2.7 指数运算与指数函数（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.7　指数运算与指数函数 【课程标准】　1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．　 2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　 3．会画指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点等性质，并能简单应用． 1．指数幂的拓展 微提醒　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2．指数幂的运算性质 aα·aβ＝aα＋β； (aα)β＝aαβ_;_(ab)α＝aαbα (a>0，b>0，α∈R，β∈R)． 微提醒　(1)指数幂的运算性质中，底数大于0，否则不能用性质进行运算．(2)幂指数不能随意约分． 3．指数函数及其性质 (1)概念：y＝ax(a>0，且a≠1)是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.函数值大于0. 学生用书↓第35页 (2)指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性 质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在R上是增函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 微提醒　当底数a大小不确定时，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质． 【记牢常用结论】 1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2．y＝ax(a>0，且a≠1)的图象特征： 如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内图象越高，底数越大；在第二象限内图象越高，底数越小． 3．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝x的图象关于y轴对称． 1．[多选题]下列根式与分数指数幂的互化中正确的有(　　) A．x＝－ B．＝x C．x－y＝ D．＝a 答案：BCD 解析：对于A，－＝－x，故A不正确；对于B，＝＝＝x，故B正确；对于C，x－y＝·＝(x>0，y>0)，故C正确；对于D，＝＝ ＝＝a，故D正确．故选BCD． 2．(链接人A必修一P119T6)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 答案：C 解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，y＝0.75x在(－∞，＋∞)上是减函数，且3.5＞2.7，0.1>0，故1.013.5＞1.012.7＞1＝0.750＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C． 3．(2023·山东潍坊二模)已知函数f (x)＝x－3x，则f (x)＝(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 答案：C 解析：函数的定义域为R，因为f (－x)＝3x－x＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，又因为函数y＝x，y＝－3x在R上都是减函数，所以函数f (x)＝x－3x在R上是减函数．故选C． 4．(链接北师必修一P80B组T3)已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________． 答案：7　47 解析：由a＋a＝3，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7，则a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47. 考点一　指数幂运算基础练 计算： (1)(－1.8)0＋－2·－＋；(2)·(a>0，b>0)． 解：(1)(－1.8)0＋－2·－＋＝1＋()2·()－10＋9 ＝1＋2·2－10＋33＝1＋1－10＋27＝19. (2)－·＝4×0.12×＝2××8＝. 学生用书↓第36页 规律方法 指数幂运算的一般原则 1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． 3．底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． 4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 5．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　　 对点练1．(1)化简4ab÷的结果为(　　) A．－ B．－ C．－ D．6ab (2)若a＞0，且ax＝3，ay＝5，则a等于(　　) A．9＋ B． C．9 D．6 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)4ab÷＝ ab＝－6ab－1＝－.故选C． (2)因为ax＝3，ay＝5，所以a＝(ax)2·(ay)＝32×5＝9.故选C． 考点二　指数函数的图象及应用 综合练 (1)[多选题](2024·福建福州调研)已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，下列等式可以成立的是(　　) A．a＝b＝0 B．a＜b＜0 C．0＜a＜b D．0＜b＜a (2)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________． 答案：(1)ABD　(2){0}∪[1，＋∞) 解析：(1)如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0，故选ABD． (2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，即方程有一解． 故k的取值范围为{0}∪[1，＋∞)． [变式探究] 1．(变条件)若本例(2)的条件变为：方程3|x|－1＝k有两解，则k的取值范围为________． 答案：(0，＋∞) 解析：作出函数y＝3|x|－1与y＝k的图象如图所示，数形结合可得k＞0. 2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是________． 答案：(－∞，－1] 解析：作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如图所示．由图象知1＋k≤0，即k≤－1，故k的取值范围为(－∞，－1]． 规律方法 处理与指数函数图象有关问题的策略 　　 对点练2．(2024·湖北武汉开学考)设函数f (x)＝3x＋b，函数f (x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f (b)－f (b－1)的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由函数f (x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，所以g(b)＝f (b)－f (b－1)＝3b－3b－1＝3b·＝·3b<·3－1＝，又因为·3b>0，所以g(b)＝f (b)－f (b－1)的取值范围为.故选A． 考点三　指数函数的性质及应用多维练 角度1　比较指数式大小 (1)(2024·江苏苏州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b (2)[多选题](2024·湖南长沙期末)若3x－3y<4－x－4－y，则下列结论正确的是(　　) A．< B．x<y C．2－y<2－x D．y－3>x－3 答案：(1)B　(2)BC 解析：(1)因为函数y＝0.3x在R上是减函数，所以0＜0.30.7＜0.30.3＜0.30＝1，又因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3＜0.7，所以0＜0.30.3＜0.70.3，所以0＜a＜b＜1，而函数y＝1.2x是R上的增函数，所以c＝1.20.3＞1.20＝1，所以c＞b＞a.故选B． (2)由3x－3y<4－x－4－y变形得到3x－4－x<3y－4－y，令f (x)＝3x－4－x，显然f (x)在R上为增函数，所以x<y，显然B正确；对于A选项，若x<0或y<0时，A不满足要求，舍去；对于C选项，－x>－y，故2－y<2－x，故C正确；对于D选项，不妨设x＝2，y＝3，则3－3<2－3，即y－3<x－3，故D错误．故选BC． 角度2　解简单的指数方程或不等式 (1)设a为实数，若关于x的方程4x＋2x＋1＋a＝0有实数解，则a的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] 学生用书↓第37页 (2)若2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　　) A． B． C． D． 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)因为4x＋2x＋1＋a＝0，所以－a＝4x＋2x＋1＝(2x)2＋2×2x，令t＝2x(t>0)，则－a＝t2＋2t(t>0)，要想方程4x＋2x＋1＋a＝0有实数解，只需y＝－a与f (t)＝t2＋2t有交点即可；设f (t)＝t2＋2t＝(t＋1)2－1，当t>0时，f (t)单调递增，所以f (t)>f (0)＝0，即－a>0时，解得a<0，故a的取值范围是(－∞，0).故选C． (2)因为x－2＝2x－4，所以2x2＋1≤x－2可化为2x2＋1≤2x－4＝24－2x，由指数函数的单调性可得x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2－3≤2x≤21，故函数y＝2x的值域是.故选B． 角度3　指数函数性质的综合应用 已知函数f (x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)． (1)当a＝－1时，若对任意的x∈[1，2]，都有f (2x)≥mf (x)成立，求实数m的取值范围； (2)当f (x)为偶函数时，若关于x的方程f (2x)＝mf (x)有实数解，求实数m的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f (x)＝2x－在[1，2]上单调递增，所以当x∈[1，2]时，f (x)＝2x－∈，对任意的x∈[1，2]都有f (2x)≥mf (x)成立，可转化为22x－≥m恒成立，即m≤2x＋对x∈[1，2]恒成立，令t＝2x，t∈[2，4]，则m≤h(t)＝t＋恒成立，即m≤h(t)min， 由对勾函数的性质知h(t)＝t＋在[2，4]上单调递增，故h(t)min＝h(2)＝， 所以m的取值范围是. (2)当f (x)为偶函数时，对∀x∈R都有f (－x)－f (x)＝0，即－＝0恒成立，即＝0恒成立， 所以－1＝0，解得a＝1，则f (x)＝2x＋，故由f (2x)＝mf (x)可得22x＋＝m有实数解， 令t＝2x＋≥2＝2(当x＝0时取等号)，则22x＋＝2－2＝t2－2， 所以t2－2＝mt，即m＝t－在t∈[2，＋∞)上有实数解， 而m＝t－在t∈[2，＋∞)上单调递增，所以m≥1. 规律方法 1．比较指数式大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小． (2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小． 2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化． 3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．　　 对点练3．(1)(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c (2)[多选题]已知函数f (x)＝＋a(x∈R)为奇函数，则下列结论正确的是(　　) A．a＝－ B．f (x)为R上的增函数 C．f (x)>0的解集为(－∞，0) D．f (x)的值域为 (3)已知函数f (x)＝()，若f (x)有最大值3，则a的值为________． 答案：(1)D　(2)AC　(3)1 解析：(1)由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5<b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5>c＝0.60.5，所以b>a>c.故选D． (2)对于A，因为函数f (x)＝＋a(x∈R)为奇函数，所以f (0)＝0，即＋a＝0，解得a＝－， 此时f (x)＝－，则f＝－＝－＝－＝－f (x)，符合题意，故a＝－，故A正确；对于B，因为y＝2x＋1在定义域上单调递增，且2x＋1>1，又y＝在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝－在定义域R上单调递减，故B错误；对于C，由f (x)>0，即－>0，所以>，即2x＋1<2，即2x<1，解得x<0，所以不等式f (x)>0的解集为(－∞，0)，故C正确；对于D，因为2x＋1>1，所以0<<1，所以－<－<，即f (x)的值域为，故D错误．故选AC． (3)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f (x)＝g(x)，因为f (x)有最大值3，所以g(x)有最小值－1， 则解得a＝1. 课时测评12　指数运算与指数函数 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．式子＋的值为(　　) A．7－2π B．2π－7 C．－1 D．1 答案：A 解析：＋＝|π－4|＋3－π＝4－π＋3－π＝7－2π.故选A． 2．函数f (x)＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 答案：C 解析：因为函数f (x)＝ax－a(a>0，且a≠1)，当a>1时，y＝ax是增函数，并且恒过定点(0，1)，又因为f (x)＝ax－a的图象在y＝ax的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；当0<a<1时，y＝ax是减函数，并且恒过定点(0，1)，又f (x)＝ax－a的图象在y＝ax的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误．故选C． 3．若<a<b，则有(　　) A．a<b<1 B．b>a>1 C．b<a<1 D．a>b>1 答案：C 解析：因为函数y＝x在R上是减函数，又<a<b，所以b<a<1.故选C． 4．已知函数f (x)＝ax－4－(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则mn＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为指数函数y＝ax过定点(0，1)，所以f (x)＝ax－4－(a>0，且a≠1)的图象过定点(4，)，所以m＝4，n＝，所以mn＝，所以mn＝＝＝()3＝.故选D． 5．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的(　　) A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1 000倍 答案：B 解析：设老师上课声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，根据题意得d(x1)＝9lg＝63，解得x1＝10－6.d(x2)＝9lg＝54，解得x2＝10－7，所以＝10，因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B． 6．(新考法)不等式ex2－x－1>2＋e＋x－x2的解集为(　　) A．(－1，2)∪(2，＋∞) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案：D 解析：构造函数f (x)＝ex＋x，易知函数f (x)在R上为单调递增函数．因为不等式ex2－x－1>2＋e＋x－x2等价于ex2－x－1＋(x2－x－1) >e＋1，又f (1)＝e＋1，所以f (x2－x－1)>f (1)，所以由函数f (x)的单调性知x2－x－1>1，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞).故选D． 7．[多选题](2024·黑龙江哈尔滨二模)点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当x1∈[0，1)，则可能等于(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．0 答案：BC 解析：由表示点M(x1，y1)与点A(1，－1)所成直线的斜率k，又M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0，1)部分图象上的动点，如右图，B(1，e)，则k∈(－∞，－2]，只有B，C满足．故选BC． 8．[多选题](2024·浙江杭州期末)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f (x)的图象关于原点对称 B．函数f (x)的图象关于y轴对称 C．函数f (x)的值域为(－1，1) D．函数f (x)是减函数 答案：AC 解析：f (x)的定义域为R，f (x)＝，则f＝＝－＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，f (x)的图象关于原点对称，故A正确，B错误；f (x)＝＝1－，因为2x＋1>1，所以0<<1，0<<2，所以－1<1－<1，故f (x)的值域为(－1，1)，故C正确；设x2>x1，则f (x2)－f (x1)＝－＝－＝，因为x2>x1，所以2－2>0，2x1＋1>0，2＋1>0，所以f (x2)－f (x1)>0，即f (x2)>f (x1)，所以函数f (x)是增函数，故D错误．故选AC． 9．[多选题]对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f (x)＝x的定义域为[0，2]，g(x)＝f (2x)＋f (x)，则下列结论正确的是(　　) A．m＝1，n＝2 B．g(x)的定义域为[0，1] C．g(x)的值域为[2，6] D．g(x)的值域为[2，20] 答案：ABC 解析：对于A，令x－1＝0，得x＝1，此时y＝(a－1)0＋1＝2，所以函数y＝(a－1)x－1＋1的图象过定点A(1，2)，即m＝1，n＝2，故A正确；对于B，因为m＝1，n＝2，所以f (x)＝x＝2x，x∈[0，2]，所以g(x)＝f＋f (x)＝22x＋2x，由得0≤x≤1，所以g(x)的定义域为[0，1]，故B正确；对于C，D，易知g(x)在[0，1]上单调递增，所以当x＝0时，g(x)取得最小值2，当x＝1时，g(x)取得最大值6，所以g(x)的值域为[2，6]，故选项C正确，选项D错误．故选ABC． 10．已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[0，2]上的最大值比最小值大，则a＝____________． 答案：或 解析：当a>1时，f (x)＝ax在[0，2]上的最大值为a2，最小值为a0＝1，故a2－1＝，解得a＝或－(舍去)；当0<a<1时，f (x)＝ax在[0，2]上的最大值为a0＝1，最小值为a2，故1－a2＝，解得a＝或－(舍去)．综上，a＝或. 11．(新设问)(2024·湖南长沙二模)已知函数f (x)满足f (x－y)＝，且f (1)<f (3)，请写出一个符合上述条件的函数f (x)＝___________． 答案：2x(答案不唯一) 解析：令f (x)＝2x，显然f (x)＝2x在定义域上单调递增，满足f (1)<f (3)，且f (x－y)＝2x－y＝，即满足f (x－y)＝，所以f (x)＝2x符合题意． 12．(2024·上海模拟)设f (x)＝x.若函数y＝f (x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，则关于x的不等式ax≥f (a)的解集为__________． 答案：[1，＋∞) 解析：若a≤0，对任意的x∈R，2x－a>0，则函数f (x)的定义域为R，不符合题意，所以a>0，由2x－a≠0可得x≠log2a，因为函数y＝f (x)的定义域为{x|x≠1}，所以log2a＝1，解得a＝2，所以f (x)＝x，则f (a)＝f (2)＝2＝2，由ax≥f (a)可得2x≥2，解得x≥1.因此，不等式ax≥f (a)的解集为[1，＋∞). 13．(20分)已知定义域为R的函数f (x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数． (1)求实数k的值； (2)若f (1)<0，判断函数f (x)的单调性，若f (m2－2)＋f (m)>0，求实数m的取值范围． 解：(1)因为f (x)是定义域为R的奇函数， 所以f (0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0， 所以k＝2， 经检验k＝2符合题意，所以k＝2. (2)f (x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)， 因为f (1)<0，所以a－<0， 又a>0，且a≠1， 所以0<a<1， 从而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增， 故由单调性的性质可判断f (x)＝ax－a－x在R上单调递减， 不等式f (m2－2)＋f (m)>0可化为f (m2－2)>f (－m)， 所以m2－2<－m，即m2＋m－2<0， 解得－2<m<1， 所以实数m的取值范围是(－2，1)． 14．(20分)已知函数f (x)＝4a×9x＋(8a－3)×3x－1＋a－(a∈R)． (1)若a＝，求f (x)的值域； (2)若a>，存在实数m，n(m<n)，当f (x)的定义域为[m，n]时，f (x)的值域为[3m＋1，3n＋1]，求实数a的取值范围． 解：(1)若a＝，则f (x)＝9x－3x－1－， 令u＝3x，u∈(0，＋∞)， 则y＝u2－－，u∈(0，＋∞)，二次函数开口向上，对称轴为u＝， 所以当u＝时，ymin＝2－×－＝－1，所以f (x)的值域为[－1，＋∞). (2)因为a>，所以f (x)在R上单调递增， 所以当f (x)的定义域为[m，n]时，f (x)的值域为[f (m)，f (n)]，即 即f (x)＝3x＋1在R上有两个不同的实数解， 即4a×9x＋×3x＋－＝0在R上有两个不同的实数解， 令t＝3x，t∈(0，＋∞)，所以4at2＋t＋－＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实数解， 所以 解得<a<1，所以实数a的取值范围为. 学生用书↓第38页 学科网（北京）股份有限公司 $$