拓展视野6 隐圆(阿波罗尼斯圆)问题（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

拓展视野(六)隐圆(阿波罗尼斯圆)问题 第八章　直线与圆、圆锥曲线 隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！其中阿波罗尼斯圆、蒙日圆都属于隐圆的范畴．“隐形圆”虽然隐蔽性较强，但是只要我们认真审题，抓住这类问题的特征与规律，就可以发现“隐形圆”，从而能快捷地解决问题． 知识链接 类型一　由圆的定义确定隐圆 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数 a的取值范围为__________________． 例1 典题体验 规律方法 解答本题的关键是依据题设条件∠APB＝60°，得到OP＝2，可推出点P在x2＋y2＝4上，即发现点P在一个圆上，这样就把原问题转化为圆与圆的位置关系问题，从而简捷求解．　　 √ 已知点P在圆O：x2＋y2＝4上，点A(－3，0)，B(0，4)，满足AP⊥BP的点P的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 例2 √ 规律方法 圆是一个完美的几何图形，具有独特的性质，如直径所对的圆周角是直角；在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等等等．利用这些性质，我们往往能顺藤摸瓜，找到“隐形圆”．　　 对点练2.已知直线l1：mx－y＝0(m∈R)过定点A，直线l2：x＋my＋4－2m＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则△ABC面积的最大值为 √ 例3 λ<2 规律方法 当点P满足多个条件时，往往可将原问题转化为几个曲线之间的位置关系，进一步将线段或向量之间的关系式转化为解析几何的方程形式来求解．　　 －2≤a≤1 类型四　由给定两定点A，B，动点P满足|AP|＝λ|BP|(λ>0，λ≠1)的关系可确定隐圆 例4 2 规律方法 对于线段之间成倍数关系(但不为“1”)时可以使用阿波罗尼斯圆的知识，从而化简结果．同时对于一些比值一定的复杂问题也可以使用阿波罗尼斯圆的相关知识，但是如果没有学习过相关知识，做起来就比较复杂．对于一些比较隐蔽的表达时需要学生了解并熟悉此种做法，以防造成遗漏．　　 √ (2)已知△ABC中，A为一动点，B，C为两定点，且|AB|＝2|AC|，|BC|＝a，△ABC的面积记为S，若a＝3，则△ABC面积的最大值为_____；若S＝1，则a的取值范围为____________． 3 返回 谢谢观看 本节到此结束 由题意得，圆心M(a，a－4)在直线x－y－4＝0上运动，则动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆．又因为圆M上存在点P，经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB＝60°，所以OP＝2，即点P也在x2＋y2＝4上，记为圆E，则圆E与圆M一定有公共点．于是2－1≤≤2＋1，即1≤ ≤3，解得实数a的取值范围是. 对点练1.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是 A．－1 B．＋1 C．2 D．2－ 设a＝(x，y)，e＝(1，0)，b＝(m，n)，则由〈a，e〉＝得a·e＝|a|·|e|cos，x＝，所以y＝±x，由b2－4e·b＋3＝0得m2＋n2－4m＋3＝0，(m－2)2＋n2＝1，因此|a－b|的最小值为圆心(2，0)到直线y＝±x的距离＝减去半径1，为－1.故选A． 类型二　由动点P满足对两个定点A，B的张角是90°(kPA·kPB＝－1)或者·＝0确定隐圆 设点P(x，y)，则x2＋y2＝4，且＝(x＋3，y)，＝(x，y－4)，由AP⊥BP，得·＝x(x＋3)＋y(y－4)＝x2＋y2＋3x－4y＝0，即(x＋)2＋(y－2)2＝，故点P的轨迹为一个圆心为(－，2)，半径为的圆，则两圆的圆心距为，半径和为＋2＝，半径差为－2＝，有<<，所以两圆相交，满足条件的点P有2个．故选B． A． B．2 C．5 D．10 由直线l1的方程是mx－y＝0，得直线l1过定点A(0，0)，同理直线l2的方程为x＋my＋4－2m＝0，即(x＋4)＋m(y－2)＝0，所以定点B(－4，2)，又m×1＋(－1)×m＝0，所以l1⊥l2，即C在以AB为直径的圆上，|AB|＝＝2，由圆的性质知点C到AB的距离最大值等于圆半径，即|AB|＝，所以△ABC面积的最大值为S＝×2×＝5.故选C． 已知点A(2，3)，B(6，－3)，点P在直线3x－4y＋3＝0上，并且又满足等式·＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围是________． 类型三　由动点P满足对两个定点A，B有·＝λ(λ≠0)或|PA|2＋|PB|2＝λ(λ>0)确定隐圆 设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(x－6，y＋3)，根据·＋2λ＝0，有(x－4)2＋y2＝13－2λ(λ<)．由题意知圆(x－4)2＋y2＝13－2λ(λ<)与直线3x－4y＋3＝0相交，故圆心到直线的距离d＝＝3<，解得λ<2. 对点练3.已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M，使·＝3，则实数a的取值范围是____________． 设M(x，y)，因为·＝3，所以(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝3，即x2＋y2＝4，表示圆．又因为点M在圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上，所以两圆必有交点，所以2－1≤≤1＋2，解得－2　≤a≤1. 已知圆O：x2＋y2＝1和点A，若定点B(b，0)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________． 由图可知，当|yM|＝1，即M的坐标为(0，1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，故△MAB的面积的最大值为××1＝. 设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，得(x－b)2＋y2＝λ2，整理得x2＋y2－x＋＝0，所以解得 如图所示，S△MAB＝|AB|· |yM|， 对点练4.(1)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则|PA|2＋|PB|2的最小值为 A．36－24 B．48－24 C．36 D．24 以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(x，y)，因为＝，所以＝，两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8， 所以P点的轨迹是以(3，0)为圆心，2为半径的圆，则有|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2，如图所示，当点P为圆与x轴的交点(靠近原点)时，OP取得最小值，且|OP|＝3－2，因此|PA|2＋|PB|2≥2×2＋2＝36－24，故选A． [，＋∞) 以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，若a＝3，即|BC|＝3，则C(3，0)，设△ABC的顶点A(x，y)，而|AB|＝2|AC|，则＝2，化简得(x－4)2＋y2＝4，根据条件可知A不在直线BC上，则y≠0，即x≠6且x≠2，所以A点的轨迹为圆(x－4)2＋y2＝4除去点(6，0)与(2，0)，可得|y|max＝2， 所以△ABC面积S的最大值为|BC||y|max＝×3×2＝3，即Smax＝3.同理，当|AB|＝2|AC|，|BC|＝a时，△ABC的顶点A(x，y)满足＝2，化简可得2＋y2＝2(y≠0)，可得0<|y|≤，又S＝1，则a|y|＝1，即|y|＝，所以0<≤，解得a≥，即a的取值范围为[，＋∞)． $$