2.4 函数的对称性（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.4　函数的对称性 【课程标准】　1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．　 2．会利用对称公式解决问题． 1．奇函数、偶函数的对称关系 (1)奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称． (2)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． 若函数y＝f (x＋b)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(b，0)中心对称． 2．函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称． 特别地，当a＝b时，即f (a＋x)＝f (a－x)或f (x)＝f (2a－x)时，则y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若函数y＝f (x)满足f (x)＋f (2a－x)＝2b，则y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0时，即f (a＋x)＋f (a－x)＝0或f (x)＋f (2a－x)＝0时，则y＝f (x)的图象关于点(a，0)对称． 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f (x)与y＝f (－x)关于y轴对称． (2)函数y＝f (x)与y＝－f (x)关于x轴对称． (3)函数y＝f (x)与y＝－f (－x)关于原点对称． 【记牢常用结论】 1．函数对称性的有关结论 (1)y＝f (a＋x)与y＝f (b－x)关于x＝对称．(注：由a＋x＝b－x得对称轴方程) (2)y＝f (x)与y＝f (2a－x)关于x＝a对称． (3)y＝f (a＋x)与y＝f (a－x)关于x＝0对称． (4)y＝f (x－a)与y＝f (a－x)关于x＝a对称． (5)y＝f (a＋x)与y＝－f (b－x)关于点(，0)对称． (6)y＝f (x)与y＝－f (2a－x)关于点(a，0)对称． (7)y＝f (a＋x)与y＝－f (a－x)关于点(0，0)对称． (8)y＝f (x－a)与y＝－f (a－x)关于点(a，0)对称． 2．函数对称性与周期性的关系 (1)若函数f (x)的图象关于x＝a和x＝b(a≠b)对称，则y＝f (x)的一个周期为2|b－a|. (2)若函数f (x)的图象关于(a，0)和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f (x)的一个周期为2|b－a|. (3)若函数f (x)的图象关于x＝a和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f (x)的一个周期为4|b－a|. 1．[多选题]下列说法中正确的是(　　) A．函数y＝f (x＋1)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝f (x－1)与函数y＝－f (－x－1)的图象关于点(1，0)对称 C．若函数f (x)满足f (x－1)＋f (x＋1) ＝0，则f (x)的图象关于y轴对称 D．若函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，则f (x)的图象关于直线x＝2对称 答案：AD 2．函数f (x)＝图象的对称中心为(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) 答案：B 解析：因为f (x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于(0，0)对称，所以f (x)＝1＋的图象关于(0，1)对称．故选B． 3．对任意实数x，函数f (x)都满足f (－x)＋f (2＋x)＋2＝0，则函数f (x)的图象关于(　　) A．直线x＝1对称 B．直线x＝2对称 C．点(1，－1)对称 D．点(－1，1)对称 答案：C 解析：由f (－x)＋f (2＋x)＋2＝0可得f (－x)＋f (2＋x)＝－2，所以函数f (x)的图象关于点(1，－1)对称．故选C． 4．(用结论)函数y＝f (x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)的图象之间(　　) A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点(5，0)对称 D．关于点(1，0)对称 答案：D 解析：据两个函数图象之间的对称性知函数y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)之间关于点，即(1，0)中心对称．故选D． 学生用书↓第27页 考点一　轴对称问题基础练 (1)已知函数y＝f (x)在(0，4)上单调递增，且y＝f (x＋4)是偶函数，则(　　) A．f (2)<f (3)<f (7) B．f (7) <f (2)<f (3) C．f (2)<f (7) <f (3) D．f (3)<f (7)<f (2) (2)(2024·河北承德期末)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝(　　) A．－4 B．0 C．4 D．8 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)由函数y＝f (x＋4)是偶函数，可得函数y＝f (x＋4)关于x＝0对称，所以函数y＝f (x)关于x＝4对称，所以f (7)＝f (1)，因为函数y＝f (x)在(0，4)上单调递增，且1<2<3，所以f (7)<f (2)<f (3)．故选B． (2)由f (x)＝f (4－x)可知y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，又y＝|x－2|的图象也关于直线x＝2对称，所以两图象的交点关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8.故选D． 规律方法 1．函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (a－x)＝f (a＋x)． 2．若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝成轴对称．　　 对点练1．[多选题]若函数f (x)满足∀x∈R，f (x＋2)＝f (2－x)，且∀x1，x2∈[2，＋∞)，>0(x1≠x2)，则下列结论正确的是(　　) A．f (x＋2)为偶函数 B．f (0)<f (3) C．f (－a2＋a＋1)≥f D．若f (m)>f (3)，则1<m<3 答案：AC 解析：对于A，由题意可得f (x)的图象关于直线x＝2对称，且f (x)在[2，＋∞)上单调递增，则f (x)在(－∞，2)上单调递减，且f (x＋2)的图象关于直线x＝0对称，由偶函数图象的特征得A正确；对于B，结合函数f (x)的单调性和f (x)图象的对称性得，距离x＝2越近，函数值越小，|0－2|>|3－2|，所以B不正确；对于C，|－a2＋a＋1－2|＝|a2－a＋1|＝≥＝，所以C正确；对于D，若f (m)>f (3)，则直线x＝m距离直线x＝2更远，即|m－2|>1，解得m>3或m<1，所以D不正确．故选AC． 考点二　中心对称问题综合练 (1)已知函数f (x)＝3sin πx＋2(x∈[－10，8])，g(x)＝，若f (x)与g(x)的图象的交点坐标依次为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x16，y16)，则(xi＋yi)＝(　　) A．16 B．24 C．32 D．48 (2)(新情境)(2024·浙江温州期末)我们知道：y＝f (x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y＝f (x)的图象关于(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝f (x＋a)－b为奇函数．若f (x)＝x3－3x2的对称中心为(m，n)，则f (2 023)＋f (2 021)＋…＋f (3)＋f (－1)＋f (－3)＋f (－5)＋…＋f (－2 019)＋f (－2 021)＝(　　) A．8 088 B．4 044 C．－4 044 D．－2 022 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)g(x)＝＝2－，而φ(x)＝－向左平移1个单位，再向上平移2个单位则得到g(x)，且φ(x)的对称中心为(0，0)，所以g(x)的对称中心为(－1，2)，又函数f (x)＝3sin πx＋2(x∈[－10，8])，所以(－1，2)也是函数f (x)的对称中心，所以函数f (x)与函数g(x)的图象的交点两两关于点(－1，2)对称，所以x1＋x16＝－2，x2＋x15＝－2，…，y1＋y16＝4，y2＋y15＝4，…，所以(xi＋yi)＝－2×＋4×＝16.故选A． (2)因为f (x)＝x3－3x2的对称中心为(m，n)，所以g(x)＝f (x＋m)－n＝(x＋m)3－3(x＋m)2－n为奇函数，g(x)＝(x＋m)2(x＋m－3)－n＝x3＋(3m－3)x2＋(3m2－6m)x＋m3－3m2－n，所以g(－x)＋g(x)＝2x2＋2(m3－3m2－n)＝0，所以解得所以f (x)＝x3－3x2的对称中心为(1，－2)，所以f (x＋2)＋f (－x)＝－4，所以f (2 023)＋f (－2 021)＝－4，f (2 021)＋f (－2 019)＝－4，…，f (5)＋f (－3)＝－4，f (3)＋f (－1)＝－4，所以f (2 023)＋f (2 021)＋…＋f (3)＋f (－1)＋f (－3)＋f (－5)＋…＋f (－2 019)＋f (－2 021)＝－4×1 011＝－4 044.故选C． 规律方法 1．函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f (2a－x)． 2．若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点成中心对称．　　 对点练2．(1)(2024·湖南长沙二模)已知函数f (x)的定义域为R，且y＝f (x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称．当x>0时，f (x)＝，则f (－2)＝(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 (2)[多选题]若定义在R上的偶函数f (x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)＝f (－x) B．f (2＋x)＋f (2－x)＝0 C．f (－x)＝－f (x＋4) D．f (x＋2)＝f (x－2) 答案：(1)C　(2)ABC 解析：(1)因为将y＝f (x＋1)的图象向右平移1个单位长度后，得到函数y＝f (x)的图象且y＝f (x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称，所以y＝f (x)的图象关于原点成中心对称，则y＝f (x)在R上是奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝－＝－1.故选C． (2)因为f (x)为偶函数，则f (x)＝f (－x)，故A正确；因为f (x)的图象关于点(2，0)对称，对于f (x)的图象上的点(x，y)关于(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f (4－x)＝－y＝－f (x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f (2＋x)，即f (2＋x)＋f (2－x)＝0，故B正确；由f (2＋x)＋f (2－x)＝0，令x＝x＋2，可得f (x＋4)＋f (－x)＝0，即f (－x)＝－f (x＋4)，故C正确；由B知，f (2＋x)＝－f (2－x)＝－f (x－2)，故D错误．故选ABC． 考点三　两个函数图象的对称综合练 (1)已知函数y＝f (x)是定义域为R的函数，则函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 学生用书↓第28页 (2)(2024·河北邯郸模拟)将函数f (x)的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线y＝4x关于直线x＝1对称，则f＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．4 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)设P(x0，y0)为y＝f (x＋2)图象上任意一点，则y0＝f (x0＋2)＝f (4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f (4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A． (2)函数y＝42－x的图象与函数y＝4x的图象关于直线x＝1对称，将y＝42－x的图象向下平移4个单位长度得到y＝42－x－4的图象，再将y＝42－x－4的图象向左平移1个单位长度得到y＝42－(x＋1)－4＝41－x－4的图象，即f (x)＝41－x－4，故f ＝4－4＝4.故选D． 规律方法 函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称．　　 对点练3．(2024·河南平顶山模拟)下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(　　) A．y＝log2(2＋x) B．y＝log2(2－x) C．y＝log2(4＋x) D．y＝log2(4－x) 答案：D 解析：设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x).故选D． 课时测评9　函数的对称性 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．已知函数f (x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　) A．1 B．2 C．0 D．－2 答案：B 解析：函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.故选B． 2．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，1)对称，则b＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：D 解析：因为f (x)的图象关于点(1，1)对称，所以f (x)＋f (2－x)＝2，又f (2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，所以f (x)＋f (2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝2，所以解得a＝－3，b＝2.故选D． 3．(2024·四川绵阳期末)定义在R上的奇函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称，当x∈[0，1)时，f (x)＝，则f＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：C 解析：因为f (x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f (x)＝f (－2－x)，因为f (x)为奇函数，且当x∈[0，1)时，f (x)＝，所以f＝f＝f＝－f＝－＝－.故选C． 4．设函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)关于(0，－1)对称 B．f (x)关于(0，0)对称 C．f (x)关于x＝1对称 D．f (x)关于(1，－1)对称 答案：D 解析：对于选项A，因为f (－x)＋f (x)＝＋≠－2，所以f (x)不关于(0，－1)对称，故A错误；对于选项B，因为f (－x)＋f (x)＝＋≠0，所以f (x)不关于(0，0)对称，故B错误；对于选项C，因为f (1－x)＝＝＝，f＝＝，f (1－x)≠f (1＋x)，所以f (x)不关于x＝1对称，故C错误；对于选项D，因为f (1－x)＋f (1＋x)＝＋＝－2，所以f (x)关于(1，－1)对称，故D正确．故选D． 5．(2024·天津二模)设函数f (x)＝，g(x)＝e－|x－1|.当x∈[－2 023，2 025]时，f (x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为(　　) A．4 051 B．4 049 C．2 025 D．2 023 答案：B 解析：函数f (x)＝的最小正周期为2，直线x＝1为其一条对称轴，g(x)＝e－|x－1|＝其图象关于直线x＝1对称，故可作出函数f (x)＝，g(x)＝e－|x－1|的图象如图： 由图象可知，在直线x＝1的右侧，(1，2 025]包含f (x)的1 012个周期，f (x)在(1，3]，(3，5]，…，(2 023，2 025]每个周期内和g(x)的图象都有2个交点，则共有2 024个交点，根据对称性可知，在直线x＝1的左侧，f (x)和g(x)的图象也有2 024个交点，且在直线x＝1的两侧的交点是关于直线x＝1两两对称的，故这4 048个交点的横坐标之和为2 024×2＝4 048，而x＝1也是这两函数图象的一个交点的横坐标，故f (x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4 048＋1＝4 049.故选B． 6．(新考法)(2024·上海浦东三模)对于两个实数a，b，设min{a，b}＝则“t＝1”是“函数f (x)＝min{|x|，|x－t|}的图象关于直线x＝对称”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：如图，在同一个坐标系中作出两个函数y＝|x|与y＝|x－t|的图象， 则函数f (x)＝min{|x|，|x－t|}的图象为两个图象中较低的部分，即为图象中实线部分，根据图象令x＝－x＋t，解得x＝，分析可得其图象关于直线x＝对称，要使函数f (x)＝min{|x|，|x－t|}的图象关于直线x＝对称，则t＝1；当t＝1时，函数f (x)＝min{|x|，|x－t|}的图象关于直线x＝对称，所以“t＝1”是“函数f (x)＝min{|x|，|x－t|}的图象关于直线x＝对称”的充分必要条件．故选C． 7．[多选题]已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (1＋x)＝f (1－x).当0<x≤1时，f (x)＝3x－1，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)是周期为2的周期函数 B．f (x)的值域为[－2，2] C．x＝3是f (x)图象的一条对称轴 D．f (x)的图象关于点(－2，0)对称 答案：BCD 解析：因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，又f (1＋x)＝f (1－x)，所以f (1＋x)＝f (1－x)＝－f (1－x)，所以在f (1＋x)＝－f (x－1)中用x＋1替换x得f (x＋2)＝－f (x)，即f (x)＝－f (x＋2)，故f (x)＝f (x＋4)，所以f (x)是周期为4的周期函数，故选项A错误；由题意可知，f (x)的图象如图所示， 由f (x)的图象可得f (x)的值域为[，2]，其中x＝3是函数f (x)图象的一条对称轴，f (x)的图象关于点(－2，0)对称，故选项B，C，D正确．故选BCD． 8．[多选题](2024·吉林长春模拟)已知函数f (x)的定义域为R，则下列说法正确的是(　　) A．若f (x＋2)＝－f (－x)，则函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称 B．函数y＝－f (2－x)与函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称 C．函数y＝f (－1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称 D．函数y＝f (1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称 答案：ABC 解析：若f (x＋2)＝－f (－x)，即f (x＋2)＋f (－x)＝0，则函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f (x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f (2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f (2－x)与函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f (－1＋x)－f (1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f (1－x)－f (x－1)＋f (－1＋x)－f (1－x)＝0，故函数y＝f (－1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f (1＋x)－f (1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f (3－x)－f (x－1)＋f (1＋x)－f (1－x)不恒为0，故函数y＝f (1＋x)－f (1－x)的图象不关于(1，0)对称，故D错误．故选ABC． 9．[多选题]已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，且y＝f (2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是(　　) A．函数f (x)的周期为2 B．函数f (x)的图象关于直线x＝2对称 C．函数f (x)为偶函数 D．函数f (x)的图象关于点(3，0)对称 答案：BCD 解析：对于选项A，因为f (x＋2)＋f (x)＝0，则f (x＋4)＋f (x＋2)＝0，可得f (x＋4)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，故A错误；对于选项B, 因为y＝f (2－x)为偶函数，则f (2－x)＝f (2＋x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确；对于选项C，因为函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，则f (－x)＝f (4＋x)，由函数f (x)的周期为4，可得f (－x)＝f (4＋x)＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，故C正确；对于选项D，因为f (－x)＝f (x)，且f (x＋2)＋f (x)＝0，可得f (x＋2)＋f (－x)＝0，又因为函数f (x)的周期为4，则f (x＋6)＋f (－x)＝0，所以函数f (x)的图象关于点(3，0)对称，故D正确．故选BCD． 10．(新设问)(2024·陕西宝鸡二模)请写出一个图象关于点(1，0)对称的函数的解析式_________． 答案：y＝(答案不唯一) 解析：y＝的图象关于原点对称，则y＝的图象关于点(1，0)对称．同样如函数y＝(x－1)3也满足题意．(答案不唯一) 11．(新考法)已知函数y＝f (x＋1)－3为奇函数，g(x)＝，f (x)与g(x)的图象有8个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，则(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8)－(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＝_________． 答案：16 解析：因为y＝f (x＋1)－3为奇函数，所以函数f (x)的图象关于点(1，3)对称，因为g(x)＝＝＝3＋，所以函数g(x)的图象关于点(1，3)对称，所以f (x)与g(x)图象的8个交点关于点(1，3)对称，所以＝1，＝1，＝1，＝1，可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝4×2×1＝8，同理可知y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8＝4×2×3＝24，所以(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8)－(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＝16. 12．(2024·广东珠海期末)已知函数f (x)的定义域为R，y＝f (x－4)－1是偶函数，当x≤－4时，f (x)＝(x＋4)2－2，则不等式f (3x－5)>f (2x－4)的解集为________________． 答案：∪(1，＋∞) 解析：因为函数f (x)的定义域为R，y＝f (x－4)－1是偶函数，则f (－x－4)－1＝f (x－4)－1，即f (－x－4)＝f (x－4)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝－4对称，当x≤－4时，f (x)＝(x＋4)2－2，则函数f (x)在(－∞，－4]上单调递减，故函数f (x)在[－4，＋∞)上单调递增，因为f (3x－5)>f (2x－4)，则|3x－5＋4|>|2x－4＋4|，即|3x－1|>2|x|，即(3x－1)2>4x2，即(x－1)(5x－1)>0，解得x<或x>1，因此，不等式f (3x－5)>f (2x－4)的解集为∪(1，＋∞). (每小题8分，共16分) 13．已知函数f (x)＝则f (x)的图象关于(　　) A．点(1，－2)对称 B．点(－1，2)对称 C．直线x＝1对称 D．直线x＝－1对称 答案：B 解析：令g(x)＝f (x－1)－2＝由于g(x)的定义域关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数，所以f (x)＝g(x＋1)＋2的图象关于点(－1，2)对称．故选B． 14．(新考法)函数f (x)＝x(m－x)满足f (2－x)＝f (x)，且在区间[a，b]上的值域是[－3，1]，则坐标(a，b)】所表示的点在图中的(　　) A．线段AD和线段BC上 B．线段AD和线段DC上 C．线段AB和线段DC上 D．线段AC和线段BD上 答案：B 解析：因为函数f (x)＝x(m－x)满足f (2－x)＝f (x)，故函数的图象关于直线x＝1对称，且开口向下，所以m＝2，f (x)＝x(2－x).再根据f (－1)＝－3＝f (3)，f (1)＝1，画出函数f (x)的图象， 如图所示： 故有－1≤a≤1，1≤b≤3.且当a＝－1时，1≤b≤3；－1<a≤1时，b＝3，故坐标(a，b)所表示的点在图中的线段AD和线段DC上．故选B． (每小题12分，共24分) 15．(2024·山东济南开学考)已知定义在R上的函数f (x)的图象连续不间断，有下列四个命题： 甲：f (x)是奇函数； 乙：f (x)的图象关于点(2，0)对称； 丙：f (22)＝0； 丁：f (x＋6)＝f (x)； 如果有且仅有一个假命题，则该命题是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：D 解析：若命题甲，乙正确，因为f (x)是奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，因为f (x)的图象关于点(2，0)对称，所以f (4－x)＝－f (x)，又由f (－x)＝－f (x)，得f (4－x)＝f (－x)，即f (4＋x)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，故丁是假命题；由f (4－2)＝－f (2)，即2f (2)＝0，解得f (2)＝0，所以f (22)＝f (4×5＋2)＝f (2)＝0，故丙是真命题．故选D． 16．(数学文化)[多选题](2024·江西新余期末)太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”，设圆O：x2＋y2＝1，则下列说法中正确的是(　　) A．函数y＝x3＋x是圆O的一个太极函数 B．函数f (x)的图象关于原点对称是f (x)为圆O的太极函数的充要条件 C．圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 D．函数y＝sin x是圆O的一个太极函数 答案：AD 解析：选项A，设y＝f (x)＝x3＋x，因为f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f (x)，所以函数 y＝x3＋x是奇函数，它的图象将圆O周长与面积同时等分，如图①所示： 所以函数y＝x3＋x是圆O的一个太极函数，故A正确；选项C，如图②所示：函数y＝g(x)是偶函数，y＝g(x)也是圆O的一个太极函数，故C不正确； 选项B，根据选项C的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故B不正确；选项D，因为y＝sin x是奇函数，所以它的图象将圆x2＋y2＝1周长与面积同时等分，如图③所示．因此函数y＝sin x是圆O的一个太极函数，故D正确． 故选AD． 学科网（北京）股份有限公司 $$