sin∠AOx＝sin∠OAC＝＝，故∠AOx＝∠OAC＝，筒车按逆时针方向每分钟转2圈，故筒车转1圈的时间为30秒，即＝30，解得ω＝rad/s，因为＝10，故当t＝10秒时，筒车第一次到达最高点，此时d＝2＋4＝6，故B正确； 同理可得，当t＝25秒时，筒车第一次到达最低点，此时d＝－2，设d＝Asin＋B，则解得故d＝4sin＋2，又当t＝0时，d＝0，故4sin φ＋2＝0，解得sin φ＝－，取φ＝－，故d＝4sin＋2，A选项，当t＝5时，d＝4sin＋2＝4，即当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4 m，故A正确；C选项，令4sin＋2＝4，当t－＝时，盛水桶第二次距离水面4 m，解得t＝15，故盛水桶第二次距离水面4 m时用时15秒，故C正确；D选项，令4sin＋2≤0，解得≤t－≤，20≤t≤30，故盛水桶入水后至少需要10秒才可浮出水面，故D错误．故选ABC． 规律方法 1．研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 2．方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． 3．三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 对点练3.[多选题](2024·广东中山模拟)如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动(忽略小球的大小)，它在t时刻相对于平衡位置的高度h可以由h＝2sin确定，则下列说法正确的是(　　) A．小球运动的最高点与最低点的距离为2 cm B．小球经过4 s往复运动一次 C．t∈时小球是自下往上运动 D．当t＝6.5时，小球到达最低点 答案：BD 解析：小球运动的最高点与最低点的距离为2－＝4 cm，所以选项A错误；因为＝4，所以小球经过4 s往复运动一次，因此选项B正确；当t∈时，t＋∈，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误；当t＝6.5时，h＝2sin＝－2，小球到达最低点，所以选项D正确．故选BD． 课时测评31　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象及三角函数的简单应用 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：D 解析：因为y＝2sin 3x＝2sin，所以把函数y＝2sin图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin 3x的图象．故选D． 2．(2024·江西南昌模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)部分图象(如图)，将f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)图象，则下列关于g(x)的说法成立的是(　　) A．图象关于y轴对称 B．图象关于中心对称 C．在上单调递增 D．在上最小值为－ 答案：D 解析：依题意，由图可知＝－＝，则T＝π，所以＝π，又ω>0，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，又f＝0，则sin＝0，结合f(x)的图象可知，点在下降区间上，可得＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin，因为将f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象，所以g(x)＝sin＝sin 2x，对于A，显然g(x)不是偶函数，则g(x)的图象不关于y轴对称，故A错误；对于B，g＝sin≠0，故g(x)的图象不关于中心对称，故B错误；对于C，因为x∈，则2x∈，所以g(x)在上不单调，故C错误；对于D，因为x∈，则2x∈，所以－≤sin 2x≤1，故当x＝－时，g(x)在上取得最小值－，故D正确．故选D． 3．(2024·安徽淮南模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的相邻两个对称中心距离为且图象经过M，若将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递减区间是(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 答案：B 解析：依题意，函数f(x)的周期T＝＝2×＝π，则ω＝＝2，又f()＝A，即2×＋φ＝＋2nπ，n∈Z，而|φ|<，因此φ＝，f(x)＝Asin(2x＋)，g(x)＝f(x－)＝Asin(2x－)，由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z)．故选B． 4．(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：因为y＝cos向左平移个单位所得函数为y＝cos＝cos＝－sin 2x，所以f(x)＝－sin 2x，而y＝x－显然过与两点，作出f(x)与y＝x－的部分大致图象如图， 考虑2x＝－，2x＝，2x＝，即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系，当x＝－时，f＝－sin＝－1，y＝×－＝－<－1；当x＝时，f＝－sin＝1，y＝×－＝<1；当x＝时，f＝－sin＝1，y＝×－＝>1；所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3.故选C． 5．[多选题](2024·安徽合肥模拟)用“五点法”画函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是(　　) x － ωx＋φ 0 π 2π Asin 0 2 0 －2 0 A．A＝2 B．不等式f(x)≥1的解集为 C．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称 D．函数f(x)在区间上单调递增 答案：AC 解析：由表可知A＝2，且解得所以f(x)＝2sin，故A正确；令f(x)≥1，即sin≥，即＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－π＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，所以不等式f(x)≥1的解集为，k∈Z，故B错误；又f＝2sin＝2sin＝2，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，故C正确；由x∈可得x＋∈，因为y＝sin x在上不单调，所以f(x)在区间上不单调，故D错误．故选AC． 6．[多选题](2024·福建漳州模拟)把函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列结论正确的是(　　) A．g(x)在上单调递减 B．g(x)在上有2个零点 C．y＝g(x)的图象关于直线x＝对称 D．g(x)在上的值域为 答案：BC 解析：把函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得到y＝sin 2x的图象；再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)＝sin＝sin(2x＋)的图象，x∈(，)时，2x＋∈(π，2π)，则g(x)在(，)上单调递减，在(，)上单调递增，故A错误；令g(x)＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－，因为x∈[0，π]，所以0≤－≤π，解得≤k≤，因为k∈Z，所以k＝1或k＝2，所以g(x)在上有2个零点，故B正确；因为g()＝sin(2×＋)＝sin＝1，为g(x)的最大值，所以直线x＝是y＝g(x)的图象的一条对称轴，故C正确；当x∈时，2x＋∈，g(x)∈，故D错误．故选BC． 7．(2024·山东东营模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，若将f(x)的图象向左平行移动个单位长度后得到g(x)的图象，则把y＝2cos 2x的图象向右至少平行移动________个单位可得到g(x)的图象． 答案： 解析：因为f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)，将f(x)的图象向左平行移动个单位长度后得到g(x)＝f＝2sin＝2sin＝2cos(2x－)，把y＝2cos 2x的图象向右平行移动φ个单位，可得y＝2cos 2(x－φ)＝2cos(2x－2φ)，由题意可得2φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，注意到φ>0，可得当k＝0时，φ取到最小值. 8．(新设问)(2024·北京朝阳二模)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为________． 答案：(答案不唯一) 解析：由题设g(x)＝f(x＋)＝sin＝sin(2x＋)，因为x∈，则2x＋∈，要使g(x)在区间上有且仅有一个零点，则需π≤2m＋<2π，即≤m<，故m＝满足要求．(答案不唯一) 9．(数学建模)(2024·重庆模拟)已知某弹簧振子的位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)满足y＝Asin，初始时将弹簧振子下压至－4 cm后松开，经过测量发现弹簧振子每10 s往复振动5次，则在第45 s时，弹簧振子的位移是______cm. 答案：4 解析：由题意，A＝4且最小正周期T＝＝2，即＝2，故ω＝π，所以y＝4sin(πt＋φ)，且4sin φ＝－4，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，不妨令φ＝－，故y＝4sin(πt－)＝－4cos πt，当t＝45，则y＝－4cos 45π＝4. 10．(12分)(2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)＝Asin＋B(A>0，B>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数f(x)的表达式； (2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若x∈，求函数y＝g(x)的值域． 解：(1)根据函数图象可得2A＝3－(－1)＝4， 所以A＝2，3＋(－1)＝2B，所以B＝1， ＝π－＝π＝π，得T＝π＝，所以ω＝， 又因为f＝3，所以2sin＋1＝3，所以sin＝1， 所以π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z， 又因为|φ|<，所以φ＝π， 所以f(x)＝2sin＋1. (2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到y＝2sin[(×x)＋π]＋1＝2sin＋1，再向下平移一个单位得到y＝2sin， 再向左平移个单位得到 y＝2sin＝2sin， 所以g(x)＝2sin，当x∈时，≤2x＋≤π， 又函数y＝sin x在上单调递增， 在上单调递减， 所以－≤sin≤1， 所以g(x)∈[－，2]，即g(x)的值域为[－，2]． 11．(15分)(2024·福建福州模拟)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cos x的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度． x 0 2π x＋ y (1)求函数y＝f(x)＋g(x)的解析式，并用“五点法”列表，作出该函数在上的图象； (2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在内恰有两个不同的解α，β. (ⅰ)求实数m的取值范围； (ⅱ)证明：cos＝－1. 解：(1)先将g(x)＝cos x图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到函数y＝cos x的图象，再将其向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝cos＝sin x的图象，所以y＝f(x)＋g(x)＝sin x＋cos x＝2sin. x 0 2π x＋ π 2π y 1 2 0 －2 0 1 图象如图： (2)(ⅰ)依题意，2sin＝m在区间内恰有两个不同的解α，β， 等价于y＝2sin在上的图象与直线y＝m有两个交点， 由图可知，m的取值范围是∪. (ⅱ)因为α，β是方程2sin＝m在区间内的两个不同的解， 根据函数y＝2sin图象的对称性可知， 当1<m<2时，＝，即α＋β＝，且sin＝， 所以cos＝cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝－1； 当－2<m<1时，＝，即α＋β＝，且sin＝， 所以cos＝cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝－1. 综上，cos＝－1. (每小题6分，共12分) 12．[多选题](2023·山东青岛二模)1807年法国数学家傅里叶指出任何音乐声都是形如y＝Asin的纯音合成的复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin＋sin x，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)在区间上单调递增 D．当x∈时，f(x)最小值为0，则a∈ 答案：BD 解析：由题意，函数f(x)＝sin＋sin x＝cos 2x＋sin x，对于选项A，因为f＝cos(2x＋2π)＋sin(x＋π)＝cos 2x－sin x≠f(x)，所以π不是函数f(x)的最小正周期，故选项A错误；对于选项B，因为f(＋x)＝cos(π＋2x)＋sin(＋x)＝－cos 2x＋cos x，f(－x)＝cos(π－2x)＋sin(－x)＝－cos 2x＋cos x＝f(＋x)，所以直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，故选项B正确；对于选项C，因为f(x)＝cos 2x＋sin x＝－2sin2x＋sin x＋1＝－2(sin x－)2＋，当x∈(－，)时，y＝sin x单调递增，且sin x∈(－，)，因为当sin x∈时，函数f(x)单调递增，当sin x∈时，函数f(x)单调递减，由复合函数的单调性可知：函数f(x)在区间上先增后减，故选项C错误；对于选项D，由选项C可知，当sin x∈时，函数f(x)单调递增，当sin x∈时，函数f(x)单调递减，当sin x＝－时，函数f(x)＝－2×＋＝0，当sin x＝时，函数f(x)＝－2×0＋＝，当x＝时，函数f(x)＝0，因为sin x＝－，x∈时，x＝，由复合函数的单调性可知：当x∈时，f(x)最小值为0，则a∈，故选项D正确．故选BD． 13．[多选题](2024·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，将y＝f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象．若g(x)为奇函数，且最小正周期为π，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点中心对称 B．函数f(x)在区间上单调递减 C．不等式g(x)≥的解集为(k∈Z) D．方程f＝g(x)在(0，π)上有2个解 答案：ACD 解析：根据题意可得，f(x－)＝cosω(x－)＋φ]＝cos(ωx＋φ－π)，所以g(x)＝cos(x＋φ－π)，又因为g(x)最小正周期为π，则＝π，且ω>0，则ω＝4，即g(x)＝cos，又因为g(x)为奇函数，则φ－π＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝π＋kπ，k∈Z，又－<φ<，所以k＝－2，φ＝－，所以g(x)＝cos＝－sin 2x，则f(x)＝cos(4x－)，对于A，当x＝时，f＝cos＝0，所以点是f(x)的对称中心，故A正确；对于B，令2kπ≤4x－≤π＋2kπ，解得＋≤x≤＋，k∈Z，因为不是，k∈Z的子集，故B错误；对于C，因为g(x)≥，即－sin 2x≥⇒sin 2x≤－，所以－π＋2kπ≤2x≤－＋2kπ，解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，故C正确； 对于D，分别画出y1＝f与y2＝g(x)在(0，π)上的图象，通过图象即可得到共有两个交点，即方程有2个解，故D正确．故选ACD． 14．(16分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)图象的一个对称中心为，当|f－f|＝2时，|x1－x2|min＝，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)后得到函数g(x)的图象． (1)求函数f(x)与g(x)的解析式； (2)求满足F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2 023个零点的实数a与正整数n的值． 解：(1)由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，及当|f－f|＝2时，|x1－x2|min＝，得T＝＝2×＝π， 可得ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)， 将代入得sin＝0，可得－＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z， 因为0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin(2x＋)＝cos 2x， 函数f(x)的图象向左平移个单位长度得y＝cos＝cos＝－sin 2x， 再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得g(x)＝－sin(×2x)＝－sin x. (2)由F(x)＝f(x)＋ag(x)＝cos 2x－asin x＝－2sin2x－asin x＋1， 函数F(x)的零点即为方程F(x)＝0的根， 设t＝sin x，讨论方程－2t2－at＋1＝0的根，显然t≠0， 若方程的根t1∈(0，1)，则t1＝sin x在(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)内可对应两个x， 若方程的根t1∈(－1，0)，则t1＝sin x在(2kπ＋π，2kπ＋2π)(k∈Z)内可对应两个x， 此时函数在(0，nπ)内只能有偶数个零点，不符合题意． 故必有t1＝±1， 当t1＝1时，可得a＝－1，t2＝－， 此时F(x)在(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)内有1个零点，在(2kπ＋π，2kπ＋2π)(k∈Z)内有2个零点， 因为2 023＝3×674＋1， 所以n＝2×674＋1＝1 349. 当t1＝－1时，可得a＝1，t2＝， 此时F(x)在(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)内有2个零点，一个周期(2kπ，2kπ＋2π)(k∈Z)内有3个零点，此时F(x)在(0，1 348π)内有2 022个零点，在(1 348π，1 349π)内有2个零点，不符合题意． 综上所述，a＝－1，n＝1 349. 学生用书↓第100页 学科网（北京）股份有限公司 $$