4.5 三角函数的图象与性质（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§4.5　三角函数的图象与性质 【课程标准】　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x三角函数的图象．　2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．　3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在(－，)上的性质． 1．用五点(画图)法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ－π，2kπ] 单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 学生用书↓第93页 微提醒　(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0，才能把ωx＋φ看作一个整体代入正弦函数的相应单调区间，否则会出现错误；(2)对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数． 【记牢常用结论】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 1．[多选题]下列命题是假命题的是(　　) A．余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴 B．正切函数y＝tan x在定义域内是增函数 C．已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1 D．y＝sin |x|是偶函数 答案：ABC 2．(链接北师必修二P62A组T4)函数y＝2tan(3x＋)的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由3x＋≠kπ＋，解得x≠＋，所以函数的定义域是.故选D． 3．(链接人A必修一P214T16)函数f(x)＝sin(2x－)，x∈R的单调递减区间是______________． 答案：(k∈Z) 解析：由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，解得＋kπ≤x≤＋kπ，故f(x)的单调递减区间是(k∈Z)． 4．(2023·天津卷)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 答案：B 解析：A选项中T＝＝4，B选项中T＝＝4，C选项中T＝＝8，D选项中T＝＝8，排除选项CD，对于A选项，当x＝2时，函数值sin＝0，故是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当x＝2时，函数值cos＝－1，故x＝2是函数的一条对称轴．故选B． 考点一　三角函数的定义域和值域基础练 (1)函数y＝lg sin x＋的定义域为________________． (2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________． 答案：(1)　(2) 解析：(1)要使函数有意义，则有即解得(k∈Z)，所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z.所以函数的定义域为. (2)设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，所以sin xcos x＝，且－≤t≤.所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－， ]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.所以函数的值域为. 规律方法 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． 2．求解三角函数的值域(最值)的常见类型 (1)形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． 学生用书↓第94页 (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 对点练1.(1)函数y＝ln的定义域为(　　) A． B． C． D． (2)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为(　　) A．－4 B．2 C．－ D．－2 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)依题意，sin x－>0，sin x>，解得2kπ＋<x<2kπ＋，所以函数y＝ln(sin x－)的定义域为{x|2kπ＋<x<2kπ＋，k∈Z}．故选B． (2)由f(x)＝sin－3cos x得f(x)＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，令t＝cos x, 则t∈，y＝－2t2－3t＋1，对称轴为t＝－，故当t＝1时，取最小值－2－3＋1＝－4，故选A． 考点二　三角函数的周期性、奇偶性、对称性综合练 (1)[多选题](2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1，x∈R，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的周期为π B．x＝是函数f(x)的零点 C．函数f(x)是非奇非偶函数 D．x＝为f(x)图象的一条对称轴 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin(ωx＋)＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 答案：(1)ACD　(2)A 解析：(1)f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2＝2sin.因为x∈R，所以f(x)的周期为π，故A正确；由于f＝2sin＝2sin＝1≠0，故x＝不是函数f(x)的零点，故B不正确；f＝2sin＝－2sin(2x＋)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，故函数f(x)是非奇非偶函数，故C正确；由于f＝2sin＝2sin＝2，所以x＝为f(x)图象的一条对称轴，故D正确．故选ACD． (2)因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f(x)＝sin＋2，所以f＝sin(×＋)＋2＝sin＋2＝1.故选A． 规律方法 有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路 1．奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式． 2．周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解． 3．解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心． 对点练2.[多选题]设函数f(x)＝sin＋cos(2x＋)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)关于点(，0)对称 C．f(x)的最大值为2 D．f(x)的图象关于直线x＝对称 答案：ABD 解析：f(x)＝[sincos＋cos(2x＋)sin]＝sin＝cos 2x，对于A，f＝cos＝cos 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；对于B，因为f()＝cos(2×)＝cos＝0，故B正确；对于C，当2x＝2kπ，k∈Z，即x＝kπ，k∈Z时，f(x)有最大值，故C错误；对于D，f＝cos π＝－，是最小值，故D正确．故选ABD． 考点三　三角函数的单调性多维练 角度1　求三角函数的单调区间 设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意得f(x)＝cos，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈，所以单调递减区间为.故选D． 学生用书↓第95页 [变式探究] (变结论)若函数不变，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间为________． 答案：和 解析：由题意得f(x)＝cos(2x－)，由2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，所以单调递增区间为和. 角度2　根据单调性求参数 (1)(2024·辽宁葫芦岛期末)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)，对于∀x∈R，f(x)≤f，且f(x)在区间上单调递增，则ω的最大值是(　　) A．－ B． C． D． (2)(2024·四川成都模拟)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T＝，其图象关于点对称，且当x∈时，f(x)的值域是，则m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)因为对于∀x∈R，f(x)≤f，可得f(x)在x＝π时取得最大值，即sin(ωπ＋)＝1，可得ωπ＋＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝＋2k，k∈Z，又因为f(x)在上单调递增，所以ω>0且＋≤，解得0<ω≤3，当k＝1时，ω＝，所以ω的最大值为.故选C． (2)因为函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T＝，则ω＝＝3，所以f(x)＝cos(3x＋φ)，又因为函数f(x)的图象关于点对称，则3×＋φ＝＋kπ，解得φ＝＋kπ，因为0<φ<π，故φ＝，故f(x)＝cos(3x＋)，当x∈时，≤3x＋≤3m＋，且函数f(x)在上的值域为，所以π≤3m＋≤，解得≤m≤.故选D． 规律方法 1．已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2．已知三角函数的单调区间求参数 先用参数表示出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 对点练3.(1)函数y＝tan的单调区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) (2)(2024·山东烟台适应性练习)已知函数f(x)＝cos在上单调递增，则φ的取值范围为(　　) A．π≤φ≤ B．≤φ≤ C．≤φ≤2π D．≤φ≤ 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)因为y＝tan＝－tan(3x－)，令kπ－<3x－<kπ＋，k∈Z，解得－<x<＋，k∈Z，所以函数y＝tan(－3x＋)的单调递减区间为(k∈Z)．故选D． (2)由x∈，所以2x＋φ∈[－＋φ，＋φ]，又0≤φ<2π，所以≤＋φ<，且函数f(x)在上单调递增，所以解得≤φ≤，即φ的取值范围为≤φ≤.故选D． 课时测评30　三角函数的图象与性质 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．函数y＝的定义域为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 答案：C 解析：由题意可得1－tan x≥0，且x≠＋kπ，k∈Z，即tan x≤1，所以x∈，k∈Z.故选C． 2．(2024·北京密云三模)已知函数f(x)＝cos2－sin2，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 答案：C 解析：因为f(x)＝cos2－sin2＝cos x．对于A选项，当－<x<－时，则f(x)在上单调递增，故A错误；对于B选项，当－<x<时，则f(x)在上单调递增，在上单调递减，故B错误；对于C选项，当0<x<时，则f(x)在上单调递减，故C正确；对于D选项，当<x<时，则f(x)在上单调递减，故D错误．故选C． 3．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，且x＝和x＝是函数图象的对称轴，所以＝－＝，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f(x)＝sin，则f＝sin＝.故选D． 4．(2024·河南郑州模拟)函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则f(x)在上的最小值为(　　) A．－2 B．－ C．－1 D．－ 答案：A 解析：由题意2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋)，在上，2x＋∈，故sin(2x＋)∈，所以f(x)的最小值为－2.故选A． 5．[多选题](2024·广东东莞三模)已知α，β∈(0，2π)且sin α<sin β，则下列命题中成立的是(　　) A．若α，β是第一象限角，则cos α<cos β B．若α，β是第二象限角，则cos α<cos β C．若α，β是第三象限角，则tan α<tan β D．若α，β是第四象限角，则tan α<tan β 答案：BD 解析：对于A，不妨取α＝，β＝，满足题意，但是cos α>cos β，故A错误；对于B，由α，β∈，因为sin α<sin β，故α>β，由于y＝cos x在上单调递减，故cos α<cos β，故B正确；对于C，不妨取α＝，β＝，满足题意，而tan α＝1>tan β＝，故C错误；对于D，由α，β∈，因为sin α<sin β，故α<β，由于y＝tan x在上单调递增，故tan α<tan β，故D正确．故选BD． 6．[多选题](2024·山东威海模拟)已知函数f(x)＝sincos，则以下说法中正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的值域为 C．f为奇函数 D．若f(x)在区间上单调，则a的最大值为 答案：BD 解析：f(x)＝sincos＝sin(＋x)cos＝sin2＝＝－cos ＋，f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A错误；因为cos(2x＋)∈，所以f(x)的值域为，故B正确；f＝－cos＋＝sin 2x＋，令g(x)＝f＝sin 2x＋，定义域为R，g(－x)＝sin＋＝－sin 2x＋≠－g(x)，故C错误；当x∈[0，a]时，2x＋∈，由2a＋≤π得，a≤，所以a的最大值为，故D正确．故选BD． 7．(2024·河北沧州模拟)若函数f(x)＝cos(2x＋＋φ)(φ>0)为奇函数，则φ的最小值为________． 答案： 解析：因为函数f(x)＝cos为R上的奇函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又φ>0，所以φ的最小值为. 8．(新设问)(2024·安徽皖江名校联考)写出函数f(x)＝sin|x|－cos x，x∈[－π，π]的一个单调递增区间为________． 答案：(－π，－)(填或(0，)或也对) 解析：因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，由x∈[0，π]，f(x)＝sin(x－)，故f(x)在上单调递增，在上单调递减，由对称性可知在上单调递增． 9．(新设问)(2024·江苏镇江模拟)写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集R的函数f(x)＝__________． ①最小正周期为2；②f＋f(x)＝2；③无零点． 答案：sin＋1(答案不唯一) 解析：f(x)＝sin＋1的定义域为R，最小正周期为T＝＝2，f＋f(x)＝sin＋1＋sin＋1＝－sin＋1＋sin＋1＝2，因为－1≤sin(πx)≤1，所以≤f(x)≤，所以f(x)无零点．综上，f(x)＝sin＋1符合题意． 10．(12分)(2023·北京卷)设函数f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ. (1)若f(0)＝－，求φ的值； (2)已知f(x)在区间上单调递增，f＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值． 条件①：f＝； 条件②：f＝－1； 条件③：f(x)在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)因为f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ，ω>0，|φ|<， 所以f(0)＝sincos φ＋cossin φ ＝sin φ＝－，因为|φ|<，所以φ＝－. (2)因为f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)，ω>0，|φ|<， 所以f(x)的最大值为1，最小值为－1. 若选条件①：因为f(x)＝sin的最大值为1，最小值为－1， 所以f＝无解，故条件①不能选． 若选条件②：因为f(x)在上单调递增，且f＝1，f＝－1， 所以＝－＝π，所以T＝2π，ω＝＝1， 所以f(x)＝sin，又因为f＝－1， 所以sin＝－1， 所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝－. 所以ω＝1，φ＝－. 若选条件③：因为f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)在x＝－处取得最小值－1， 即f＝－1.以下与条件②相同． 11．(15分)(2024·广东广州模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx，ω>0. (1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，求f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)的图象关于对称，且函数f(x)在上单调，求ω的值． 解：(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2(sin ωx－cos ωx)＝2sin， 因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π， 所以T＝π，则T＝2π，所以T＝＝2π， 解得ω＝1，所以f(x)＝2sin. 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z. 因此f(x)的单调递增区间是 ，k∈Z. (2)由f(x)＝2sin，函数f(x)的图象关于对称， 所以－＝kπ，k∈Z，所以ω＝2k＋，k∈Z， 由x∈，ω>0，则ωx－∈，又函数f(x)在上单调， 所以解得0<ω≤2， 由0<2k＋≤2，k∈Z，解得k＝0，此时ω＝. (每小题6分，共12分) 12．[多选题](2024·九省适应性测试)已知函数f(x)＝sin ＋cos ，则(　　) A．函数f为偶函数 B．曲线y＝f(x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z C．f(x)在区间单调递增 D．f(x)的最小值为－2 答案：AC 解析：f(x)＝sin ＋cos ＝sin 2xcos ＋sin cos 2x＋cos 2xcos －sin 2xsin ＝－sin 2x＋cos 2x－cos 2x－sin 2x＝－sin 2x，即f(x)＝－sin 2x，对于A，f＝－sin ＝cos 2x，易知为偶函数，所以A正确；对于B，f(x)＝－sin 2x对称轴为2x＝＋kπ，k∈Z⇒x＝＋，k∈Z，故B错误；对于C，x∈，2x∈，y＝sin 2x单调递减，则f(x)＝－sin 2x单调递增，故C正确；对于D，f(x)＝－sin 2x，则sin 2x∈[－1，1]，所以f(x)∈，故D错误．故选AC． 13．[多选题](2024·湖北武汉模拟)已知曲线y＝sin(2x＋φ)关于y轴对称，y＝sin关于原点对称，设函数f(x)＝sin＋sin(2x＋2φ)，则下列结论正确的是(　　) A．φ＝＋2kπ B．f＝f C．函数f(x)的最小正周期是π D．函数f(x)的值域是 答案：CD 解析：y＝sin关于y轴对称，φ＝＋kπ，y＝sin关于原点对称，2φ＝kπ，φ＝π，故φ＝＋kπ，f(x)＝sin＋sin ＝即f(x)＝对于选项A，φ＝＋kπ，故A错误；对于选项B，取k＝0，f＝0，f＝－，故B错误；对于选项C，T＝＝π，对于k∈Z恒成立，故C正确；对于选项D，f(x)∈，对于k∈Z恒成立，故D正确．故选CD． (每小题8分，共16分) 14．(新情境)[多选题](2024·安徽安庆模拟)正割及余割这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割sec α＝，余割csc α＝.已知函数f(x)＝＋，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为 B．f(x)的最小正周期为2π C．f(x)的值域为[－，－1)∪(－1，1)∪(1，] D．f(x)图象的对称轴为直线x＝－＋kπ(k∈Z) 答案：BC 解析：f(x)＝＋＝cos x＋sin x＝sin(x＋)，由cos x≠0，sin x≠0，得x≠，即f(x)的定义域为，故A错误；f(x)的定义域关于原点对称，故f(x)的最小正周期与函数y＝sin的最小正周期一致，均为2π，故B正确；当x＝0，，π，时，y＝sin的值分别为1，1，－1，－1，而函数y＝sin的值域为[－，]，再结合周期性可知，f(x)的值域为[－，－1)∪(－1，1)∪(1，]，故C正确；令x＋＝＋kπ，得x＝＋kπ，即f(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ，故D错误．故选BC． 15．(2024·湖北武汉联考)若∀a，b，c∈A，f(a)，f(b)，f(c)为一个三角形的三边长，则称函数f(x)在区间A上为“三角形函数”．已知函数f(x)＝－sin2x－cos x＋＋m在区间上是“三角形函数”，请解决以下问题： (1)f(x)在区间上的值域为________； (2)实数m的取值范围为_____________． 答案：[m，m＋1]　m>1 解析：因为函数f(x)＝－sin2x－cos x＋＋m＝cos2x－cos x＋＋m＝(cos x－)2＋m，令cos x＝t，由x∈可得t∈，则函数f(x)＝－sin2x－cos x＋＋m可化为y＝(t－)2＋m，且t∈，当t＝时，即x＝±时，函数取最小值m，当t＝－时，即x＝时，函数取最大值m＋1，所以函数f(x)在区间上的值域为[m，m＋1]；因为函数f(x)＝－sin2x－cos x＋＋m在区间上是“三角形函数”，所以m＋m>m＋1，解得m>1. 学生用书↓第96页 学科网（北京）股份有限公司 $$