1.5 一元二次函数与一元二次不等式（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§1.5　一元二次函数与一元二次不等式 【课程标准】　1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．　 2．了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．　 3．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1．一元二次不等式及其解法 (1)一元二次不等式的概念 ①一般地，形如ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式． ②使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． (2)一元二次不等式的求解方法 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 ax2＋bx＋c>0的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 微提醒　(1)解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形；(2)当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别． 2．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f (x)g(x)>0(<0)． (2)≥0(≤0)⇔f (x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 微提醒　>0与≥0的区别是f (x)能否为0，但g(x)≠0. 【记牢常用结论】 1．若f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f (x)>0；当时，恒有f (x)<0. 2．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 1．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．函数y＝x2＋2x＋5的图象可以由函数y＝x2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到 学生用书↓第15页 B．若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0 C．若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R D．不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0 答案：AB 2．(链接北师必修一P36例2)不等式(x－3)(x＋2)>0的解集是(　　) A．{x|－2<x<3} B． C．{x|x>3或x<－2} D． 答案：C 解析：直接根据一元二次不等式解得x>3或x<－2，则解集为{x|x>3或x<－2}．故选C． 3．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案：B 解析：因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2.故选B． 4．(用结论)一元二次不等式ax2＋ax－1＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案：(－4，0) 解析：依题意知即解得－4＜a＜0. 考点一　三个“二次”间的关系 基础练 (1)[多选题]若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，则下列说法正确的是(　　) A．a＜0 B．a＋b＋c＞0 C．关于x的不等式bx2＋cx＋3a＞0解集为(－3，1) D．关于x的不等式bx2＋cx＋3a＞0解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞) (2)若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________． 答案：(1)ABD　(2) 解析：(1)因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，所以a＜0，故b＝－a，c＝－2a，此时a＋b＋c＝－2a＞0，所以A正确， B正确；bx2＋cx＋3a＞0⇔－ax2－2ax＋3a＞0⇔x2＋2x－3＞0，解得x＜－3或x＞1.所以D正确；C错误．故选ABD． (2)由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a＞0，解得a＝. 规律方法 利用三个“二次”关系解不等式应遵循的策略 1．根据解集来判断二次项系数的符号． 2．根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． 3．约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．　　 对点练1．[多选题](2024·山东青岛期末)已知函数f (x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f (x)>c－1的解集为(m－4，m＋1)，则下列选项正确的为(　　) A．a＋4b＝0 B．m＝a＋3 C．b＝－(2m－3) 2 D．c＝－ 答案：CD 解析：对于A，函数f (x)＝－x2＋ax＋b＝－2＋＋b≤＋b，因为函数f (x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，所以＋b＝0，即a2＋4b＝0，故A错误；对于B，由f (x)>c－1得x2－ax－b＋c－1<0，因为f (x)>c－1的解集为，所以a＝m－4＋m＋1＝2m－3，即m＝，故B错误；对于C，由＋b＝0，a＝2m－3得b＝－＝－，故C正确；对于D，因为f (x)>c－1的解集为(m－4，m＋1)，所以(m－4)(m＋1)＝c－b－1，得m2－3m－4＝c－b－1＝c＋－1，又m＝，所以2－3－4＝c＋－1，整理得c＝－，故D正确．故选CD． 考点二　一元二次不等式的解法 综合练 (2024·安徽六安期末)已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝，则A∩B＝(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2≤x≤1} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－2≤x<－1} 答案：D 解析：A＝{x|－2≤x≤1}，而B＝{x|x<－1或x≥2}，故A∩B＝{x|－2≤x<－1}.故选D． 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)． 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， ①当a＞0时，原不等式可化为(x－1)＜0，所以当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜. ②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，即x＞1. ③当a＜0时，＜1，原不等式可化为(x－1)＞0，解得x＞1或x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}； 当a＜0时，不等式的解集为. 学生用书↓第16页 规律方法 解含参数的一元二次不等式 对点练2．解关于x的不等式>1. 解：移项得－1>0，合并得>0，等价于(3x＋1)(－x－2)>0， 即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－. 所以不等式的解集为. 对点练3．m>0时，解关于x的不等式mx2－mx－1<2x－3. 解：移项得mx2－(m＋2)x＋2<0， 对应的方程(mx－2)(x－1)＝0的两根为和1， 当0<m<2时，>1，解得1<x<； 当m＝2时，＝1，原不等式的解集为∅； 当m>2时，<1，解得<x<1. 综上所述，当0<m<2时，原不等式的解集为； 当m＝2时，原不等式的解集为∅； 当m>2时，原不等式的解集为. 考点三　一元二次不等式恒(能)成立问题多维练 角度1　在R上恒成立问题 (2024·湖南长沙期末)若不等式mx2＋mx－4<2x2＋2x－1对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，2) B．(－10，2] C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2) 答案：B 解析：依题意，不等式mx2＋mx－4<2x2＋2x－1对任意实数x均成立，即不等式(m－2)x2＋(m－2)x－3<0恒成立，当m＝2时，不等式可化为－3<0恒成立；当m<2时，Δ＝(m－2)2＋12(m－2)＝m2＋8m－20＝(m＋10) (m－2)<0，解得－10<m<2，综上所述，m的取值范围是(－10，2]．故选B． 角度2　在给定区间上恒成立问题 (1)若不等式x2＋ax－2>0在[1，5]上有解，则a的取值范围是(　　) A．(－，1] B．(－∞，－) C．(－，＋∞) D．(1，＋∞) (2)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，且对于∀x∈[1，5]，不等式bx2＋amx＋2c>0恒成立，则m的取值范围为(　　) A． B． C．(13，＋∞) D．(－∞，13) 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)因为关于x的不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，所以a>－x在区间[1，5]上有解，设f (x)＝－x，x∈[1，5]，其中f (x)在区间[1，5]上单调递减，所以f (x)有最小值为f (5)＝－5＝－，所以实数a的取值范围是(－，＋∞)．故选C． (2)由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，可知－2，3为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，故a<0且－＝－2＋3＝1，＝(－2)×3＝－6，即b＝－a，c＝－6a，则不等式bx2＋amx＋2c>0变为－ax2＋amx－12a>0，由于a<0，x∈[1，5]，则上式可转化为m<x＋在[1，5]恒成立，又x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，故m<4.故选B． 角度3　在给定参数范围的恒成立问题 若不等式x2－ax≥16－3x－4a对任意a∈[－2，4]成立，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，－8]∪[3，＋∞) B．(－∞，0)∪[1，＋∞) C．[－8，6] D．(0，3] 答案：A 解析：由题得不等式(x－4)a－x2－3x＋16≤0对任意a∈[－2，4]成立， 所以 即解得x≥3或x≤－8.故选A． 规律方法 恒成立问题求参数范围的解题策略 1．弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． 2．一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．　　 对点练4．(1)(新定义)若在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－a)*(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则(　　) A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a< (2)(2024·四川雅安三模)对任意的x∈(1，4)，不等式ax2－2x＋2>0都成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B． C． D． (3)已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为________． 答案：(1)C　(2)D　(3)(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：(1)由已知得(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，整理得x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1) <0，解得－<a<.故选C． (2)因为对任意的x∈(1，4)，都有ax2－2x＋2>0恒成立，所以a>对任意的x∈(1，4)恒成立．设f (x)＝＝－＋＝－22＋，因为x∈(1，4)，所以<<1，所以当＝，即x＝2时，f (x)max＝，所以实数a的取值范围是(，＋∞)．故选D． (3)把不等式的左端看成关于a的函数，记f (a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f (a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f (－1)＝x2－5x＋6＞0，且f (1)＝x2－3x＋2＞0，解不等式组得x＜1或x＞3. 课时测评5　一元二次函数与一元二次不等式 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|0≤x≤1} B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤0或x≥1} D．{x|x<0或x＝1} 答案：B 解析：由原式得x(1－x)≥0且x≠0，解得0<x≤1，即不等式的解集为{x|0<x≤1}.故选B． 2．(2024·浙江杭州期末)不等式|2x－1|－x2<1的解集是(　　) A． B．{x|x<－2或x>0} C． D．{x|－2<x<0} 答案：B 解析：不等式|2x－1|－x2<1，即|2x－1|<1＋x2，所以－1－x2<2x－1<1＋x2，即解得x>0或x<－2，故不等式的解集为{x|x<－2或x>0}.故选B． 3．已知不等式ax2＋bx－1>0的解集为，则不等式x2－bx－a≥0的解集为(　　) A．{x|x≤－3或x≥－2} B．{x|－3≤x≤－2} C．{x|2≤x≤3} D．{x|x≤2或x≥3} 答案：A 解析：因为不等式ax2＋bx－1>0的解集为，所以ax2＋bx－1＝0的两根为－，－，即解得a＝－6，b＝－5.所以不等式x2－bx－a≥0可化为x2＋5x＋6≥0，其解集为{x|x≤－3或x≥－2}．故选A． 4．(2024·山东泰安模拟)“c∈”是“∀x∈R，x2－cx＋3≥0成立”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由∀x∈R，x2－cx＋3≥0可得Δ＝c2－4×3≤0，化简可得－2≤c≤2，所以“∀x∈R，x2－cx＋3≥0成立”等价于“c∈”，“c∈”可推出“∀x∈R，x2－cx＋3≥0成立”，“∀x∈R，x2－cx＋3≥0成立”不能推出“c∈”，所以“c∈”是“∀x∈R，x2－cx＋3≥0成立”的充分不必要条件．故选A． 5．已知命题p：函数y＝x2＋mx＋1与x轴有两个交点；q：∀x∈R，4x2＋4(m－2)x＋1>0恒成立．若p和¬q均为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A．(2，3) B．(－∞，1]∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪[3，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1，2] 答案：C 解析：因为y＝x2＋mx＋1与x轴有两个交点，所以Δ＝m2－4>0，得到m>2或m<－2，故p：m>2或m<－2，又∀x∈R，4x2＋4(m－2)x＋1>0恒成立，所以Δ＝16(m－2)2－16<0，整理得到m2－4m＋3<0，得到1<m<3，所以¬q：m≤1或m≥3，又因为p和¬q均为真命题，故或得到m<－2或m≥3.故选C． 6．已知x>0，y>0且x＋y＝1.若不等式x2＋y2＋xy>m2＋m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．－<m<1 B．－≤m≤1 C．－2<m<1 D．m<－或m>1 答案：A 解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝1，所以x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1－xy≥1－()2＝，当且仅当x＝y＝时，等号成立；又不等式x2＋y2＋xy>m2＋m恒成立，所以只需>m2＋m，即2m2＋m－3<0，解得－<m<1.故选A． 7．(新考法)[多选题]已知集合{x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且仅有两个子集，则下面正确的是(　　) A．a2－b2>4 B．a2＋<4 C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2<0 D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 答案：CD 解析：由于集合{x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且仅有两个子集，所以方程x2＋ax＋b＝0只有一解，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b，由于a>0，所以b>0.对于A，a2－b2＝4b－b2＝－(b－2) 2＋4≤4，当b＝2，a＝2时等号成立，故A错误；对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝，b＝，a＝时等号成立，故B错误；对于C，不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，所以方程x2＋ax－b＝0的两根为x1，x2，所以x1x2＝－b<0，故C正确；对于D，不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，即不等式x2＋ax＋b－c<0的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c，则|x1－x2|2＝(x1＋x2) 2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝4c＝16，所以c＝4，故D正确．故选CD． 8．[多选题]已知不等式3ax2＋2ax＋1>0，则下列说法正确的是(　　) A．若a＝－1，则不等式的解集为 B．若不等式的解集为，则a＝－ C．若不等式的解集为(x1，x2)，则8x1·8x2＝ D．若不等式恒成立，则a∈(0，3) 答案：ABC 解析：对于A，若a＝－1，则3ax2＋2ax＋1>0即为3x2＋2x－1<0，解得x∈，故A正确；对于B，若不等式的解集为，则－2和是方程3ax2＋2ax＋1＝0的两个根，且a<0，所以，解得a＝－，故B正确；对于C，不等式的解集为(x1，x2)，则x1和x2是方程3ax2＋2ax＋1＝0的两个根，且a<0，则x1＋x2＝－，则8x1·8x2＝8x1＋x2＝8－＝(23)－＝2－2＝，故C正确；对于D，当a＝0时，1>0恒成立；当a≠0时，可得解得0<a<3.综上所述，若不等式恒成立，则a∈[0，3)，故D错误．故选ABC． 9．[多选题](2024·湖南衡阳期末)设区间[m，n]的长度为n－m.已知一元二次不等式(x＋a)≤0(a>0)的解集的区间长度为l，则(　　) A．当a＝1时，l＝6 B．l的最小值为4 C．当a＝1时，l＝5 D．l的最小值为2 答案：AD 解析：因为一元二次不等式(x＋a)≤0(a>0)的解集为，所以l＝－(－a)＝a＋，当a＝1时，l＝6，故A正确，C错误；因为a>0，所以l＝a＋≥2＝2(当且仅当a＝，即a＝时，等号成立)，所以l的最小值为2，故D正确，B错误．故选AD． 10．不等式(a－2) x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是__________． 答案：(－2，2] 解析：关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，即(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立．当a－2＝0，即a＝2时，不等式即－4＜0，显然满足条件．当a－2≠0时，应满足a－2<0且Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)<0，解得－2<a<2.综上知，实数a的取值范围是(－2，2]． 11．(数学建模)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其一边长x(单位：m)的取值范围是_______________________________． 答案：[10，30] 解析：设矩形的另一边长为y，由三角形相似得＝且x>0，y>0，x<40，y<40，所以40＝x＋y，又矩形的面积xy≥300，所以x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，所以其一边长x(单位：m)的取值范围是[10，30]． 12．(2024·河北承德期末)已知函数f (x)＝－x2＋bx－c的最大值为0，关于x的不等式－x2＋bx－c>m的解集为(t－1，t＋2)，则b2－4c＝______，m的值为______． 答案：0　－ 解析：因为函数f (x)＝－x2＋bx－c的最大值为0，所以当x＝时，函数有最大值，即－2＋b×－c＝0，化简得出b2－4c＝0.不等式－x2＋bx－c>m的解集为(t－1，t＋2)，即x2－bx＋c＋m<0的解集为(t－1，t＋2)，设方程x2－bx＋c＋m＝0的两根为x1，x2，则|x2－x1|＝3，所以(x2－x1) 2＝9，即(x1＋x2) 2－4x1x2＝9，即b2－4(c＋m)＝9，b2－4c－4m＝9，所以m＝－. (每小题8分，共16分) 13．(新考法)已知对一切x∈[2，3]，y∈[3，6]，不等式mx2－xy＋y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m≤6 B．－6≤m≤0 C．m≥0 D．0≤m≤6 答案：C 解析：因为x∈[2，3]，y∈[36]，则∈[，]，所以∈[1，3]，又因为mx2－xy＋y2≥0，且x∈[2，3]，x2>0，可得m≥－2，令t＝∈[1，3]，则原题意等价于对一切t∈[1，3]，m≥t－t2恒成立，因为y＝t－t2的开口向下，对称轴t＝，则当t＝1时，y＝t－t2取到最大值，ymax＝0，故实数m的取值范围是m≥0.故选C． 14．关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，则a－b＝(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 答案：D 解析：令f (x)＝x2－3x＋4，则f (x)＝(x－2)2＋1，所以f (x)min＝f (2)＝1，由题意可知a≤1，且f (a)＝f (b)＝b，a<b，b>2，由f (b)＝b得到b2－3b＋4＝b，解得b＝(舍去)或b＝4，由抛物线的对称轴为x＝2得到a＝0，所以a－b＝－4. (每小题12分，共24分) 15．若f (x)＝ax2＋4(a－1) x－3，x∈[0，2]，且f (x)≥f (2)恒成立，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为f (x)≥f (2)，所以ax2＋4(a－1)x－3≥4a＋8(a－1)－3，即ax2＋4(a－1)x＋8－12a≥0在x∈[0，2]恒成立， 令g(x)＝ax2＋4(a－1)x＋8－12a， a>0时，当如图①所示时，由，方程无解； 当如图②所示时，由，解得0<a≤； 当如图③所示时， 由方程组无解； a<0时，当如图④所示时，只须即可，解得a<0； a＝0时，g(x)＝－4x＋8，x∈[0，2]时g(x)＝－4x＋8单调递减，g(2)＝－8＋8＝0，满足题意；综上所述，a≤.故选B． 16．(新设问)下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0.”的一种解法： 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，又不等式ax2－bx＋c>0可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－1<x<2.所以不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}． 参考上述解法，解答问题： 若关于x的不等式＋<0的解集为{x|－2<x<－1或1<x<3}． 则关于x的不等式＋<0的解集为(　　) A．∪ B．(－1，1)∪(1，3) C．(－3，－1)∪(1，2) D．∪ 答案：A 解析：因为x＝0不是不等式＋<0的解，所以不等式＋<0等价于＋<0，所以－2<－<－1或1<－<3，解得－1<x<－或<x<1.故选A． 学生用书↓第17页 学科网（北京）股份有限公司 $$