4.4 二倍角的三角函数公式（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§4.4　二倍角的三角函数公式 【课程标准】　1.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并进行简单的恒等变换．　2.能利用二倍角公式推导半角公式，并能进行简单应用． 1．二倍角公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α． (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． (3)公式T2α：tan 2α＝． 微提醒　(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．(2)二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍． 2．半角公式 sin＝±_；cos＝±_； tan＝± ＝＝． 微提醒　在半角公式中，根号前面的符号由所在的象限相应的三角函数值的符号确定． 【记牢常用结论】 1．降幂公式 cos2α＝；sin2α＝； 学生用书↓第90页 tan2α＝；sin αcos α＝sin 2α. 2．升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α； 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝2sin2(α＋)； 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2＝2sin2(α－)． 1．[多选题]下列说法中正确的是(　　) A．sin 80°＝2sin 40°cos 40° B．存在实数α，使tan 2α＝2tan α C．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α＝ D．tan＝＝ 答案：ABD 2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角， 所以sin＝＝＝＝.故选D． 3．(链接北师必修二P155T1)化简sin415°－sin475°＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：sin415°－sin475°＝sin415°－sin4＝sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos 30°＝－.故选B． 4．(2024·江苏泰州模拟)已知α，β∈，且tan(α－β)＝，tan β＝，则2α－β的值为________． 答案： 解析：因为tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝，所以tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝＝＝1，因为tan α＝<1，所以0<α<，因为tan β＝<1，所以0<β<，所以－<2α－β<，所以2α－β＝. 考点一　三角函数式的化简 基础练 (1)2＋等于(　　) A．2cos 2 B．2sin 2 C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2 (2)化简：(－tan)·(1＋tan α·tan)＝________． 答案：(1)B　(2) 解析：(1)原式＝2＋ ＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.由于＜2＜π，所以cos 2＜0，sin 2＋cos 2＞0.故原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.故选B． (2)(－tan)·(1＋tan α·tan)＝(－)·(1＋·)＝·＝·＝. 规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 对点练1.(2024·四川成都模拟)下列选项中正确的是(　　) A．> B．>1 C．(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)>2 D．> 答案：D 解析：对于A，因为＝＝tan 43°，＝＝＝tan 44°，又函数y＝tan x在(－，)上单调递增，所以tan 43°<tan 44°，所以<，故A错误；对于B，由于＝＝＝tan 44°<tan 45°＝1，故B错误；对于C，由于tan 45°＝tan＝＝1，所以tan 1°＋tan 44°＝1－tan 1°tan 44°，则(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 1°＋tan 44°＋tan 1°tan 44°＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 1°tan 44°＝2，故C错误；对于D，＝＝sin 44°，＝＝2sin 12°cos 12°＝sin 24°，又y＝sin x在(0，)上单调递增，故sin 44°>sin 24°，即>，故D正确．故选D． 考点二　三角函数式的求值多维练 角度1　给角求值 (1)(数学文化)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝(　　) A．4 B．＋1 C．2 D．－1 学生用书↓第91页 (2)＝________． 答案：(1)A　(2)－2 解析：(1)根据题意，可得m＝2sin 18°＝2cos 72°，则＝＝＝＝＝4.故选A． (2)原式＝＝＝＝＝＝－2. 角度2　给值求值 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)(2024·九省适应性测试)已知θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan(θ＋)，则＝(　　) A． B． C．1 D． 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×()2＝.故选B． (2)由tan 2θ＝－4tan(θ＋)得，＝⇒－4(tan θ＋1)2＝2tan θ，则2tan2θ＋5tan θ＋2＝0，得tan θ＝－或－2，因为θ∈(，π)，tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，＝＝＝＝.故选A． 角度3　给值求角 (1)若α，β∈，满足sin β＝cos βcos 2α，下列结论正确的是(　　) A．β－α＝ B．α－β＝ C．α＋β＝ D．α＝β (2)已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)因为α，β∈，所以⇒所以2α∈⇒α∈，tan α<－1，所以sin β＝cos βcos 2α⇒tan β＝＝＝，易知tan β<0，所以tan β＝＝＝tan，所以β＝＋α，即β－α＝.故选A． (2)因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝，因为cos β＝，且β为锐角，所以sin β＝＝＝，那么sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝，cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×2＝，所以2β∈(0，)，cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝，因为α∈，2β∈(0，)，所以α＋2β∈，故α＋2β＝. 规律方法 三角函数求值的类型及方法 1．“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． 2．“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． 3．“给值求角”：实质上也可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要缩小角的取值范围． 对点练2.(1)下列各式中，值为的是(　　) A． B．cos2－sin2 C． D．sin 15°cos 15° (2)(2024·山东泰安一模)已知α∈(－，)，且12sin2α－5cos α＝9，则cos 2α＝(　　) A． B．－ C．－ D． (3)若α，β∈，且(1－cos 2α)＝sin 2αcos β，则下列结论正确的是(　　) A．2α＋β＝ B．2α－β＝ C．α＋β＝ D．α－β＝ 答案：(1)C　(2)B　(3)A 解析：(1)对于A，(cos 15°－sin 15°)＝cos(45°＋15°)＝cos 60°＝，故A不符合；对于B，cos2－sin2＝cos＝，故B不符合；对于C，＝×＝tan 45°＝，故C符合；对于D，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故D不符合．故选C． (2)依题意，原等式化为12(1－cos2α)－5cos α＝9，整理得(4cos α＋3)(3cos α－1)＝0，因为α∈(－，)，则cos α>0，解得cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.故选B． (3)因为α，β∈，所以sin α≠0.由＝sin 2αcos β，可得2sin2α＝2sin αcos αcos β，即sin α＝cos αcos β，所以sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以cos(α＋β)＝cos，因为α，β∈，所以π<α＋β<2π，且－<－α<0，所以α＋β＝－α＋2π，即得2α＋β＝.故选A． 考点三　三角恒等变换的综合应用综合练 (2024·广东深圳模拟)设函数f(x)＝cos2x－sin xcos x－，x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)设θ为锐角，若f ＝，求sin(2θ＋)的值． 解：(1)f(x)＝cos2x－sin xcos x－ ＝·－sin 2x－ ＝cos 2x－sin 2x＝sin， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋， 解得kπ－≤x≤kπ－，所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z. (2)依题意0<θ<，f＝sin ＝sin＝cos＝， 易知<θ＋<，sin＝， 所以cos＝2cos2－1＝， sin＝2sincos＝， 所以sin＝sin ＝sin－cos ＝×－×＝. 学生用书↓第92页 规律方法 1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 2．形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 对点练3.已知3sin α＝2sin2－1. (1)求sin 2α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值． 解：(1)因为3sin α＝2sin2－1， 所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－， 所以sin 2α＋cos 2α＝＝ ＝＝. (2)因为β∈，所以tan β<0， 因为2tan2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0， 所以tan β＝－，又因为α∈(0，π)，tan α＝－， 所以<α<π. 所以tan(α＋β)＝＝＝－1， 由得π<α＋β<2π，所以α＋β＝. 课时测评29　二倍角的三角函数公式 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．(2024·湖北武汉模拟)若sin α＝，则sin＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：sin＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×－1＝.故选D． 2．(2024·广东深圳模拟)已知tan＝2，则的值是(　　) A． B．2 C． D． 答案：D 解析：由tan＝2，则＝＝＝＝.故选D． 3．(2024·江西南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，锐角θ的大小如图所示，则＝(　　) A．－2 B．2 C． D．3 答案：B 解析：因为点P是角θ＋的终边上一点，所以tan＝＝5，所以tan θ＝tan[(θ＋)－]＝＝＝，由tan θ＝可知，cos θ≠0，所以＝＝＝＝2.故选B． 4．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有(　　) A．a>b>c B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a 答案：C 解析：a＝cos 6°－sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin＝sin 24°，b＝＝tan 26°＝>＝sin 26°，c＝＝sin 25°，因为y＝sin x在(0，90°)上单调递增，所以sin 26°>sin 25°>sin 24°，所以a<c<b.故选C． 5．[多选题]已知cos α＝，且sin α<0，则下列结论正确的是(　　) A．tan α>－1 B．tan 2α<1 C．sin 2α>0 D．cos 2α<0 答案：BD 解析：由已知及sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝－＝－，故tan α＝＝－<－1，故A错误；tan 2α＝＝<1，故B正确；因为sin α<0，sin 2α＝2sin αcos α<0，故C错误；cos 2α＝2cos2α－1＝－<0，故D正确．故选BD． 6．[多选题]下列结论正确的是(　　) A．(sin 2α－cos 2α)2＝1－4sin 4α B．cos 40°(1＋tan 10°)＝1 C．＝tan θ D．若cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝ 答案：BCD 解析：(sin 2α－cos 2α)2＝sin22α＋cos22α－2sin 2αcos 2α＝1－sin 4α，故A错误；cos 40°(1＋tan 10°)＝cos 40°()＝cos 40°·＝＝＝1，故B正确；＝＝tan θ，故C正确；若cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－＝，故D正确．故选BCD． 7．(新角度)单位圆O与x轴正半轴交于点M，A，B为单位圆上两点，|AB|＝1，∠MOB＝α且A，点B位于第二象限，则＋sincos－cos2＝______． 答案： 解析：因为A，所以sin∠MOA＝，因为|AB|＝|OA|＝|OB|＝1，所以∠AOB＝，＋sincos－cos2＝＋sin α－＝sin α－cos α＝sin＝sin∠MOA＝. 8．若2＋cos α＝，则cos＝________． 答案：－ 解析：因为2＋cos α＝sin2＋cos2＋2sincos＋cos α＝sin α＋cos α＋1＝2sin＋1＝，所以sin＝，故cos＝1－2sin2＝1－2×2＝－. 9．(2024·福建漳州模拟)由sin 108°＝3sin 36°－4sin336°，可求得cos 36°＝________． 答案： 解析：因为sin 108°＝3sin 36°－4sin336°，所以sin 72°＝3sin 36°－4sin336°，所以2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°，因为sin 36°≠0，所以2cos 36°＝3－4sin236°，所以4cos236°－2cos 36°－1＝0，所以cos 36°＝或(舍)． 10．(12分)在①8sin α＝5sin 2α，②cos＝，③tan α＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题． 已知α∈，β∈，cos β＝－，______，求： (1)sin 2β值； (2)cos的值． 解：(1)由β∈，cos β＝－得sin β＝＝， 所以sin 2β＝2sin βcos β＝2×× ＝－. (2)若选①，由8sin α＝5sin 2α得8sin α＝10sin αcos α，又sin α≠0，所以cos α＝， 因为α∈，所以sin α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝， cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝， 所以cos＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝×＋×＝. 若选②，由cos＝得cos α＝2cos2－1 ＝2×()2－1＝， 因为α∈，所以sin α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝， cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝， 所以cos＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝×＋×＝. 若选③，由tan α＝得sin α＝cos α， 代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝， 又α∈，所以cos α＝. 因为α∈，所以sin α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝， cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝， 所以cos＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝×＋×＝. 11．(15分)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x. (1)求函数f(x)的最大值； (2)若x＝x0为函数y＝f(x)－的一个零点，求cos 2x0的值． 解：(1)f(x)＝＋sin 2x＝＋sin(2x－)，所以f(x)max＝. (2)由(1)及题意得＋sin(2x0－)－＝0， 所以sin(2x0－)＝－. 又因为x0∈，所以2x0－∈，又sin(2x0－)＝－<0，则2x0－∈，所以cos(2x0－)＝＝， 故cos 2x0＝cos(2x0－＋)＝cos(2x0－)cos－sin(2x0－)sin＝×－(－)×＝. (每小题6分，共12分) 12．(2024·湖南衡阳模拟)已知α，β∈，－2cos(α＋β)＝，则(　　) A．α－β＝－ B．α－β＝ C．α＋β＝ D．α＋β＝ 答案：D 解析：由题得－2cos(α＋β)＝，则sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝cos α，又sin(2α＋β)＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)，所以cos αsin(α＋β)－sin αcos(α＋β)＝cos α，即sin β＝cos α，即sin β＝sin(－α)，又α，β∈，所以－α∈(π，)，则β＝－α，即α＋β＝.故选D． 13．(2024·湖南长沙模拟)若tan α·tan β·tan·tan＝1，则cos α＋cos β＝(　　) A．0 B． C．1 D． 答案：C 解析：由tan α·tan β·tan·tan＝1，可得sin αsin βsinsin＝cos αcos βcoscos，又由正弦的倍角公式，可得4sin2cossin2cos＝cos αcos βcoscos，即4sin2sin2＝cos αcos β＝(1－2sin2)(1－2sin2)，令x＝sin2，y＝sin2，则4xy＝(1－2x)(1－2y)＝1－2x－2y＋4xy，解得x＋y＝，所以cos α＋cos β＝1－2sin2＋1－2sin2＝2－2(x＋y)＝1.故选C． (每小题8分，共16分) 14．(2024·江苏无锡模拟)已知tan β＝，tan(α＋β)＝，若β∈，则β＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为tan α＝tan＝，又因为tan β＝，tan(α＋β)＝，所以tan α＝＝，因为sin2α＋cos2α＝1，所以tan α＝0，所以α＝kπ，k∈Z，所以当k为奇数时，cos α＝－1，sin α＝0，当k为偶数时，cos α＝1，sin α＝0，因为tan β＝，所以tan β＝±1，因为β∈，所以β＝.故选C． 15．(数学文化)(2024·浙江杭州二模)数学里有一种证明方法叫做无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，点C为半圆O上一点，CH⊥AB，垂足为H，记∠COB＝θ，则由tan∠BCH＝可以直接证明的三角函数公式是(　　) A．tan＝ B．tan＝ C．tan＝ D．tan＝ 答案：C 解析：由已知∠COB＝θ，则∠CBO＝－，∠BCH＝－(－)＝，又tan＝，sin θ＝，cos θ＝，BH＋OH＝OB＝OC，因此tan＝＝＝＝.故选C． 学科网（北京）股份有限公司 $$