2.2 函数的单调性和最值（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§2.2　函数的单调性和最值 【课程标准】　1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．　 2．掌握函数单调性的简单应用． 1．函数的单调性 (1)增函数和减函数 分类 增函数 减函数 定 义 设函数y＝f (x)的定义域是D：如果对于任意的x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数y＝f (x)是增函数，特别地，当I⊆D时，也称函数y＝f (x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数y＝f (x)是减函数，特别地，当I⊆D时，也称函数y＝f (x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升 自左向右看图象是下降 (2)单调区间 如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f (x)在区间I上具有单调性，此时，区间I为函数y＝f (x)的单调区间． 微提醒　(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域；(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f (x)的定义域是D，若存在实数M 条件 ①所有的x∈D，都有f (x)≤M； ②存在x0∈D，使得f (x0)＝M ①所有的x∈D，都有f (x)≥M； ②存在x0∈D，使得f (x0)＝M 结论 M为函数y＝f (x)的最大值 M为函数y＝f (x)的最小值 【记牢常用结论】 1．函数单调性的两个等价结论 (1)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0⇔f (x)在区间I上单调递增． (2)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有<0或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0⇔f (x)在区间I上单调递减． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数． 3．函数y＝f (x)(f (x)>0或f (x)<0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数y＝f (g(x))的单调性：同增异减． 1．[多选题]下列说法中不正确的是(　　) A．对于函数y＝f (x)，若f (1)<f (3)，则f (x)为增函数 B．函数y＝f (x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) C．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) D．所有的单调函数不一定都有最值 答案：ABC 2．在下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(　　) A．y＝－x＋1 B．y＝－x2＋4x＋5 C．y＝ D．y＝|x－2| 答案：B 解析：y＝－x＋1在(0，2)上单调递减，A不合题意；y＝－x2＋4x＋5开口向下，对称轴为x＝2，所以在区间(0，2)上是增函数，B正确；y＝在(0，2)上单调递减，C不合题意；y＝|x－2|＝在(0，2)上单调递减，D不合题意．故选B． 学生用书↓第21页 3．(链接北师必修一P63－A组T3)y＝在[3，4]上的最大值为(　　) A．2 B． C． D．4 答案：A 解析：y＝＝＝＋1，因为y＝＋1在[3，4]上单调递减，所以当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.故选A． 4．(2024·海南海口模拟)函数f (x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)和(0，2) C．(－2，2) D．(－2，0)和(2，＋∞) 答案：B 解析：f (x)＝x2－4|x|＋3＝则由二次函数的性质知，当x≥0时，y＝x2－4x＋3＝(x－2) 2－1的单调递减区间为(0，2)；当x<0，y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1的单调递减区间为(－∞，－2)，故f (x)的单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2)．故选B． 考点一　函数的单调性 基础练 (2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f (x)＝－ln x B．f (x)＝ C．f (x)＝－ D．f (x)＝3|x－1| 答案：　C 解析：对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f＝3＝3＝，f (1)＝3|1－1|＝30＝1，f (2)＝3|2－1|＝3，显然f (x)＝3|x－1|在(0，＋∞)上不单调，D错误．故选C． 试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：法一：设－1<x1<x2<1， f (x)＝a＝a， f (x1)－f (x2)＝a－a ＝， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递增． 法二：f′(x)＝＝＝－. 当a>0时，f′(x)<0，函数f (x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f (x)在(－1，1)上单调递增． 规律方法 1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 2．(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． (2)函数y＝f (g(x))的单调性应根据外层函数y＝f (t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．　　 对点练1．函数y＝的单调递减区间是________． 答案：(－∞，－6] 解析：由题意，要使函数y＝有意义，需满足x2＋2x－24≥0，解得x≤－6或x≥4，又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝的单调递减区间是(－∞，－6]． 对点练2．已知函数f (x)＝ax＋(a，b∈R)，且f (1)＝2，f (－2)＝－. (1)求f (x)的解析式，并写出其定义域； (2)用函数单调性的定义证明：f (x)在(0，1)上单调递减． 解：(1)由已知可得解得a＝1，b＝1， 所以f (x)＝x＋(x≠0). (2)证明：任取x1，x2∈(0，1)，且x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝x1－x2＋－＝(x1－x2)＝(x1－x2)·， 因为x1，x2∈(0，1)，且x1<x2， 所以x1－x2<0，0<x1x2<1，x1x2－1<0， 所以f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)·>0，即f (x1)>f (x2)， 所以f (x)在(0，1)上单调递减． 考点二　函数的最值综合练 (1)函数f (x)＝－ln(4－x)在x∈[1，3]上的最大值为________． (2)(2024·浙江宁波调研)设f (x)＝则f (f (－1))＝________，f (x)的最小值是________． 答案：(1)　(2)0　2－3 解析：(1)y＝＝x－在[1，3]上单调递增，y＝ln(4－x)在[1，3]上单调递减，所以f (x)在[1，3]上单调递增，所以f (x)max＝f (3)＝－0＝. (2)因为f (－1)＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝2＋－3＝0，当x≥1时，f (x)＝x＋－3在[1， ]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，所以f (x)在x＝时取得最小值，即f (x)min＝2－3；当x＜1时，f (x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f (x)在x＝0时取得最小值，即f (x)min＝1，综上，f (x)的最小值为2－3. 学生用书↓第22页 规律方法 1．求函数最值的三种基本方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． 2．对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 对点练3．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f (x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f (x)，g(x)}的最大值是________． 答案：1 解析：法一：在同一坐标系中，作函数f (x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 法二：依题意，h(x)＝当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x>2时，h(x)＝－x＋3是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 考点三　函数单调性的应用多维练 角度1　比较函数值的大小 (1)已知f (x)＝2x－，a＝f ()，b＝f ()，c＝f ()，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a (2)已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x1≠x2且x1，x2∈(1，＋∞)时，[f (x2)－f (x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)易知f (x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，又＞＞，故f ()＞f ()＞f ()，即c＞b＞a.故选D． (2)当x1≠x2且x1，x2∈(1，＋∞)时，[f (x2)－f (x1)]·(x2－x1)<0恒成立，可得f (x)在(1，＋∞)上单调递减，且f (x)关于x＝1对称，所以f (x)在(－∞，1)上单调递增，所以a＝f＝f，因为2<<e，所以f (2)>f>f (e)，即b>a>c.故选D． 角度2　解不等式 (1)已知函数f (x)＝若对任意的正数t，恒有f (m＋t)>2f，则m的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)已知函数f (x)＝x－log2(x＋2)，若f (a－2)＞3，则a的取值范围是________． 答案：(1)C　(2)(0，1) 解析：(1)当x≤0时，f (x)＝＝1－在(－∞，0]上单调递增；当x>0时，易知函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且0＝<20.即函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因为2f ()＝2·2 ＝2 ＋1＝f (＋1)，f>2f，所以m＋t> ＋1，即m>－t＋1＝－2＋，所以m>.故选C． (2)由f (x)＝x－log2(x＋2)知，f (x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f (－1)＝3，由f (a－2)＞3，得f (a－2)＞f (－1)，所以解得0＜a＜1. 角度3　求参数的取值范围 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) (2)已知函数f (x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　) A．[0，3) B．(0，3) C．[2，3) D．(2，3) 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)函数y＝2x在R上单调递增，而函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D． (2)由题意得，函数为R上的增函数，有解得0≤a<3.故选A． 规律方法 1．比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 2．求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 3．利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．　　 对点练4．(1)[多选题]定义在R上的函数f (x)满足f (－x)＋f (x)＝0，且f (x)是单调函数，f (1)＝，则(　　) A．f (0)＝0 B．f (－1)<f (2) C．f＝－1 D．f (x2－x＋2) >f (1) (2)(2024·山东济宁一模)若函数f (x)＝loga(ax－x3)(a>0且a≠1)在区间(0，1)内单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(1，3] C． D． 答案：(1)ABD　(2)A 解析：(1)对于A，因为定义在R上的函数f (x)满足f f (－x)＋f (x)＝0，所以f (x)是奇函数，从而f (0)＝0，所以A正确；对于B，因为f (x)是单调函数，且0＝f (0)<f (1)＝，所以f (x)是R上的单调递增函数，故f (－1)<f (2)，所以B正确；对于C，取f (x)＝x3，则f (x)满足题干的所有条件，此时f＝－≠－1，所以C错误；对于D，由于x2－x＋2－1＝x2－x＋1＝2＋>0，且f (x)是R上的单调递增函数，故f>f (1)，所以D正确．故选ABD． (2)令μ＝g(x)＝ax－x3，则g′(x)＝a－3x2，当x> 或x<－时，g′(x)<0，当－<x<时，g′(x)>0，所以g(x)在和上单调递减，在上单调递增，当a>1时，y＝logaμ为增函数，且函数f (x)在区间(0，1)内单调递增，所以a>1，－≤0, ≥1，解得a≥3，此时g(x)在(0，1)上单调递增，则g(x)>g(0)＝0恒成立．当0<a<1时，y＝logaμ为减函数，且函数f (x)在区间(0，1)内单调递增，所以 ≤0，0<a<1，无解．综上所述，a的取值范围是[3，＋∞).故选A． 课时测评7　函数的单调性和最值 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．下列函数为增函数的是(　　) A．f (x)＝|x| B．f (x)＝2x C．f (x)＝x2 D．f (x)＝log0.5x 答案：B 解析：对于A，函数f (x)＝|x|＝函数f (x)在(－∞，0]上单调递减，在定义域R上不单调，故A不是；对于B，函数f (x)＝2x在R上单调递增，故B是；对于C，函数f (x)＝x2在(－∞，0]上单调递减，在定义域R上不单调，故C不是；对于D，函数f (x)＝log0.5x在(0，＋∞)上单调递减，故D不是．故选B． 2．已知函数f (x)＝－x|x|＋2x，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的递增区间是[0，＋∞) B．f (x)的递减区间是(－∞，－1] C．f (x)的递增区间是(－∞，－1] D．f (x)的递增区间是[－1，1] 答案：D 解析：因为函数f (x)＝－x|x|＋2x的定义域为R，关于原点对称，f (－x)＝－(－x)|－x|＋2(－x)，＝x|x|－2x＝－f (x)，所以函数f (x)＝－x|x|＋2x是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1) 2＋1，所以f (x)在(0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，又因为f (x)＝－x|x|＋2x是定义在R上的奇函数，所以f (x)的单调递增区间为[－1，1]，单调递减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞).故选D． 3．若函数f (x)＝，则f (x)的值域为(　　) A．(－∞，3] B．(2，3) C．(2，3] D．[3，＋∞) 答案：C 解析：f (x)＝＝2＋，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤1，所以f (x)∈(2，3]．故选C． 4．(2024·广东深圳模拟)已知函数f (x)的定义域为R，若对∀x∈R都有f (3＋x)＝f (1－x)，且f (x)在(2，＋∞)上单调递减，则f (1)，f (2)与f (4)的大小关系是(　　) A．f (4)<f (1)<f (2) B．f (2)<f (1)<f (4) C．f (1)<f (2)<f (4) D．f (4)<f (2)<f (1) 答案：A 解析：因为对∀x∈R都有f (3＋x)＝f (1－x)，所以f (1)＝f (3－2)＝f[1－(－2)]＝f (3)．又因为f (x)在(2，＋∞)上单调递减，且2<3<4，所以f (4)<f (3)<f (2)，即f (4)<f (1)<f (2)．故选A． 5．f (x)＝在R上是增函数的充分不必要条件是(　　) A．a∈[－4，－2] B．a∈[－4，－1] C．a∈[－3，－1] D．a∈[－3，－2] 答案：D 解析：f (x)＝在R上是增函数，则有解得－4≤a≤－2，所以f (x)在R上是增函数的充要条件是a∈[－4，－2]，则充分不必要条件要求是[－4，－2]的真子集，只有D选项满足，即[－3，－2][－4，－2].故选D． 6．(2024·江西南昌一模)已知函数f (x)＝，若对于任意的x∈[2，3]，不等式f (x)＋f (a－2x)≤恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[5，＋∞) B．[4，＋∞) C．(－∞，6] D．(－∞，4] 答案：A 解析：因为y＝2x在R上单调递增，所以f (x)＝在R上单调递减．因为f (x)＋f (2－x)＝＋＝＋＝，所以由f (x)＋f (a－2x)≤，得f (a－2x)≤－f (x)，即f (a－2x)≤f (2－x)，所以a－2x≥2－x，即a≥2＋x对于任意的x∈[2，3]恒成立，而(2＋x) max＝5，则a≥5，即实数a的取值范围是[5，＋∞)．故选A． 7．[多选题]已知函数f (x)＝，则下列叙述正确的是(　　) A．f (x)的值域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞) B．f (x)在区间(－∞，－4)上单调递增 C．f (x)＋f (－8－x)＝4 D．若x∈{x|x>－4，x∈Z}，则f (x)的最小值为－3 答案：BCD 解析：函数f (x)＝＝＝2－，对于A，f (x)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，故A错误；对于B，f (x)在区间(－∞，－4)上单调递增，故B正确；对于C, f (x)＋f (－8－x)＝＋＝4，故C正确；对于D, 因为x∈{x|x>－4，x∈Z}，则f (x)的最小值为f (－3)＝－3，故D正确．故选BCD． 8．(新设问)[多选题]已知函数f (x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，<3恒成立，则实数a的取值可以是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：AB 解析：不妨设1≤x1<x2，则x1－x2<0，根据题意，可得f (x1)－f (x2)>3(x1－x2)恒成立，即f (x1)－3x1>f (x2)－3x2恒成立，令g(x)＝f (x)－3x＝ax2－2x－3，则g(x1)>g(x2)恒成立，所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减．当a＝0时，g(x)＝－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，符合题意；当a≠0时，要使g(x)＝ax2－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，则解得a<0.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]．故选AB． 9．(新角度)[多选题]已知定义在[1，6]上的函数f (x)＝x＋，则(　　) A．任意a，b，c∈[1，6]，f (a)，f (b)，f (c)均能作为一个三角形的三条边长 B．存在a，b，c∈[1，6]，使得f (a)，f (b)，f (c)不能作为一个三角形的三条边长 C．任意a，b，c∈[1，6]，f (a)，f (b)，f (c)均不能成为一个直角三角形的三条边长 D．存在a，b，c∈[1，6]，使得f (a)，f (b)，f (c)能成为一个直角三角形的三条边长 答案：AD 解析：函数f (x)＝x＋在[1，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，f (x)min＝f (2)＝4，f (x)max＝f (6)＝，任意a，b，c∈[1，6]，不妨令f (a)≥f (b)≥f (c)，则f (b)＋f (c)≥2f (c)≥2f (x)min>f (x)max≥f (a)，即f (a)，f (b)，f (c)均能作为一个三角形的三条边长，A正确，B错误；取a＝b＝2，c＝2＋2，满足a，b，c∈[1，6]，则f (a)＝f (b)＝4，f (c)＝4，显然有[f (a)]2＋[f (b)]2＝[f (c)]2，即以f (a)，f (b)，f (c)为边的三角形是直角三角形，C错误，D正确．故选AD． 10．(2024·海南海口二模)已知偶函数y＝f (x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f (x－1)的单调增区间是________． 答案：(－∞，2] 解析：因为偶函数y＝f (x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以y＝f (x＋1)在区间(－∞，0]上单调递增，又因为f (x－1)＝f ((x－2)＋1)，则函数f (x－1)的图象是由函数f (x＋1)的图象向右平移2个单位长度得到，所以函数f (x－1)的单调增区间是(－∞，2]. 11．(新设问)(2024·北京顺义一模)能说明“若f (x)≤f (2)对任意的x∈[0，2]都成立，则f (x)在 [0，2]上单调递增”为假命题的一个函数是________． 答案：f (x)＝(x－1) 2(答案不唯一) 解析：令f (x)＝(x－1)2，则f (x)≤f (2)对任意的x∈[0，2]都成立，但f (x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以函数f (x)在[0，2]上不是增函数． 12．函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若对于任意正实数x，y，恒有f (xy)＝f (x)＋f (y)，且f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (x－8) <2的解集是________． 答案：(8，9) 解析：因为f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，所以2＝f (3)＋f (3)＝f (3×3)＝f (9)，则不等式f (x)＋f (x－8)<2等价为f[x(x－8)]<f (9)，因为函数f (x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以不等式等价为即 解得8<x<9，所以不等式的解集为(8，9)． (每小题10分，共20分) 13．(新考法)(2024·广东阳江开学考)已知函数f (x)是(0，＋∞)上的单调函数，且f (f (x)－x－log2x)＝5，则f (x)在[1，8]上的值域为(　　) A．[2，10] B．[3，10] C．[2，13] D．[3，13] 答案：D 解析：因为f (x)是(0，＋∞)上的单调函数，所以存在唯一的t∈(0，＋∞)，使得f (t)＝5，则f (x)－x－log2x＝t，f (x)＝t＋x＋log2x，f (t)＝2t＋log2t＝5.因为y＝2t＋log2t为(0，＋∞)上的增函数，且2×2＋log22＝5，所以t＝2，所以f (x)＝x＋log2x＋2.因为f (x)在[1，8]上单调递增，所以f (1)≤f (x)≤f (8)，得3≤f (x)≤13.故选D． 14．(新定义)[多选题]已知函数f (x)的定义域为A，若对任意x∈A，都存在正数M使得|f (x)|≤M总成立，则称函数f (x)是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是(　　) A．f (x)＝x＋ B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝x|x＋1| 答案：BC 解析：对于A，f (x)的定义域为(－∞，4]，令＝t(t≥0)，则x＝4－t2，所以y＝－t2＋t＋4＝－(t－)2＋，y∈，不存在正数M，使得|y|≤M总成立，所以f (x)不是有界函数；对于B，f (x)的定义域为{x|－3≤x≤1}，所以0≤－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4≤4，所以0≤f (x)≤2，所以存在M≥2，使得|f (x)|≤M，所以f (x)是有界函数；对于C，因为2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1≥1，所以0<≤5，所以存在M≥5，使得|f (x)|≤M，所以f (x)是有界函数；对于D，f (x)＝x|x＋1|＝由于x<－1时，f (x)单调递增，此时f (x)∈(－∞，0)，故不存在正数M，使得|f (x)|≤M总成立，所以f (x)不是有界函数．故选BC． 15．(20分)定义在(0，＋∞)上的函数f (x)对于任意的x，y∈(0，＋∞)，总有f (x)＋f (y)＝f (xy)，当x＞1时，f (x)＜0且f (e)＝－1. (1)求f (1)的值； (2)判断函数在(0，＋∞)上的单调性，并证明； (3)求函数f (x)在上的最大值与最小值． 解：(1)令x＝y＝1， 得f (1)＋f (1)＝f (1)⇒f (1)＝0. (2)f (x)在(0，＋∞)上单调递减， 证明如下： 设x1＞x2＞0，令xy＝x1，x＝x2， 则y＝，所以y＞1，f (y)＜0， 由已知得f (x2)＋f＝f (x1)⇒f (x1)－f (x2)＝f＜0⇒f (x1)＜f (x2)， 所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减． (3)因为f (e)＝－1，令x＝y＝e，得f (e2)＝f (e)＋f (e)＝－2， 令x＝e，y＝，得f (1)＝f (e)＋f＝0，f＝1. 由(2)知函数f (x)在上单调递减，所以f (x)max＝f＝1，f (x)min＝f (e2)＝－2. 学生用书↓第23页 学科网（北京）股份有限公司 $$