2.5 函数性质的综合应用(培优课1)（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.5　函数性质的综合应用(培优课1) 　　函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 类型一　函数的奇偶性与单调性 (1)(2023·云、皖、黑、吉四省联考)已知f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A．f (f (1))<f (f (2)) B．f (g(1))<f (g(2)) C．g(f (1))<g(f (2)) D．g(g(1))>g(g(2)) (2)(2024·湖北武汉模拟)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，有>0，若f (1)＝0，则不等式(x－1)f (x)>0的解集是(　　) A．(－1，1)∪(1，＋∞) B．(－1，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1) 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)因为f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f (x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f (1)<f (2)，g(0)＝0>g(1)>g(2)，所以f (g(1)) <f (g(2))，g(f (1))>g(f (2))，g(g(1)) <g(g(2))，所以B正确，C，D错误；若| f (1)|>| f (2)|，则f (f (1))>f (f (2))，A错误．故选B． (2)已知f (x)是定义在R上的偶函数，则f (x)＝f (－x)，又对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0，所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，则函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，又f (1)＝0，所以f (－1)＝f (1)＝0，根据函数f (x)的单调性可知：(x－1)f (x)>0等价为或即或解得x>1或－1<x<1，即不等式的解集为(－1，1)∪(1，＋∞).故选A． 规律方法 奇偶性与单调性的综合问题及解题方法 对点练1．(1)(2024·天津红桥二模)已知f (x)是定义在R上的偶函数且在[0，＋∞)上为减函数，若a＝f，b＝f (0.91.1)，c＝f (0.91.2)，则(　　) A．c>b>a B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a (2)(2024·河南商丘模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，f (3)＝0，且f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则不等式<0的解集为(　　) A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3) C．(－3，0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3) 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)因为f (x)是偶函数，所以a＝f＝f (－log23)＝f (log23)，因为log23>log22＝1，由指数函数的性质知，函数y＝0.9x在R上单调递减，且1.1<1.2，所以1>0.91.1>0.91.2>0，所以log23>1>0.91.1>0.91.2>0，因为f (x)在[0，＋∞)上为减函数，所以f (log23) <f (0.91.1) <f (0.91.2)，即c>b>a.故选A． (2)因为f (x)是定义在R上的奇函数，f (3)＝0，且f (x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f (－3)＝0，f (x)在(－∞，0)上单调递增，由<0，得<0，即xf (x)>0，当x>0时，由f (x)>0＝f (3)，得x>3，当x<0时，由f (x)<0＝f (－3)，得x<－3，所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞).故选A． 学生用书↓第29页 类型二　函数的奇偶性与周期性 (1)[多选题]已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x)＝f (x＋2)，则以下说法正确的是(　　) A．f (0)＝0 B．f (x)的周期为2 C．f (2 023)＝1 D．f (3)＝f (4)＋f (5) (2)已知定义在R上的奇函数f (x)，满足f (x＋1)是偶函数，且当x∈(0，1]时，f (x)＝x2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．1 012 答案：(1)ABD　(2)B 解析：(1)因为函数f (x)是R上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (x)＝－f (－x)，故A正确；因为f (x)＝f (x＋2)，所以f (x)的周期为2，故B正确；由f (x)＝－f (－x)＝f (x＋2)，令x＝－1，则－f (1)＝f (1)，所以f (1)＝0，所以f (2 023)＝f (1)＝0，故C错误；f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，f (4)＝f (0)＝0，所以f (3)＝f (4)＋f (5)＝0，故D正确．故选ABD． (2)因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (x)＝－f (－x)①，且f (0)＝0，又f (x＋1)是偶函数，所以f (x＋1)＝f (－x＋1)，即f (x)＝f (2－x)②，所以f (2)＝f (0)＝0，由①②可得：－f (－x)＝f (2－x)，所以－f (2－x)＝f (4－x)，则f (－x)＝f (4－x)，则函数f (x)的周期为4，当x∈(0，1]时，f (x)＝x2，则f (1)＝1，所以f (－1)＝－f (1)＝－1＝f (3)，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＝506[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (0)＝0.故选B． 规律方法 奇偶性与周期性综合问题的解题策略 　　 对点练2．(2024·江西萍乡期末)已知偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，且当x∈[0，1]时，f (x)＝cos x，则x∈[2 023，2 024]时，f (x)的解析式为(　　) A．f (x)＝sin x B．f (x)＝sin πx C．f (x)＝sin 2x D．f (x)＝cos x 答案：D 解析：设x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，所以f (－x)＝cos ＝cos x，因为f (x)为偶函数，所以f (x)＝f (－x)＝cos x，x∈[－1，0].因为f (x＋2)＝f (x)，即函数f (x)的周期为2，设x∈[2 023，2 024]，则x－2 024∈[－1，0]，所以f (x)＝f (x－2 024)＝cos ＝cos ＝cos x，x∈[2 023，2 024].故选D． 类型三　函数的奇偶性与对称性 (1)(2024·辽宁丹东期末)设函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)是奇函数 B．f (x)是偶函数 C．f (x)的图象关于点(0，1)中心对称 D．f (x)的图象关于直线x＝1轴对称 (2)[多选题]已知定义域为R的函数f (x)满足f (－x)＋f (x)＝0，且f (1－x)＝f (1＋x)，则下列结论一定正确的是(　　) A．f (x＋2)＝f (x) B．函数y＝f (x)的图象关于点(2，0)对称 C．函数y＝f (x＋1)是偶函数 D．f (2－x)＝f (x－1) 答案：(1)C　(2)BC 解析：(1)对于选项A，f (－x)＝≠－f (x)，则f (x)不是奇函数，故A错误；对于选项B，f (－x)＝≠f (x)，则f (x)不是偶函数，故B错误；对于选项C，f (x)＋f (－x)＝＋＝＝2，故f (x)的图象关于点(0，1)中心对称，故C正确；对于选项D，f (2－x)＝≠f (x)，则f (x)的图象不关于直线x＝1轴对称，故D错误．故选C． (2)对于选项A，因为f (－x)＋f (x)＝0，且f (1－x)＝f (1＋x)，则f (1－(1＋x))＝f (1＋(1＋x))，即f (x＋2)＝－f (x)，故A错误；对于选项B，因为f (x＋2)＝－f (x)，则f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，因为f (－x)＋f (x)＝0，则f (－(2＋x))＋f (2＋x)＝0，即f (2＋x)＝－f (－2－x)＝－f (2－x)，即f (2＋x)＋f (2－x)＝0，故函数y＝f (x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确；对于选项C，因为f (1－x)＝f (1＋x)，故函数y＝f (x＋1)是偶函数，故C正确；对于选项D，因为f (1－x)＝f (1＋x)，则f (1－(x－1))＝f (1＋(x－1))，即f (2－x)＝f (x)，没有条件能说明f (x)＝f (x－1)，故D错误．故选BC． 规律方法 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．　　 对点练3．[多选题]已知f (x)是定义在R上的偶函数，满足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)在[－2，0]上单调递减，则下列所给结论中正确的是(　　) A．f (3)>f B．f (3)<f C．f>f (－1) D．f<f (－1) 答案：AC 解析：对于AB，因为f (2＋x)＝f (2－x)，所以f (3)＝f (1)，又f (x)为偶函数，则f (1)＝f (－1)，因为f (x)在[－2，0]上单调递减，所以f (－1)>f，从而f (3)>f，因此选项A正确，B错误；对于CD，因为f (2＋x)＝f (2－x)，所以f＝f，因为f (x)为偶函数，所以f＝f，因为f (x)在[－2，0]上单调递减，所以f>f (－1)，所以f>f (－1)，所以选项C正确，D错误．故选AC． 类型四　函数的对称性与周期性 (1)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋3)＝f (x－3)，且y＝f (x＋3)为偶函数，若f (x)在(0，3)上单调递减，则下面结论正确的是(　　) A．f (－4.5) <f (3.5) <f (12.5) B．f (3.5)<f (12.5)<f (－4.5) C．f (12.5)<f (3.5)<f (－4.5) D．f (3.5)<f (－4.5)<f (12.5) (2)(2024·北京大兴三模)已知函数f (x)对任意x∈R都有f (x＋2)＝－f (x)，且f (－x)＝－f (x)，当x∈(－1，1]时，f (x)＝x3.则下列结论正确的是(　　) 学生用书↓第30页 A．函数y＝f (x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)对称 B．函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2k(k∈Z)对称 C．当x∈[2，3]时，f (x)＝(x－2) 3 D．函数y＝|(f (x))|的最小正周期为2 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)由f (x＋3)＝f (x－3)得f (x＋6)＝f (x)，所以T＝6，又y＝f (x＋3)为偶函数，所以f (x)的图象关于x＝3对称，所以f (3.5)＝f (2.5)，f (－4.5)＝f (1.5)，f (12.5)＝f (0.5)，又f (x)在(0，3)上单调递减，所以f (2.5)<f (1.5)<f (0.5)，即f (3.5)<f (－4.5)<f (12.5)．故选D． (2)因为f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x)＝－f (x－2)，故f (x＋2)＝f (x－2)，所以f (x)的周期为4，又f (－x)＝－f (x)，所以f (－x)＝f (x－2)，故f (x)关于x＝－1对称，又当x∈(－1，1]时，f (x)＝x3，故画出f (x)的图象如下： A选项，函数y＝f (x)的图象不关于点(1，0)中心对称，故A错误；B选项，函数y＝f (x)的图象不关于直线x＝2对称，故B错误；C选项，当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f (x)＝－f (x－2)＝－(x－2)3，故C错误；D选项，由图象可知y＝f (x)的最小正周期为4，又|f (x＋2)|＝|－f (x)|＝|f (x)|，故y＝|f (x)|的最小正周期为2，故D正确．故选D． 规律方法 综合应用对称性与周期性解题的技巧 　　函数f (x)满足的关系f (a＋x)＝f (b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f (x)满足的关系f (a＋x)＝f (b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．　　 对点练4．(新设问)(2024·湖南长沙三模)定义在R上的非常数函数f (x)满足：f (－x)＝f (x)，且f (2－x)＋f (x)＝0.请写出符合条件的一个函数的解析式____________． 答案：y＝cos x(答案不唯一) 解析：因为f (2－x)＋f (x)＝0，且f (－x)＝f (x)得出对称中心(1，0)，对称轴为y轴，且周期为4的函数都可以． 课时测评10　函数性质的综合应用(培优课1) (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－10，每小题6分，11－14，每小题10分，共100分) 1．(原创题)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，周期为4，且f (1)＝1，则f (2 022)＋f (2 023)＋f (2 024)＝(　　) A．1 B．2 C．0 D．－1 答案：D 解析：因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，f (－x)＝－f (x)，由函数f (x)的周期为4，得f (x＋4)＝f (x)，所以f (－2)＝f (2)＝－f (－2)，则f (－2)＝f (2)＝0，又f (1)＝1，所以f (2 022)＋f (2 023)＋f (2 024)＝f (2)＋f (－1)＋f (0)＝0－f (1)＋0＝－1.故选D． 2．(2024·山东泰安模拟)下列函数中，为奇函数且在(0，1)上为减函数的是(　　) A．f (x)＝4x＋ B．f (x)＝x＋sin x C．f (x)＝ D．f (x)＝ 答案：C 解析：对于选项A，为双勾函数，奇函数，但在上单调递减，在上单调递增，故A错误；对于选项B，定义域是R，f (－x)＝－x＋sin (－x)＝－x－sin x＝－f (x)，是奇函数，f′(x)＝1＋cos x≥0，所以在R上单调递增，故B错误；对于选项C，因为2x－1≠0，x≠0，所以定义域是{x|x≠0}，f＝＝＝－f (x)，是奇函数，f (x)＝＝1＋在(0，＋∞)上单调递减，故C正确；对于选项D，因为1－x2≥0，x2≤1，定义域是[－1，1]，f (－x)＝＝f (x)，是偶函数，故D错误．故选C． 3．已知f (x)是定义在R上的奇函数，f (x＋3)＋f (3－x)＝0，且当－3<x<0时，f (x)＝2－x＋2，则f (2 024)＝(　　) A．16 B．－2 C．0 D．－16 答案：D 解析：因为函数f (x)满足f (x＋3)＋f (3－x)＝0，可得f (x)＋f (6－x)＝0，又因为函数f (x)为奇函数，所以f (x)＋f (－x)＝0，所以f (6－x)＝－f (x)＝f (－x)，即f (x＋6)＝f (x)，所以函数f (x)是周期为6的周期函数，因为当－3<x<0时，f (x)＝2－x＋2，且函数f (x)为奇函数，可得f (2 024)＝f (337×6＋2)＝f (2)＝－f (－2)＝－24＝－16.故选D． 4．(2023·山东潍坊三模)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为偶函数，f (x＋4)＝f (－x)，则(　　) A．函数f (x)为偶函数 B．f (3)＝0 C．f ＝－f D．f (2 023)＝0 答案：A 解析：因为f (x＋1)为偶函数，所以f (x＋1)＝f (－x＋1)，所以f (x)的图象关于x＝1对称，所以f (x＋12)＝f (－x).又因为f (x＋4)＝f (－x)，所以f (x)的图象关于x＝2对称，所以由得f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为2的函数．由得f (－x)＝f (x)，所以f (x)为偶函数，故A正确；f (2 023)＝f (1)＝f (3)，但无法确定其具体的值，故B，D错误；f ()＝f ()，故C错误．故选A． 5．(2024·广东广州模拟)设函数f (x)＝(a－1)x|x－b＋1|为奇函数且在R上为减函数，则关于a，b的值表述正确的是(　　) A．a>1，b＝1 B．a>1，b<1 C．a<1，b＝1 D．a<1，b>1 答案：C 解析：因为函数f (x)＝(a－1)x|x－b＋1|为R上的奇函数，且单调递减，所以a－1≠0且f (－1)＝－f (1)，即－(a－1)|－b|＝－(a－1)|2－b|，所以|－b|＝|2－b|，解得b＝1，经检验符合题意，故f (x)＝(a－1)x|x|＝因为函数f (x)＝(a－1)x|x|在R上为减函数，所以a－1<0，所以a<1.故选C． 6．已知函数f (x＋1)是偶函数，当1<x1<x2时，f (x2)－f (x1)>0恒成立，设a＝f，b＝f (2)，c＝f (3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c 答案：D 解析：因为当1<x1<x2时，f (x2)－f (x1)>0恒成立，即f (x2)>f (x1)恒成立，所以f (x)在(1，＋∞)上单调递增，因为f (x＋1)是偶函数，所以f (x)的图象关于x＝1对称，因为a＝f＝f，b＝f (2)，c＝f (3)，2<<3，所以f (2)<f<f (3)，即f (2)<f<f (3)，所以b<a<c.故选D． 7．(2024·陕西西安模拟)已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，f (x)为偶函数且f (x)＋f (x＋2)＝3，g(x)＋g(10－x)＝2，则 [ f (i)＋g(i)]＝(　　) A．21 B．22 C． D． 答案：C 解析：因为f (x)为偶函数且f (x)＋f (x＋2)＝3，则f (－x)＋f (x＋2)＝3，故f (x)关于点对称，又因为f (x＋2)＋f (x＋4)＝3，则f (x)＝f (x＋4)，则f (x)是周期为4的周期函数，故f (x)关于点对称，所以f (x)＋f (10－x)＝3，则＝[f (1)＋f (9)]＋[f (2)＋f (8)]＋[f (3)＋f (7)]＋[f (4)＋f (6)]＋[f (5)＋f (5)]＝3×4＋＝，又因为g(x)＋g(10－x)＝2，则＝[g(1)＋g(9)]＋[g(2)＋g(8)]＋[g(3)＋g(7)]＋[g(4)＋g(6)]＋[g(5)＋g(5)]＝2×4＋1＝9，故[ f (i)＋g(i)]＝f (i)＋g(i)＝＋9＝.故选C． 8．[多选题](2024·福建福州期末)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，且对∀x∈R，f (x＋4)＝f (－x)恒成立，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)为奇函数 B．f (3)＝0 C．f ＝－f D．f (x)是以8为周期的函数 答案：BCD 解析：因为f (x＋1)为奇函数，所以f (1－x)＝－f (1＋x)，故又f (x＋4)＝f (－x)，所以f (2＋x)＝f (2－x)，故f (x＋2)＝－f (－x)＝－f (x)，所以f (－x)＝f (x)，f (x)为偶函数，故A错误；因为f (x＋1)为奇函数，所以f (1)＝0，f (2＋x)＝f (2－x)，所以f (3)＝f (1)＝0，故B正确；f＝f，又f (x)的图象关于点(1，0)对称，所以f＝－f，所以f＝－f，故C正确；又f (x＋4)＝f (－x)＝f (x)，则f (x＋8)＝f (x)，所以f (x)是以8为周期的函数，故D正确．故选BCD． 9．[多选题](2024·福建宁德模拟)已知函数f (x)及其导函数f′(x)的定义域为R，若f (x＋2)＝－f (x)，且f (x＋2)＋f (－x＋6)＝0，则下列结论正确的是(　　) A．f (x＋2)·f (x)＝－1 B．f (x)是奇函数 C．点(2，0)是f (x)图象的对称中心 D．点(－2，0)是f′(x)图象的对称中心 答案：BC 解析：因为f (x＋2)＋f (－x＋6)＝0，故f (4)＝0，若f (x＋2)＝－f (x)，又f (x＋2)·f (x)＝－1，则－f2(x)＝－1，所以f (x)＝±1，这与f (4)＝0矛盾，故A不正确；若f (x＋2)＝－f (x)，以x－2替换x得，f (x)＝－f (x－2)，所以f (x＋2)＝f (x－2)，故函数f (x)的周期为4，即f (x)＝f (x＋4)，因为f (x＋2)＋f (－x＋6)＝0，则f (x＋2)＋f (－x＋2)＝0，可知点(2，0)是f (x)图象的对称中心，故C正确；函数f (x)关于点(2，0)对称得f (x＋4)＝－f (－x)，又f (x)＝f (x＋4)，所以f (x)＝－f (－x)，所以函数f (x)为奇函数，故B正确；对f (x＋2)＝－f (－x＋2)两边求导可得f′(x＋2)＝f′(－x＋2)，则导函数f′(x)关于直线x＝2对称，又T＝4，所以f′(x)关于直线x＝－2对称，故D不正确．故选BC． 10．[多选题](2023·山东聊城一模)已知奇函数f (x)的定义域为R，f (2)＝2，对于任意的正数x1，x2，都有f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)－1，且x>时，都有f (x)>0，则下列结论正确的是(　　) A．f＝0 B．函数f (x)在(－∞，＋∞)内单调递增 C．对于任意x<0都有f (x)＋f＝－2 D．不等式ln [f (x)－2] <0的解集为∪(2，4) 答案：ACD 解析：对于A，已知f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)－1，令x1＝1，x2＝1，可得f (1)＝f (1)＋f (1)－1，f (1)＝1，令x1＝2，x2＝，可得f (1)＝f (2)＋f－1＝1，又f (2)＝2，得f＝0，故A正确；对于B，奇函数f (x)的定义域为R，f (－x)＝－f (x)，所以f (0)＝0，又知f＝0，所以函数f (x)在(－∞，＋∞)内不是单调递增，故B错误；对于C，对于任意的正数x1，x2，都有f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)－1，对于任意x<0都有－x>0，f (1)＝f (－x)＋f－1，f＋f＝2，又因为函数f (x)为奇函数，可得f (x)＋f＝－2，故C正确；对于任意的正数x1，x2∈，x2>x1，都有f (2x1)＝f (x1)＋f (2)－1＝f (x1)＋1，f (x2)－f (x1)＝f (x2)－f (2x1)＋1，又因为x>0，f (x)＋f＝2，所以f (2x1)＋f＝2，所以f (x2)－f (x1)＝f (x2)－＋1＝f (x2)＋f－1＝f，又因为x2>x1，>1，>，所以f>0，所以f (x2)－f (x1)>0，所以函数f (x)在(0，＋∞)内单调递增， 又因为函数f (x)为奇函数，所以函数f (x)在(－∞，0)内单调递增，因为不等式ln [f (x)－2] <0，所以0<f (x)－2<1，2<f (x)<3，已知f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)－1，令x1＝2，x2＝2, 由f (2)＝2可得f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝3，因为函数f (x)在(0，＋∞)内单调递增， 所以2<x<4，已知f (x1x2)＝f (x1)＋f (x2)－1，令x1＝，x2＝， 因为f＝0，可得f＝f＋f－1＝－1，同理f＝f＋f－1＝－2，f＝f＋f－1＝－3，又因为函数f (x)为奇函数，所以f＝3，f＝2，又因为函数f (x)在(－∞，0)内单调递增， 所以－<x<－.所以不等式ln [f (x)－2]<0的解集为∪(2，4)，故D正确．故选ACD． 11．(新设问)(2024·广东汕头质检)写出符合如下两个条件的一个函数f (x)＝________． ①f (－x)－f (x＋2)＝0；②f (x)在(－∞，0)上单调递增． 答案：－x2＋2x－1(答案不唯一) 解析：因为f (－x)－f (x＋2)＝0，所以f (x)关于 x＝1对称．又函数 f (x)在(－∞，0)上单调递增，所以符合条件的一个函数解析式可以是 f (x)＝－x2＋2x－1. 12．(2024·海南海口一模)已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (4－x)＝f (x)，且当x∈[0，2]时，f (x)＝则f (18)＝________． 答案：2 解析：因为f (4－x)＝f (x)＝f (－x)，所以f (x＋4)＝f (x)，即4为函数f (x)的周期，所以f (18)＝f (4×4＋2)＝f (2)＝log24＝2. 13．已知f (x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，则满足不等式f (2a)<f (4a－1)的a的取值范围是________(用区间表示)． 答案： 解析：因为f (x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，所以f (x)在[0，1]上单调递增，所以 解得所以0≤a<. 14．(新设问)已知f (x)为定义在R上的奇函数，f (x＋2)为偶函数，且对任意的x1，x2∈(0，2)，x1≠x2，都有<0，试写出符合上述条件的一个函数解析式f (x)＝________． 答案：－sin x(答案不唯一) 解析：因为f (x)是定义在R上的奇函数，则f (－x)＝－f (x)，且f (0)＝0，又f (x＋2)为偶函数，则f (－x＋2)＝f (x＋2)，即f (x＋4)＝f (－x)，于是f (x＋4)＝－f (x)，则f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，即f (x)是以8为周期的周期函数，对任意x1，x2∈(0，2)，x1≠x2，都有<0，可得f (x)在(0，2)上单调递减，不妨设f (x)＝Asin ωx，由题意，T＝＝8，所以ω＝，则f (x)＝Asin x，当x∈(0，2)时，x∈，因为f (x)＝Asin x在(0，2)上单调递减，且y＝sin x在上单调递增，所以A<0，不妨取A＝－1，此时f (x)＝－sin x.故符合上述条件的一个函数解析式为f (x)＝－sin x(答案不唯一)． 学科网（北京）股份有限公司 $$