2.10 函数的图象（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.10　函数的图象 【课程标准】　1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．　 2．会画简单的函数图象．　 3．会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题． 1．利用描点法作函数图象的步骤 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f (x)的图象y＝－f (x)的图象； y＝f (x)的图象y＝f (－x)的图象； y＝f (x)的图象y＝－f (－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象． (3)伸缩变换 y＝f (x)y＝f (ax)； y＝f (x)y＝Af (x)． (4)翻折变换 y＝f (x)的图象y＝|f (x)|的图象； y＝f (x)的图象y＝f (|x|)的图象． 微提醒　(1)函数图象平移变换的八字方针 ①“左加右减”，要注意加减指的是自变量．②“上加下减”，要注意加减指的是函数值． (2)将y＝f (x)图象的横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到函数y＝f(a>0)的图象． 【记牢常用结论】 1．记住几个重要结论 (1)函数y＝f (x)与y＝f (2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称． (3)若函数y＝f (x)对定义域内任意自变量x满足：f (a＋x)＝f (a－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． 2．图象的左右平移仅仅是对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换． 3．图象的上下平移仅仅是对于y而言的，利用“上加下减”进行． 学生用书↓第45页 1．[多选题]下列说法中正确的是(　　) A．当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f (x)|与y＝f (|x|)的图象相同 B．若函数y＝f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝1对称 C．函数y＝f (1－x)的图象，可由y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到 D．函数y＝af (x)与y＝f (ax)(a>0且a≠1)的图象相同 答案：BC 2．(链接人A必修一P72T1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　) 答案：C 解析：法一：出发时距学校最远，先排除A；中途堵塞停留，距离不变，再排除D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B．故选C． 法二：由小明的运动规律知，小明距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加快速度行驶，比前段下降得快．故选C． 3．(用结论)要得到函数y＝2x－1的图象，只需将指数函数y＝x的图象(　　) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 答案：D 解析：由y＝x＝()2x向右平移个单位，则y＝()＝()2x－1.故选D． 4．函数f (x)＝ln (x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：由于函数f (x)＝ln (x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的，函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，0)，开口向上，所以作出f (x)，g(x)的图象如图所示，故函数f (x)与g(x)的图象有两个交点．故选C． 考点一　作函数图象基础练 作出下列函数的图象： (1)y＝－； (2)y＝－1. 解：(1)函数y＝－＝－2－，则其图象可看作由反比例函数y＝－的图象，先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图所示． (2)设h(x)＝y＝－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，而y＝＝其图象可由y＝()x的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y＝－1图象如图所示． 规律方法 作函数图象的三种常用方法 　　 对点练1．作出下列各函数的图象： (1)y＝2－|x－x2|； (2)y＝|log2(x＋1)|. 解：(1)设g(x)＝y＝2－|x－x2|＝其图象如图所示． (2)设t(x)＝y＝|log2(x＋1)|，则其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，其图象如图所示． 学生用书↓第46页 考点二　函数图象的识别综合练 (1)(2024·浙江金华三模)函数y＝ln(cos x)， x∈的图象大致形如(　　) (2)(2023·天津卷)函数f (x)的图象如下图所示，则f (x)的解析式可能为(　　) A．f (x)＝ B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝ 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)依题意y＝ln (cos x)，x∈，y＝cos x为偶函数，则y＝ln (cos x)为偶函数，又0<cos x<1，则y＝ln (cos x)<0.故选A． (2)由题图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f (－2)＝f (2)<0，由＝－且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当x>0时，>0、>0，即A，C中(0，＋∞)上函数值为正，排除．故选D． 规律方法 辨识函数图象的五种策略 　　 对点练2．(1)(2024·山东威海期末)函数f (x)＝的图象为(　　) (2)(2024·广东中山模拟)已知函数y＝f (x)部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式可能为(　　) A．f (x)＝xsin 2x B．f (x)＝xsin x C．f (x)＝2|x|sin x D．f (x)＝2|x|sin 2x 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)函数f (x)＝的定义域为{x|x≠0}，且f (－x)＝＝－＝－f (x)，函数f (x)为奇函数，故A选项错误；又当x<0时，f (x)＝≤0，故C选项错误；当x>1时，f (x)＝＝＝x－，函数单调递增，故B选项错误．故选D． (2)由图象知f (x)＝0，x∈[0，π]有三个零点，经验证只有AD满足，排除BC选项，A中函数满足f (－x)＝－xsin (－2x)＝xsin 2x＝f (x)，为偶函数，D中函数满足f (－x)＝2|－x|sin (－2x)＝－2|x|sin 2x＝－f (x)为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A．故选D． 考点三　函数图象的应用多维练 角度1　利用图象研究函数的性质 [多选题]函数y＝f (x)由关系式x|x|＋y|y|＝1确定，则下列说法正确的是(　　) A．函数f (x)的零点为1 B．函数的定义域和值域均为[－1，1] C．函数y＝f (x)的图象是轴对称图形 D．若g(x)＝f (x)＋x，则g(x)在定义域内满足g(x)>0恒成立 答案：ACD 解析：因为函数y＝f (x)由关系式x|x|＋y|y|＝1确定，所以y＝f (x)＝ 则y＝f (x)的图象如图所示， 由图象可知，函数f (x)的零点为1，所以A正确；由图象可知，函数的定义域和值域均为R，所以B错误；因为对于x|x|＋y|y|＝1，x与y互换后得到x|x|＋y|y|＝1，与原式子相同，所以y＝f (x)的图象关于直线y＝x对称，所以函数y＝f (x)的图象是轴对称图形，所以C正确；由图象可知，y＝f (x)的图象恒在直线y＝－x的上方，所以g(x)＝f (x)＋x在定义域内满足g(x)>0恒成立，所以D正确．故选ACD． 学生用书↓第47页 角度2　利用图象解不等式 (2024·重庆模拟)已知函数f (x)＝则f (x)>|log2x|的解集是(　　) A． B．(1，2) C． D．∪(1，2) 答案：C 解析：根据题意，当x∈时，f (x)＝2－(x－＋)＝3－x，当x∈时，f (x)＝2－[2－f (x－3)]＝f (x－3)＝x－， 作出函数f (x)＝的部分图象如图，在同一坐标系中作出函数y＝|log2x|的图象， 由图象可得不等式f (x)>|log2x|的解集为.故选C． 角度3　 利用图象求参数的取值范围 (1)已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，1) B．[0，1) C．(1，3)∪{0} D．[1，3)∪{0} (2)(2024·山东泰安一模)已知函数f (x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递增，且关于x的方程|f (x)|＝x＋3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________． 答案：(1)D　(2)∪ 解析：(1)因为关于x的方程f (x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f (x)与y＝m的图象有两个交点，作出函数图象，如图所示， 所以当m∈[1，3)∪{0}时，函数y＝f (x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1，3)∪{0}．故选D． (2)因为f (x)是R上的单调递增函数，所以y＝1＋loga|x－1|＝1＋loga(1－x)在(－∞，0]上单调递增，可得0<a<1，且0＋4a≥1＋0，即≤a<1，由1＋loga|x－1|＝0，解得x＝1－≥－3，作出y＝|f (x)|和y＝x＋3的函数草图如图所示，由图象可知|f (x)|＝x＋3在(0，＋∞)上有且只有一解，可得4a≤3，或x2＋4a＝x＋3时Δ＝1－4(4a－3)＝0，解得≤a≤或a＝，则a的取值范围是∪. 规律方法 　　求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程如下： 对点练3．(1)若∀x∈R，f＝f，当x≥1时，f (x)＝x2－4x，则下列说法正确的是(　　) A．函数f (x)为奇函数 B．函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增 C．f (x)min＝－4 D．函数f (x)在(－∞，1)上单调递减 (2)设函数f (x)＝则满足条件“方程f (x)＝a有三个实数解”的实数a的一个值为________． 答案：(1)C　(2)3(答案不唯一，只要满足a>2均可) 解析：(1)由∀x∈R，f (x＋1)＝f (1－x)可知∀x∈R，f (x)＝f (2－x)，可知f (x)关于直线x＝1对称，当x≥1时，f (x)＝x2－4x＝(x－2) 2－4，当x<1时，2－x>1，f (2－x)＝(2－x－2) 2－4＝x2－4，所以f (x)＝作出f (x)的图象，如图所示， 所以f (x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)，(1，2)上单调递减，f (x)min＝－4，f (x)不是奇函数，故ABD错误，C正确．故选C． (2)由于函数y＝x＋为对勾函数，且y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，函数y＝x－为单调递增函数，且x＝－1，y＝0，作出函数f (x)的图象如图所示，由图象可知，要使方程f (x)＝a有三个实数解，则需a>2，则符合题意的一个a的值为3.(答案不唯一，只要满足a>2均可)． 课时测评15　函数的图象 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．(2024·四川遂宁模拟)要得到函数y＝log2(2x＋4)的图象，只需将函数y＝log2(x＋2)的图象(　　) A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 答案：C 解析：因为y＝log2(2x＋4)＝log22(x＋2)＝log22＋log2(x＋2)＝1＋log2(x＋2)，故只需将函数y＝log2(x＋2)的图象向上平移1个单位长度，即可得到y＝log2(2x＋4)的图象．故选C． 2．(2024·湖南岳阳开学考)函数f (x)＝－e|x|＋1在[－2，2]上的大致图象为(　　) 答案：C 解析：由已知得f (0)＝0，排除选项D，f (1)＝－e＋1＝－e<0，排除选项B，f (2)＝－e2＋1＝9－e2>0，排除选项A．故选C． 3．(2024·陕西西安模拟)已知函数f (x)在区间[－2，2]上的大致图象如图所示，则f (x)的解析式可以是(　　) A．f (x)＝(ex－e－x) x B．f (x)＝(ex－e－x) sin x C．f (x)＝(ex－e－x) cos x D．f (x)＝(ex－e－x) x2 答案：C 解析：因为(ex－e－x)＋(e－x－ex)＝0，所以y＝ex－e－x为奇函数，对于选项A：因为y＝x为奇函数，则f (x)＝(ex－e－x) x为偶函数，不合题意，故A错误；对于选项B：因为y＝sin x为奇函数，则f (x)＝(ex－e－x) sin x为偶函数，不合题意，故B错误；对于选项D：当x>0时，ex>1，e－x＝<1，x2>0，可得ex－e－x＝ex－>0，则(ex－e－x) x2>0，所以当x>0时，f (x)＝(ex－e－x) x2>0恒成立，不合题意，故D错误．故选C． 4．(2023·广东广州三模)函数f (x)＝的图象如图所示，则(　　) A．a>0，b＝0，c<0 B．a<0，b＝0，c<0 C．a<0，b<0，c＝0 D．a>0，b＝0，c>0 答案：A 解析：由图象观察可得函数图象关于y轴对称，即函数为偶函数，所以f (－x)＝＝f (x)，得b＝0，故C错误；由图象可知f (0)＝<0⇒c<0，故D错误；因为定义域不连续，所以ax2－bx＋c＝0有两个根可得Δ＝b2－4ac>0，即a，c异号，a>0，即B错误，A正确．故选A． 5．(2024·广东惠州一模)“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园……”一首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．如图①是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图②是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为(　　) A．y＝|x| B．y＝x C．y＝ D．y＝ 答案：C 解析：依题意，“心形”图形关于y轴对称，所以x轴上方的图象对应的函数为偶函数，所以函数y＝x和y＝都不满足题意，故排除选项B，D；y＝|x|的图象过点(0，0)，(－2，0)，(2，0)，且当0<x<2时，y＝|x|≤＝2，当且仅当x＝时，等号成立，即函数y＝|x|的最大值为2.又“心形”图形对应函数的最大值为1，故排除选项A；y＝的图象过点(0，0)，(－2，0)，(2，0)且当0<x<2时，y＝＝＝≤1，当且仅当x＝1时，等号成立，即函数y＝的最大值为1，满足题意，故选C． 6．(2024·河南南阳期末)已知函数f (x)＝若f (x)的图象上至少有两对点关于y轴对称，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D．[0，1] 答案：C 解析：当x<0时，f (x)＝－，则其关于y轴对称的图象所对应的函数解析式为y＝，x>0.由题意知，当x>0时，y＝与y＝|x－2|＋a的图象至少有两个公共点，即方程＝|x－2|＋a在区间(0，＋∞)内至少有两个实根．令y＝a，y＝－|x－2|＝在同一平面直角坐标系中分别作出y＝a与y＝－|x－2|(x>0)的图象，如图： 由图可知，若直线y＝a与曲线y＝－|x－2|(x>0)至少有两个公共点，则0≤a≤. 故实数a的取值范围是.故选C． 7．[多选题](2024·广东肇庆模拟)函数f (x)＝(α∈R)的大致图象可能是(　　) 答案：ABD 解析：由题意知1－|x|≠0，则x≠±1，当x∈(0，1)时，1－|x|>0，xα>0，f (x)>0，当x∈(1，＋∞)时，1－|x|<0，xα>0，f (x)<0，所以f (x)的大致图象不可能为C，而当α为其他值时，A，B，D均有可能出现，不妨设α＝，定义域为[0，1)∪(1，＋∞)，此时A选项符合要求；当α＝1时，定义域为{x|x≠±1}，且f (－x)＝＝＝－f (x)，故函数f (x)＝为奇函数，所以B选项符合要求，当α＝2时，定义域为{x|x≠±1}，且f (－x)＝＝＝f (x)，故函数f (x)＝为偶函数，所以D选项符合要求．故选ABD． 8．[多选题](2024·湖北荆州模拟)如图所示为函数f (x)的图象，则其解析式可能为(　　) A．f (x)＝(x2－x－2) ln |x| B．f (x)＝|2x－2－x|ln |x| C．f (x)＝x2－|x|(x≠0) D．f (x)＝ 答案：BC 解析：由题图可得函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为偶函数，选项D中的函数为奇函数，故D选项错误；对于A选项，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x)＝(x2－x－2) ln |x|＝f (x)，是偶函数，当x>0时，f (x)＝(x2－x－2) ln x，令f (x)＝0得x＝1，所以函数f (x)在(0，＋∞)上只有一个零点，又f＝ln ＝ln 2>0，与图象不符，故A选项错误；对于B选项，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x)＝|2－x－2x|ln |x|＝f (x)，是偶函数，当x>0时，f (x)＝|2x－2－x|ln x，令f (x)＝0得x＝1，所以函数f (x)在(0，＋∞)上只有一个零点，当0<x<1时，ln x<0，f (x)<0，满足图象，故B选项正确；对于C选项，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x)＝x2－|x|＝f (x)，是偶函数，当x>0时，f (x)＝x2－x，满足图象，故C选项正确．故选BC． 9．[多选题]f (x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示，令g(x)＝af (x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是(　　) A．若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称 B．若a＝－1，－2<b<0，则方程g(x)＝0有大于2的实根 C．若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有两个实根 D．若a≥1，－2<b<2，则方程g(x)＝0有三个实根 答案：BD 解析：当a<0时，f (x)关于原点对称，根据图象平移知g(x)＝af (x)＋b关于点(0，b)对称，A错误；当a＝－1时，方程g(x)＝0⇔f (x)＝b，－2<b<0，由f (x)的图象知，f (x)＝b在x∈(2，c)上有一个交点，故B正确；当a≠0，b＝2时，g(x)＝0⇔f (x)＝－，若使方程g(x)＝0有两个根，由图知，必有－＝±2⇒a＝±1，其他的非零a值均不满足，故C错误；当a≥1，－2<b<2时，g(x)＝0⇔f (x)＝－∈(－2，2)，由图知有三个交点，故D正确．故选BD． 10．设函数f (x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f (x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案：[－1，＋∞) 解析：如图，作出函数f (x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)． 11．(2024·上海虹桥模拟)已知函数f (x)＝2x－x－1，则不等式f (x)>0的解集是_____________． 答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：因为f (x)＝2x－x－1，所以f (x)>0等价于2x>x＋1，在同一直角坐标系中作出y＝2x和y＝x＋1的图象如图： 两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，由图可知：当x<0或x>1时，2x>x＋1成立，所以不等式f (x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 12．(新角度)函数f (x)的定义域为(－1，1)，其图象如图所示．函数g(x)是定义域为R的奇函数，满足g(2－x)＋g(x)＝0，且当x∈(0，1)时，g(x)＝f (x)．给出下列三个结论： ①g(0)＝0； ②函数g(x)在(－1，5)上有且仅有3个零点； ③不等式f (－x) <0的解集为{x|－1<x<0}. 其中，正确结论的序号是________． 答案：①③ 解析：对于①，由g(x)是定义域为R的奇函数可得g(0)＝0，所以①正确；对于②，依题意得g(x)在[0，1)上有唯一的零点x＝0，因为g(2－x)＋g(x)＝0，g(－x)＋g(x)＝0，所以g(2－x)＝g(－x)，可知函数g(x)是以2为周期的函数，则g(4)＝g(2)＝g(0)＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(1)，即g(－1)＝g(1)＝0，则有g(5)＝g(3)＝g(1)＝0， 可知函数g(x)在(－1，5)上有且仅有5个零点，如图所示，所以②不正确；对于③，结合f (x)的图象可知，令f (－x) <0，则0<－x<1，得－1<x<0，因此不等式f (－x) <0的解集为{x|－1<x<0}，所以③正确．综上所述，正确结论的序号是①③. (每小题8分，共16分) 13．(2024·北京海淀统考一模)已知二次函数f (x)，对任意的x∈R，有f (2x)<2f (x)，则f (x)的图象可能是(　　) 答案：A 解析：因为对任意的x∈R，有f (2x)<2f (x)，令x＝0，则f (0)<2f (0)，所以f (0)>0，排除C，D；设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f (0)＝c>0，所以f (2x)＝4ax2＋2bx＋c，2f (x)＝2ax2＋2bx＋2c，由f (2x)<2f (x)可得4ax2＋2bx＋c<2ax2＋2bx＋2c，则2ax2－c<0，所以c>2ax2对任意的x∈R恒成立，则c>0，2a<0，故排除B．故选A． 14．(数学建模)[多选题]如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用)．由于目前本条线路亏损，公司有关人员为扭亏为盈，分别提出了将图①变为图②与图③的两种建议．下列关于两种建议说法中正确的是(　　) A．图②的建议是：支出不变，只提高票价 B．图②的建议是：只减少支出，票价不变 C．图③的建议是：减少支出，同时提高票价 D．图③的建议是：支出不变，只提高票价 答案：BD 解析：对于AB，由图②可知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是减少支出而保持票价不变，故A错误，B正确；对于CD，由图③可知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持支出不变，故C错误，D正确．故选BD． (每小题12分，共24分) 15．(2024·河南新乡三模)设函数f (x)的定义域为R，满足f (x－2)＝2f (x)，且当x∈(0，2]时，f (x)＝x(2－x)．若对任意x∈[a，＋∞)，都有f (x)≤成立，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为当x∈(0，2]时，f (x)＝x(2－x)，f (x－2)＝2f (x), 所以f (x)＝f (x－2)，即若f (x)在(0，2]上的点的横坐标增加2，则对应y值变为原来的；若减少2，则对应y值变为原来的2倍．当x∈(0，2]时，f (x)＝x(2－x)＝－(x－1)2＋1，f (x)max＝f (1)＝1，故当a<0时，对任意x∈[a，＋∞)，f (x)≤不成立，当x∈(2，4]时，f (x)＝f (x－2)＝(x－2)[2－(x－2)]＝－(x－3)2＋∈，同理当x∈(4，6]时，f (x)＝f (x－4)＝f[(x－2)－2]＝＝－(x－5)2＋∈，以此类推，当x>4时，必有f (x)≤.函数f (x)和函数y＝的图象如图所示： 因为当x∈(2，4]时，f (x)＝－(x－3)2＋∈， 令－(x－3)2＋＝，解得x1＝，x2＝，因为当x∈[a，＋∞)时，f (x)≤成立，所以a≥.故选A． 16．(2024·北京房山一模)设函数f (x)＝给出下列四个结论：①函数f (x)的值域是R；②∀a>1，方程f (x)＝a恰有3个实数根；③∃x0∈R＋，使得f (－x0)－f (x0)＝0；④若实数x1<x2<x3<x4，且f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)，则(x1＋x2)(x3－x4)的最大值为4e－.其中所有正确结论的序号是__________． 答案：②③④ 解析：因为函数f (x)＝其图象如下图所示： 对于①，由图可知，函数f (x)的值域不是R，故①不正确；对于②，由图可知，∀a>1，方程f (x)＝a恰有3个实数根，故②正确；对于③，当∃x0∈R＋时，使得f (－x0)＝f (x0)成立，即y＝x2－4x＋1与y＝|ln x|有交点，这显然成立，故③正确；对于④，若x1<x2<x3<x4，且f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)时，由图可知＝－2，即x1＋x2＝－4，|ln x3|＝|ln x4|，即－ln x3＝ln x4，x3＝，所以(x1＋x2)(x3－x4)＝－4，由图可知，x4∈(1，e]，而y＝－x在x∈(1，e]上单调递减，所以－x4∈，所以＝－4∈，则(x1＋x2)(x3－x4)的最大值为4e－，故④正确．故答案为②③④. 学生用书↓第48页 学科网（北京）股份有限公司 $$