拓展视野2 破解嵌套函数的零点问题（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

拓展视野（二）破解嵌套函数的零点问题 第二章　函数与基本初等函数 　　函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． 知识链接 (2024·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝ 则函数g(x)＝ f(f(x))－1的零点个数是 A．1 B．0 C．2 D．3 √ 例1 一、判断嵌套函数的零点个数 典题体验 故结合对数函数图象，可画出函数f(x)的图象如下图所示： 函数g(x)＝f(f(x))－1的零点，即f(f(x))＝1，令t＝f(x)，代入可得f(t)＝1> ，由图象可知t＝e－1，即f(x)＝e－1，结合函数图象可知，f(x)＝e－1有1个解，综合可知，函数g(x)＝f(f(x))－1的零点有1个．故选A． [多选题](2024·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝ 若函数y＝f(f(x))恰好有4个不同的零点，则实数t的取值可以是 A．－3 B．－2 C．0 D．2 √ 由题意可知：当x≤0时，f(x)在(－∞，0]上单调递减，则f(x)≥f(0)＝t；当x>0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)>2ln 1－1＝－1；若函数y＝f(f(x))f恰好有4个不同的零点， 例2 二、由嵌套函数零点的情况求参数 √ √ 由图可知f(x)与y＝t1无交点，与y＝t2有三个不同交点，与y＝t3，y＝t4各有两个不同交点， 所以F(x)＝f(f(x))－ f(x)－1的零点个数为7个．故选C． √ 谢谢观看 本节到此结束 函数f(x)＝对y＝－xex求导得y′＝－(x＋1) ex，令y′>0⇒x<－1，令y′<0⇒0>x>－1，可知y＝－xex在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，且x趋向负无穷时，y>0，x＝－1时，ymax＝， 令u＝f(x)，则y＝f(u)有两个零点，可得当u>0时，则2ln (u＋1)－1＝0，解得u＝－1>0；当u≤0时，则u2－2u＋t＝0，可得可得f(x)＝－1和f(x)＝1－均有两个不同的实根，即y＝f(x)与y＝－1、y＝1－均有两个交点，不论t与－1的大小关系，则且解得－3<t≤0，综上所述，实数t的取值范围为(－3，0].又－3∉(－3，0]，－2∈(－3，0]，0∈(－3，0]，2∉(－3，0]，故AD错误，BC正确．故选BC． 对点练1．(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，则函数F(x)＝f(f(x))－f(x)－1的零点个数为 A．3 B．5 C．7 D．9 设f(x)＝t，令F(x)＝0可得：f(t)＝t＋1，对于y＝，y′＝，故y＝在x＝0处切线的斜率值为k1＝1，设y＝k2x＋1与y＝ln x相切于点(x2，ln x2)， 因为(ln x)′＝，所以切线斜率k2＝，则切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1，所以解得x2＝e2，k2＝；由于<<1，故作出f(x)与y＝x＋1图象如图①所示， 所以y＝x＋1与f(x)有四个不同交点，即y＝t＋1与f(t)有四个不同交点，设四个交点横坐标为t1，t2，t3，t4(t1<t2<t3<t4)，由图象可知：t1<0<t2<1<t3<t4，作出函数y＝t，y＝f(x)的图象如图②所示， 对点练2．(2024·江苏镇江模拟)函数f(x)＝|x|＋1，若g(x)＝2f 2(x)－(2a＋3) f(x)＋3a有4个零点，则a的取值范围是 A．(1，2) B． C．∪ D．∪ 由g(x)＝2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0，可得[2f(x)－3]·[f(x)－a]＝0， 解得f(x)＝或f(x)＝a，如图所示．由图可知，直线y＝与函数f(x)的图象有两个交点，又因为函数g(x)有四个零点，故直线y＝a与函数f(x)有两个交点，且a≠，所以1<a<2且a≠，因此实数a的取值范围是∪.故选D． $$