4.2 诱导公式与同角三角函数的基本关系（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§4.2　诱导公式与同角三角函数的基本关系 【课程标准】　1.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(±α，π±α的正弦、余弦、正切)．　2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 1．三角函数的诱导公式 角 正弦 余弦 正切 α＋2kπ(k∈Z) sin α cos α tan α －α －sin α cos α －tan α α＋π －sin α －cos α tan α α－π －sin α －cos α tan α π－α sin α －cos α －tan α α＋ cos α －sin α － －α cos α sin α 微提醒　诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的“奇”“偶”指的是的系数是奇数还是偶数；“变”与“不变”指的是函数名称的变化；“符号看象限”是指将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在象限的原三角函数的符号． 2．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：tan α＝. 【记牢常用结论】 同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin α＝tan α·cos α； sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 1．[多选题]下列说法错误的是(　　) A．若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1 B．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为任意角 C．若α∈R，则tan α＝恒成立 D．若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝ 答案：ACD 2．(链接北师必修二P23例8)cos 540°的值为(　　) 学生用书↓第85页 A．1 B．0 C．－1 D．不存在 答案：C 解析：cos 540°＝cos＝cos 180°＝－1.故选C． 3．(链接北师必修二P142练习T4)已知sin α－3cos α＝0，则3sin α·cos α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：由已知得tan α＝3，所以3sin α·cos α＝＝＝.故选A． 4．已知α为锐角，若cos＝－，则tan α＝________． 答案： 解析：cos＝－sin α＝－，所以sin α＝，因为α为锐角，所以cos α＝，tan α＝. 考点一　诱导公式基础练 (1)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)[多选题](2024·广东湛江模拟)已知sin(－x)＝－，且<x<，则(　　) A．sin＝－ B．cos＝－ C．tan＝ D．cos＝ 答案：(1)B　(2)BCD 解析：(1)原式＝＝＝－·＝－1.故选B． (2)由<x<得－<－x<0，则cos(－x)＝＝，tan＝－.sin(＋x)＝sin＝cos＝，故A错误；cos＝cos＝－cos＝－，故B正确；tan＝－tan＝，故C正确；cos＝cos＝－sin＝，故D正确．故选BCD． 规律方法 1．诱导公式的应用步骤 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数． 2．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 对点练1.(1)[多选题]已知sin＝－，则下列计算正确的是(　　) A．sin＝ B．sin＝ C．cos＝－ D．tan＝ (2)已知sin＝，且0<x<，则sin－cos的值为________． 答案：(1)AC　(2) 解析：(1)依题意，sin＝－sin α＝－，sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以sin(5π－α)＝sin α＝，故A选项正确；sin＝cos α＝±，故B选项错误；cos＝－sin α＝－，故C选项正确；tan＝＝＝±，故D选项错误．故选AC． (2)因为0<x<，所以<－x<，所以cos＝＝.所以sin＝sin＝cos＝，cos＝cos＝－cos＝－.所以sin－cos＝. 考点二　同角三角函数基本关系多维练 角度1　sin α、cos α、tan α之间的关系 (1)(2024·杭州模拟)已知α∈，且tan α＝，则cos α＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________． 答案：(1)C　(2)－ 解析：(1)由α∈可知α为第三象限的角，故cos α<0，由tan α＝＝，又sin2α＋cos2α＝1，解得cos α＝－.故选C． (2)因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0， 又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 角度2　sin α±cos α，sin αcos α之间的关系 (1)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　) A． B．± C．－ D．－ 学生用书↓第86页 (2)[多选题]已知sin α－cos α＝(0<α<π)，则下列选项正确的是(　　) A．sin αcos α＝ B．sin α＋cos α＝ C．cos4α＋sin4α＝ D．cos4α＋sin4α＝ 答案：(1)D　(2)ABD 解析：(1)因为sin αcos α＝，所以(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，因为＜α＜，所以cos α＜sin α，则cos α－sin α＜0，所以cos α－sin α＝－.故选D． (2)sin α－cos α＝两边平方，得2＝1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝，则sin αcos α＝，故选项A正确；因为0<α<π，所以sin α>0，又因为sin αcos α＝>0，所以cos α>0，因为2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝，所以sin α＋cos α＝＝，故选项B正确；因为cos4α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2×()2＝，故D正确，C错误．故选ABD． 角度3　齐次式求值 (1)已知sin(α＋π)＝2cos(α－π)，则＝(　　) A．1 B．－1 C．5 D．－5 (2)(2024·陕西咸阳三模)已知方程sin α＋2cos α＝0，则cos2α－sin αcos α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)因为sin(α＋π)＝2cos(α－π)，所以－sin α＝－2cos α，则tan α＝2，所以＝＝＝1.故选A． (2)方程sin α＋2cos α＝0，化简得tan α＝－2，则cos2α－sin αcos α＝＝，分子分母同时除以cos2α可得＝，将tan α＝－2代入可得cos2α－sin αcos α＝＝＝.故选B． 规律方法 同角三角函数基本关系式的应用方法 1．利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可实现角α的弦切互化． 2．由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 3．当分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解． 对点练2.(1)(2024·江苏苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin 2α等于(　　) A． B．－ C．－3 D．3 (2)[多选题]已知sin θcos θ＝，|sin θ|＝－sin θ，则下列结论正确的有(　　) A．是第二象限角 B．sin θ＋cos θ＝－ C．sin θ－cos θ＝ D．tan θ＝或3 答案：(1)A　(2)BD 解析：(1)由＝5，得＝5，可得tan α＝2，则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝.故选A． (2)对于A，因为|sin θ|＝－sin θ，sin θcos θ＝，所以sin θ<0，cos θ<0，所以θ为第三象限角，所以π＋2kπ<θ<＋2kπ，所以＋kπ<<＋kπ，当k为偶数时，为第二象限角，当k为奇数时，为第四象限角，所以可能为第二或第四象限角，故A错误；对于B，2＝1＋2sin θcos θ＝，因为sin θ<0，cos θ<0，所以sin θ＋cos θ<0，所以sin θ＋cos θ＝－，故B正确；对于C，2＝1－2sin θcos θ＝，因为sin θ<0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ可能为正，也可能为负，所以sin θ－cos θ＝±，故C错误；对于D，当sin θ－cos θ＝，sin θ＋cos θ＝－时，sin θ＝－，cos θ＝－，故tan θ＝，当sin θ－cos θ＝－，sin θ＋cos θ＝－时，sin θ＝－，cos θ＝－，故tan θ＝3，故tan θ＝或3，故D正确．故选BD． 考点三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用综合练 已知α是第四象限角， f＝. (1)化简f； (2)若cos＝，求f的值． 解：(1)f＝ ＝＝－cos α. (2)因为cos＝－sin α＝，即sin α＝－， 又α是第四象限角，所以cos α＝＝， 所以f＝－cos α＝－. 规律方法 1．利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． 2．运用两类公式解题，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．注意角的范围对三角函数值符号的影响． 对点练3.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由已知得消去sin β，得tan α＝3，所以sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，又α为锐角，所以sin α>0，则sin α＝.故选C． 课时测评27　诱导公式与同角三角函数的基本关系 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．设cos x＝，则sin＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：因为cos x＝，所以sin＝－cos x＝－.故选B． 2．(2024·北京模拟)如图，点P为角α的终边与单位圆O的交点，tan＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：由单位圆可知，cos α＝，且α为第一象限角，根据同角三角函数的基本关系可得sin α＝＝，所以tan α＝＝，所以tan(α＋π)＝tan α＝.故选D． 3．已知sin2α＝cos α－1，则sin＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－ 答案：B 解析：因为sin2α＝1－cos2α，所以1－cos2α＝cos α－1，即cos2α＋cos α－2＝0，所以(cos α－1)(cos α＋2)＝0，所以cos α＝1或cos α＝－2(舍)，所以sin(α＋)＝－cos α＝－1.故选B． 4．(2024·陕西西安模拟)已知sin2＝cos，0<|θ|<，则θ等于(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：由题知sin2θ＝sin θ，所以sin θ＝或sin θ＝0，又因为0<|θ|<，所以θ＝.故选D． 5．(2024·江西鹰潭模拟)设sin 23°＝m，则tan 67°＝(　　) A．－ B． C． D． 答案：D 解析：因为sin 23°＝m，所以cos 67°＝m，所以sin 67°＝，所以tan 67°＝.因为sin 23°＝m>0，所以tan 67°＝＝.故选D． 6．(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sin α＋cos β＝0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案：B 解析：当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sin α＋cos β≠0，即由sin2α＋sin2β＝1推不出sin α＋cos β＝0；当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cos β)2＋sin2β＝1，即sin α＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，sin2α＋sin2β＝1是sin α＋cos β＝0成立的必要不充分条件．故选B． 7．[多选题]下列各式的值等于1的有(　　) A．sin2＋cos2 B．sin C．cos D． 答案：AD 解析：对于A，sin2＋cos2＝sin2(x＋1)＋cos2＝1，故A正确；对于B，sin＝sin＝sin＝－sin ＝－1，故B错误；对于C，cos＝cos 5π＝cos π＝－1，故C错误；对于D，＝＝＝1，故D正确．故选AD． 8．[多选题]已知tan θ＝－4，则下列结果正确的是(　　) A．sin2θ＝ B．cos2θ－sin2θ＝－ C．3sin θcos θ＝－ D．cos2θ＝ 答案：ABC 解析：sin2θ＝＝＝，故A正确；cos2θ－sin2θ＝＝＝－，故B正确；3sin θcos θ＝＝＝－，故C正确；cos2θ＝＝＝，故D错误．故选ABC． 9．[多选题]已知θ∈，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ 答案：ABD 解析：因为sin θ＋cos θ＝，所以2＝1＋2sin θcos θ＝，则2sin θcos θ＝－，因为θ∈，所以sin θ>0，cos θ<0，所以θ∈，故A正确；所以2＝1－2sin θcos θ＝，所以sin θ－cos θ＝，故D正确；联立可得sin θ＝，cos θ＝－，故B正确；所以tan θ＝＝－，故C错误．故选ABD． 10．已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α<0，则 ＝________． 答案： 解析：因为sin(α＋π)＝，所以sin α＝－<0.又sin αcos α<0，所以cos α>0，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝－， 原式＝＝＝＝. 11．已知cos＝，则cos＋cos2(－x)的值为__________． 答案： 解析：因为cos＝，所以cos＝cos＝－cos＝－， cos＝cos＝sin，所以cos2＝sin2＝1－cos2(x＋)＝1－＝，所以cos＋cos2＝－＋＝. 12．已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝________． 答案：18 解析：由sin(3π＋θ)＝，可得sin θ＝－，所以＋ ＝＋＝＋＝＝＝＝18. (每小题8分，共16分) 13．(2024·山西太原模拟)已知sin α－cos α＝，α∈，则＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：由题意可得2＝1－2sin αcos α＝，整理得sin αcos α＝>0，且α∈，可得α∈，即sin α>0，cos α>0，可得sin α＋cos α>0，所以2＝1＋2sin αcos α＝，可得sin α＋cos α＝，所以＝＝.故选D． 14．(新定义)[多选题]已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α广义互余的有(　　) A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝ 答案：AC 解析：若α与β广义互余，则α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，即β＝＋2kπ－α(k∈Z)．又由sin(π＋α)＝－，可得sin α＝.若α与β广义互余，则sin β＝sin＝cos α＝±＝±，故A正确；若α与β广义互余，则cos β＝cos(＋2kπ－α)＝sin α＝，而由cos(π＋β)＝，可得cos β＝－，故B错误；由A，B可知sin β＝±，cos β＝，所以tan β＝＝±，故C正确，D错误．故选AC． (每小题12分，共24分) 15．(数学文化)如图所示的是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标(如图①)，图②为其结构简图，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值等于(　　) A．1 B．－ C． D．－ 答案：D 解析：由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，因为小正方形的面积是，所以(cos θ－sin θ)2＝，因为θ为直角三角形中较小的锐角，所以cos θ＞sin θ，所以cos θ－sin θ＝，又因为(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，所以1＋2sin θcos θ＝，所以cos θ＋sin θ＝.所以sin2θ－cos2θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ)＝－.故选D． 16．[多选题](2024·安徽黄山质检)若＝－，则tan的值可能是(　　) A． B． C．2 D．3 答案：CD 解析：＝sin θ·(cos θ－sin θ)＝＝＝－，即5tan θ－5tan2θ＝－3－3tan2θ，即2tan2θ－5tan θ－3＝0，解得tan θ＝－或tan θ＝3，当k＝2m(m∈Z)时，tan＝tan＝tan θ，当k＝2m－1(m∈Z)时，tan＝tan(θ－)＝－，所以当tan θ＝－时，tan＝－或2，当tan θ＝3时，tan＝3或－.故选CD． 学生用书↓第87页 学科网（北京）股份有限公司 $$