2.3 函数的奇偶性、周期性（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.3　函数的奇偶性、周期性 【课程标准】　1．结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义．　 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为A，如果对∀x∈A，有－x∈A 且f (－x)＝f (x)，那么称函数f (x)为偶函数 且f (－x)＝－f (x)，那么称函数f (x)为奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 微提醒　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f (x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f (x＋T)＝f (x)，那么函数y＝f (x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数y＝f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f (x)的最小正周期． 【记牢常用结论】 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)． (2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性的常用结论 对f (x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f (x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)． (3)若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 1．[多选题]下列命题是真命题的是(　　) A．函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数 B．存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C．若函数f (x)为奇函数，则一定有f (0)＝0 D．若T是函数f (x)的一个周期，则nT(n∈N*)也是函数f (x)的周期 答案：BD 2．[多选题](链接北师必修一P65例2改编)给出下列函数，其中是奇函数的为(　　) A．f (x)＝x4 B．f (x)＝x5 C．f (x)＝x＋ D．f (x)＝ 答案：BC 解析：对于f (x)＝x4，f (x)的定义域为R，由f (－x)＝(－x)4＝x4＝f (x)，可知f (x)＝x4是偶函数， 同理可知f (x)＝x5，f (x)＝x＋是奇函数，f (x)＝是偶函数．故选BC． 3．(用结论)已知函数f (x)为定义在R上的奇函数，且f (x＋4)＝f (x)，则f (2 024)＝(　　) A．2 024 B．4 C．－4 D．0 答案：D 解析：因为f (x＋4)＝ f (x)，所以f (2 024)＝f (0＋4×506)＝f (0)，又因为f (x)为定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0.故选D． 4．(链接人教A必修一P86T11)若奇函数y＝f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且x∈(0，＋∞)时，f (x)＝－3x＋，则x∈(－∞，0)时，f (x)＝(　　) A．－－ B．－ C．－＋ D．＋ 答案：D 解析：设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，则f (－x)＝－3－x－＝－－，因为函数y＝f (x)为奇函数，所以f (x)＝－f (－x)＝＋，即x∈(－∞，0)时，f (x)＝＋.故选D． 学生用书↓第24页 考点一　函数奇偶性的判断基础练 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝＋； (2)f (x)＝ (3)f (x)＝log2(x＋)． 解：(1)由得x2＝3，解得x＝±，即函数f (x)的定义域为{－，}， 从而f (x)＝＋＝0.因此f (－x)＝－f (x)且f (－x)＝f (x)， 所以函数f (x)既是奇函数又是偶函数． (2)显然函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 因为当x＜0时，－x＞0，则f (－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f (x)； 当x＞0时，－x＜0，则f (－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f (x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝－f (x)成立，所以函数f (x)为奇函数． (3)显然函数f (x)的定义域为R， f (－x)＝log2[－x＋]＝log2(－x)＝log2(＋x)－1＝－log2(＋x)＝－f (x)，故f (x)为奇函数． 规律方法 函数奇偶性的判断方法 1．定义法 2．图象法 　　 3．性质法 设f (x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 提醒：对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f (－x0)＝－f (x0)，不能判定函数f (x)是奇函数． 对点练1．(1)(2024·辽宁丹东一模)下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝lg x B．y＝ C．y＝x＋x D．y＝ (2)(新考法)(2024·辽宁辽阳一模)若f (x)是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝f (2x＋2－x) B．y＝f (2x－x) C．y＝f (2x－2－x) D．y＝f (2x＋x) 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，故函数为非奇非偶函数，故A不符合；函数y＝的定义域为R，则f＝＝－＝－f (x)，故该函数为奇函数，故B不符合；函数y＝x＋x的定义域为R，则f (－x)＝－x＋－x＝x＋x＝f (x)，故该函数为偶函数，故C符合；函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，故函数为非奇非偶函数，故D不符合．故选C． (2)依题意，f (x)是定义在R上的奇函数，f (－x)＝－f (x)，对于A选项，对于函数y＝f (2x＋2－x)，f (2－x＋2x)＝f (2x＋2－x)，所以函数y＝f (2x＋2－x)不是奇函数；对于B选项，对于函数y＝f (2x－x)，f (2－x＋x)≠－f (2x－x)，所以函数y＝f (2x－x)不是奇函数；对于C选项，对于函数y＝f (2x－2－x)，f (2－x－2x)＝－f (2x－2－x)，所以函数y＝f (2x－2－x)是奇函数；对于D选项，对于函数y＝f (2x＋x)，f (2－x－x)≠－f (2x＋x)，所以函数y＝f (2x＋x)不是奇函数．故选C． 考点二　函数奇偶性的应用综合练 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 (2)(2024·福建福州模拟)已知函数f (x)＝为偶函数，则2a＋b等于(　　) A．3 B． C．－ D．－ (3)已知函数f (x)＝sin x＋x3＋＋3，若f (a)＝1，则f (－a)等于(　　) A．1 B．3 C．4 D．5 答案：(1)B　(2)B　(3)D 解析：(1)因为f (x)为偶函数，则f (1)＝f (－1)，所以(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f (x)＝xln，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，关于原点对称．f (－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝xln＝f (x)，故此时 f (x)为偶函数．故选B． (2)由已知得，当x>0时，－x<0，f (－x)＝－ax3＋b，因为f (x)为偶函数，所以f (－x)＝f (x)，即x3＋1＝－ax3＋b，所以a＝－1，b＝1，所以2a＋b＝2－1＋1＝.故选B． (3)根据题意f (a)＝sin a＋a3＋＋3＝1，即sin a＋a3＋＝－2，所以f (－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋＋3＝－＋3＝2＋3＝5.故选D． 学生用书↓第25页 规律方法 利用函数奇偶性可解决的问题及解题方法 　　 对点练2．(1)(2023·全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)已知函数f (x)是奇函数，函数g(x)是偶函数．若f (x)－g(x)＝xsin x，则f＝(　　) A． B．－ C．0 D．－1 答案：(1)D　(2)C 解析：(1)因为f (x)＝为偶函数，则f (x)－f (－x) ＝－＝＝0，又因为x不恒为 0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D． (2)由函数f (x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，f (x)－g(x)＝xsin x，故f (－x)－g(－x)＝－xsin(－x)，即－f (x)－g(x)＝xsin x，将该式和f (x)－g(x)＝xsin x相减可得f (x)＝0，则f＝0，故选C． 考点三　函数的周期性及应用综合练 (1)已知函数f (x)满足f (x＋3)＝－f (x)，当x∈[－3，0)时，f (x)＝2x＋sin ，则f (2 024)＝(　　) A．－ B．－ C． D．－＋ (2)设f (x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f (x)＝x，则x∈[－2，0]时，f (x)的解析式为f (x)＝(　　) A．x＋4 B．2－x C．3－|x＋1| D．2－|x＋1| 答案：(1)D　(2)C 解析：(1)因为f (x＋6)＝－f (x＋3)＝f (x)，所以f (x)是以6为周期的函数，所以f (2 024)＝f (337×6＋2)＝f (2)＝f (－1＋3)＝－f (－1)＝－＝－＋.故选D． (2)因为f (x)是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f (x)＝x，所以x∈[－1)时，(2＋x)∈[0，1)，(4＋x)∈[2，3)， 此时f (x)＝f (4＋x)＝4＋x；当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，(2－x)∈[2，3]，此时f (x)＝f (－x)＝f (2－x)＝2－x，所以f (x)＝综上可得x∈[－2，0]时，f (x)＝3－|x＋1|.故选C． 规律方法 函数周期性有关问题的求解策略 对点练3．(1)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋π)－f (x)＝sin x，且f＝－，则f＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)＋f (－x)＝0，f (－x－1)＝f (－x＋1)，当x∈(0，1)时，f (x)＝4x－3，则f (log480)＝(　　) A． B．－ C．1 D．－ 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)由题意，f (x＋π)－f (x)＝sin x，所以f (x＋2π)－f (x＋π)＝sin (x＋π)＝－sin x，所以f (x＋2π)＝f (x＋π)－sin x＝f (x)＋sin x－sin x＝f (x)，即f (x)的周期为T＝2π；由条件知f－f＝sin ＝，所以f＝－，f＝f＝f＝－.故选D． (2)由f (x)＋f (－x)＝0可得f (x)为奇函数，又f (－x－1)＝f (－x＋1)，则－f (x＋1)＝－f (x－1)，故f (x)＝f (x＋2)，故f (x)周期为2.故f (log480)＝f (log4(16×5))＝f (2＋log45) ＝f (log45－2)＝－f (2－log45)＝－4＋3＝－＋3＝－＋3＝－.故选D． 课时测评8　函数的奇偶性、周期性 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．(2024·上海嘉定二模)函数y＝lg (1－x)＋lg (1＋x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数 答案：B 解析：由函数y＝lg (1－x)＋lg (1＋x)可知，定义域为(－1，1)关于原点对称，又f (－x)＝lg (1＋x)＋lg (1－x)＝f (x)，故函数为(－1，1)内的偶函数．故选B． 2．(2024·湖南常德二模)已知f (x)是周期为4的奇函数，f (3)＝2，则f (9)＝(　　) A．6 B．－6 C．2 D．－2 答案：D 解析：因为f (x)是周期为4的奇函数，所以f (9)＝f (1)＝f (－3)＝－f (3)＝－2.故选D． 3．(2024·安徽蚌埠模拟)如图是函数F (x)图象的一部分，设函数f (x)＝cos x，g(x)＝ex－e－x，则F (x)可以是(　　) A．f (x)＋g(x) B．f (x)·g(x) C．f (x)－g(x) D． 答案：B 解析：因为f (－x)＝cos (－x)＝cos x，g(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－g(x)，所以f (x)为偶函数，g(x)为奇函数．可知f (x)＋g(x)，f (x)－g(x)为非奇非偶函数，f (x)·g(x)，为奇函数，由图可知：F (x)为奇函数，故A，C错误；由于＝，令ex－e－x≠0，可得x≠0，故的定义域为{x|x≠0}.又因为F (x)的定义域为R，所以D错误．故选B． 4．(2024·陕西宝鸡期末)定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)，且f (x)在[0，2]上是减函数，则(　　) A．f (5)<f (4)<f (3) B．f (3)<f (4)<f (5) C．f (3)<f (5)<f (4) D．f (4)<f (5)<f (3) 答案：A 解析：因为f (x)满足f (x＋4)＝f (x)，所以f (x)的一个周期为4，又因为f (x)在[0，2]上是减函数，且在R上为奇函数，所以f (x)在[－2，0]上是减函数，所以f (1)<f (0)<f (－1)，即f (5)<f (4)<f (3)．故选A． 5．若函数f (x)＝ln 为奇函数，则f (0)＋f (1)＝(　　) A．0 B．ln C．ln D．ln 2 答案：B 解析：f (－x)＝ln ＝ln (＋x)，因为f (x)为奇函数，所以f (x)＋f (－x)＝0，即ln ＋ln(＋x)＝ln [(－x)(＋x)]＝ln[(x2＋a)－x2]＝ln a＝0，所以a＝1，经检验，a＝1满足题意，所以f (x)＝ln (－x)，所以f (0)＋f (1)＝ln .故选B． 6．(新定义)(2024·广东四校联考)若函数f (x)在其定义域内存在实数x满足f (－x)＝－f (x)，则称函数f (x)为“局部奇函数”．已知函数f (x)＝9x－m·3x－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是(　　) A．[－2， ] B．[－，3] C．(－∞，2 ] D．[－2，＋∞) 答案：D 解析：由“局部奇函数”的定义可知，f (－x)＝－f (x)有解，即9－x－m·3－x－3＝－(9x－m·3x－3)有解，即(9x＋9－x)－m(3x＋3－x)－6＝0有解，令t＝3x＋3－x，则t≥2，则9x＋9－x＝t2－2，所以方程可转化为t2－mt－8＝0在[2，＋∞)上有解，即m＝t－在[2，＋∞)上有解．易知函数y＝t－在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，ymin＝－2，所以m≥－2.故选D． 7．[多选题]若定义在R上的函数f (x)分别满足下列条件，其中可以得出f (x)的周期为2的有(　　) A．f (x)＝f (x－2) B．f (x＋2)＝f (x－2) C．f (－x)＝f (x＋2) D．f (x－1)＝f (x＋1) 答案：AD 解析：对于A，由f (x)＝f (x－2)可知f (x)的周期为2，故A正确；对于B，由f (x＋2)＝f (x－2)得f (x＋4)＝f (x)，故f (x)的周期为4，故B错误；对于C，由f (－x)＝f (x＋2)得f (x)关于x＝1对称，故C错误；对于D，f (x－1)＝f (x＋1) ⇒f (x)＝f (x＋2)，f (x)的周期为2，故D正确．故选AD． 8．[多选题](2024·山东临沂一模)已知f (x)＝x3·g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以为(　　) A．g(x)＝lg B．g(x)＝3x－3－x C．g(x)＝＋ D．g(x)＝ln 答案：BD 解析：因为f (x)＝x3g(x)是定义在R上的偶函数，所以f (－x)＝f (x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是定义在R上的奇函数．对于A，定义域为(－1，1)，所以不满足题意；对于B，定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意；对于C，定义域为R，g(－x)＝＋＝＋＝－≠－g(x)，不符合题意；对于D，定义域为R，g(－x)＝ln ，而g(－x)＋g(x)＝ln (－x)＋ln ＝0，符合题意．故选BD． 9．[多选题](2024·湖南郴州模拟)已知函数f (x)为R上的奇函数，且f (x＋4)＋f (x)＝0，当0≤x≤2时，f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．a＝－1 B．a＝－2 C．f (－33)<f (40)<f (19) D．f (40)<f (－33) <f (19) 答案：AC 解析：已知函数f (x)为R上的奇函数，则f (0)＝0，即f (0)＝＝0，解得a＝－1，A正确；B错误；又因为f (x＋4)＋f (x)＝0，即f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，从而周期为8，f (－33)＝f (－1－4×8)＝f (－1)＝－f (1)，f (40)＝f (0＋5×8)＝f (0)，f (19)＝f (3＋2×8)＝f (3)＝f (－1＋4)＝－f (－1)＝f (1)．因为当0≤x≤2时，f (x)＝，所以f (1)＝，从而f (－33)＝－f (1)＝－，f (40)＝0，f (19)＝，所以f (－33) <f (40) <f (19)，C正确；D错误．故选AC． 10．(2023·全国甲卷)若f (x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋)为偶函数，则a＝________． 答案：2 解析：因为f (x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋)＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，且函数为偶函数，所以a－2＝0，解得a＝2. 11．(原创题)已知f (x)＝2 023sin x＋2 024tan x－1，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝____________． 答案：－5 解析：令g(x)＝2 023sin x＋2 024tan x，由y＝sin x与y＝tan x为奇函数，则g(－x)＝－g(x)，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝g(－2)－1＋g(－1)－1＋g(0)－1＋g(1)－1＋g(2)－1＝－g(2)＋g(2)－g(1)＋g(1)＋g(0)－5＝－5. 12．函数f (x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f (x)＝x－1，则不等式xf (x)>0在(－1，3)上的解集为____________． 答案：(－1，0)∪(1，3) 解析：根据函数f (x)是周期为4的偶函数，以及当x∈[0，2]时，f (x)＝x－1，画出函数图象如下图所示，由图可知，当x∈(－1，0)时，f (x)<0，xf (x)>0符合题意；当x∈(1，3)时，f (x)>0，xf (x)>0符合题意；综上所述，不等式的解集为(－1，0)∪(1，3)． 13．(16分)设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f (x)．当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－x2. (1)求证：f (x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f (x)的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 027)． 解：(1)证明：因为f (x＋2)＝－f (x)， 所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)． 所以f (x)是周期为4的周期函数． (2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 由已知得f (－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f (x)是奇函数，所以f (－x)＝－f (x)＝－2x－x2，所以f (x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， 所以f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f (x)是周期为4的周期函数， 所以f (x)＝f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f (x)＝x2－6x＋8. (3)f (0)＝0, f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1. 又f (x)是周期为4的周期函数， 所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＋f (2 027)＝0. 所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 027)＝0. (每小题12分，共24分) 14．(新考法)(2024·江苏南通二模)已知函数f (x)的定义域为R，y＝f (x)＋ex是偶函数，y＝f (x)－3ex是奇函数，则f (x)的最小值为(　　) A．e B．2 C．2 D．2e 答案：B 解析：因为函数y＝f (x)＋ex为偶函数，所以f (－x)＋e－x＝f (x)＋ex，即f (x)－f (－x)＝e－x－ex，①，又因为函数y＝f (x)－3ex为奇函数，所以f (－x)－3e－x＝－f (x)＋3ex，即f (x)＋f (－x)＝3ex＋3e－x，②，联立①②可得f (x)＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f (x)＝ex＋2e－x≥2＝2，当且仅当ex＝2e－x，即x＝ln 2时，等号成立，故函数f (x)的最小值为2.故选B． 15．[多选题](2024·九省适应性测试)已知函数f (x)的定义域为R，且f≠0，若f (x＋y)＋f (x)f (y)＝4xy，则(　　) A．f＝0 B．f＝－2 C．函数f是偶函数 D．函数f是减函数 答案：ABD 解析：令x＝，y＝0，则有f＋f×f (0)＝0，所以f[1＋f (0)]＝0，又f≠0，故1＋f (0)＝0，即f (0)＝－1.令x＝，y＝－，则有f＋ff＝4××，即f (0)＋ff＝－1，由f (0)＝－1，可得ff＝0，又f≠0，故f＝0，故A正确；令y＝－，则有f＋f (x)f＝4x×，即f＝－2x，故函数f是奇函数，故C错误；有f (x＋1－)＝－2＝－2x－2，即f＝－2x－2，即函数f是减函数，故D正确；令x＝1，有f＝－2×1＝－2，故B正确．故选ABD． 学生用书↓第26页 学科网（北京）股份有限公司 $$