第8章 第6节 双曲线（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教版2019）

第六节　双曲线 第八章　平面解析几何 课程标准 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实 际问题中的作用. 　 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何 性质. 　 3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为双曲线 为双曲线的焦点 为双曲线的焦距 ＝2a 2a＜|F1F2| ||MF1|－|MF2|| F1，F2 |F1F2| 微提醒　(1)当|MF1|－|MF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点M的轨迹为靠近F2的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点M的轨迹为靠近F1的双曲线的一支． (2)若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 ______________ __________________ 对称性 对称轴： 对称中心：_____ 对称轴： 对称中心：____ 顶点 顶点坐标：A1 ，A2_____ 顶点坐标：A1 ，A2_____ 渐近线 ____________ ____________ 离心率 e＝ ，e∈________ x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－a) (0，a) (1，＋∞) 性质 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ ； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c间的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0) 2a 2b a2＋b2 记牢常用结论 1．双曲线方程的常见设法 2．双曲线中的常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为 . (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 ＝ ，其中θ为∠F1PF2. 练透教材典题 1．[多选题]下列说法正确的是 A．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 √ √ 2．(链接人A选择性必修一P127T1)已知双曲线x2－ ＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于____． 设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝ －1>2，故|PF2|＝6. 6 3．(链接人A选择性必修一P124例3)双曲线 ＝1的实轴长为_____，离心率为__，渐近线方程为____________． 10 则m的取值范围是___________． (－2，－1) 返回 5．(用结论)与双曲线C： －y2＝1共渐近线，且经过点 的双曲线的标准方程是___________． 考点探究　精准突破 返回 考点一 双曲线的定义及应用 基础练 例1 √ (1)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为 如图，设△ABC与内切圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为 ＝1(x>2)．故选A． √ (2)已知双曲线C： ＝1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为(3,1)，则|MD|－|MF1|的最大值为 A．3 B．1 C．－3 D．－2 由题意知双曲线C的实半轴长a＝2，设右焦点为F2(3,0)，所以|MD|－|MF1|＝|MD|－(|MF2|＋2a)＝(|MD|－|MF2|)－2a≤|F2D|－2a＝ －4＝－3，当且仅当M为DF2的延长线与双曲线交点时取等号．故选C． 规律方法 双曲线定义应用的两个方面 √ M的轨迹是 A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 设F1(－2,0)，F2(2,0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是射线．故选A． (2)如图，F为双曲线C： ＝1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1,2,3)关于y轴对称，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|－|P4F|－|P5F|－|P6F|＝_____. 18 设双曲线的右焦点为F2，因为双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1,2,3)关于y轴对称，所以|PiF2|＝|P7－iF|(i＝1,2,3)，又双曲线的实轴长为2a＝2×3＝6，根据双曲线的定义可得|P1F|＋|P2F|＋|P3F|－|P4F|－|P5F|－|P6F|＝(|P1F|－|P6F|)＋(|P2F|－|P5F|)＋(|P3F|－|P4F|)＝(|P1F|－|P1F2|)＋(|P2F|－|P2F2|)＋(|P3F|－|P3F2|)＝2a＋2a＋2a＝6a＝18. 考点二 双曲线的标准方程 基础练 例2 √ √ 规律方法 求双曲线标准方程的常用方法 1．定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程． 2．待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即”先定型，再定量“．如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为 ＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解． 对点练2.(1)焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线 －x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________． 考点三 双曲线的几何性质 多维练 例3 角度1　双曲线的渐近线 (1)(2024·山东菏泽模拟)已知双曲线 －y2＝1(m>0)的一个焦点为F(3,0)，则其渐近线方程为 √ －3 规律方法 求双曲线渐近线方程的方法 1．求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程． 2．求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程． 3．令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程． 提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称． 例4 角度2　双曲线的离心率 √ 由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，有 四边形AF1BF2为平行四边形，令|F1A|＝|F2B|＝m，则 |F1B|＝|F2A|＝2m，由双曲线定义可知|F2A|－|F1A|＝2a， 故有2m－m＝2a，即m＝2a，即|F1A|＝|F2B|＝m＝2a， |F1B| (2)(2024·广西河池模拟)记双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若直线y＝2x与C无公共点，则e的取值范围为________． 规律方法 求双曲线离心率或其取值范围的方法 2．列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解． √ 对点练3.(1)设F1，F2是双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若双曲线C上存在点P满足|PF1|∶|PF2|＝2∶1且∠F1PF2＝90°，则双曲线C的渐近线方程是 A．x±2y＝0 B．2x±y＝0 C．5x±4y＝0 D．4x±5y＝0 根据双曲线的定义及已知可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝90°，所以(4a)2＋(2a)2＝(2c)2＝4a2＋4b2，整理得b2＝4a2，所以 ＝2，故双曲线C的渐近线方程是y＝± x＝±2x，即2x±y＝0.故选B． √ 则下列结论正确的是 A．双曲线C的焦点在x轴上 √ √ 返回 课时测评 返回 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 知圆相交，且此圆在第一象限，所以这一条渐近线方程为y＝2x， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为(0，b)，则双曲线C的一条渐近线的斜率为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设线段PF1的中点为M，坐标原点为O，连接OM，PF2.因为线段PF1的中点M的坐标为(0，b)，所以点P在双曲线C的右支上．因为原点O为线段F1F2的中点，所以OM∥ PF2，则PF2⊥F1F2，|PF2|＝2|OM|＝2b.由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF1|＝2a＋2b.在Rt△F1F2P中，|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即(2a＋2b)2＝(2b)2＋(2c)2，整理得b＝2a，即 ＝2，则双曲线C的一条渐近线的斜率为2.故选A． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 过F1作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，|PM|＝|MF1|，下列判断正确的是 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，因为|PM|＝|MF1|，即M为PF1的中点，O为F1F2的 中点，所以OM∥PF2， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为____________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．(2024·河南三门峡模拟)若F1，F2分别是双曲线 ＝1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝4，△ABF2的周长是20，则 m＝___. 9 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．(10分)已知双曲线C：x2－ ＝1(b>0)． (1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程； 解：因为双曲线C：x2－ ＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝2x， 所以b＝2， 所以双曲线C的标准方程为x2－ ＝1. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值． 解：因为PF1⊥PF2， 所以 ＝ |PF1|·|PF2|， 因为△PF1F2的面积为9， 所以|PF1|·|PF2|＝18， 又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2， 所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以|PF1|2＋|PF2|2＝40， 又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， 所以c2＝10， 由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10， 所以b＝3. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的标准方程； 解：因为双曲线的渐近线方程为y＝ ±x，又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以 ＝1，即a＝b， 所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－ ，求双曲线的离心率． 解：设点A的坐标为(x0，y0)， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．[多选题]在△ABC中，|AB|＝4，M为AB的中点，且||CA|－|CB||＝|CM|，则下列说法中正确的是 A．动点C的轨迹是双曲线 B．动点C的纵坐标的最大值为 C．△ABC是钝角三角形 D．△ABC面积的最大值为2 以M为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)．设|CM|＝r，此时点C在以M为圆心，r为半径的动圆上．由||CA|－|CB||＝r知，点C在以A，B为焦点， √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝90°，故此时△ABC为直角三角形，故C错误；因为||CA|－|CB||不是定值，所以动点C的轨迹不是双曲线，故A错误．故选BD． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|， |AF1|＝2a＋2m，|AB|＝5m，在Rt△ABF1中，9m2＋ (2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或 a＝－3m(舍去)， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(2024·山东临沂模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P|＝ |OP|，则C的渐近线方程为__________________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 15．(新角度)如图为陕西博物馆收藏的国宝－－唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为 ，下底座外直径为 ，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为 A．2 π B．3π C．2 π D．4π 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(2024·安徽蚌埠模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，点F2为双曲线C： －y2＝1(a>0)的右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为△OMF2的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为_____． 如图，不妨设点M在第二象限，设点M(m，n)，易知 F2(c,0)，由D为MF2的中点，O，I，D三点共线知， 直线OD垂直平分MF2，则直线OD的方程为y＝ x， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 －＝1(a＞0，b＞0) y＝±x y＝±x －＝1(a＞0，b＞0) (1)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)． (2)若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)． S△PF1F2 B．方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线 C．双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0 D．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 双曲线－＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，所以实轴长为2a＝10，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. － y＝±x 4．(链接人A选择性必修一P121T3)若方程＋＝1表示双曲线， 因为方程＋＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)<0，即－2<m<－1. 根据题意，设要求的双曲线为－y2＝t(t≠0)，由双曲线经过点，得－＝t，解得t＝2，则要求双曲线的标准方程为－＝1. －＝1 A．－＝1(x>2) B．－＝1(x>3) C．＋＝1(0<x<2) D．＋＝1(0<x<3) － － 对点练1.(1)已知动点M(x，y)满足－＝4，则动点 － (1)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为 A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 由e＝＝2，得c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1， 将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此双曲线的标准方程为x2－＝1.故选A． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则双曲线C的标准方程为 A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 因为焦距为2，所以半焦距为，故a2＋b2＝5，因为P(2,1)在C的一条渐近线上，故×2＝1，解得a＝2，b＝1，故双曲线C的标准方程为－y2＝1.故选A． － －＝1 设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为______________． －＝1 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线的标准方程为－＝1. A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±2x D．y＝±x 题意得，m＋1＝32，解得m＝8，所以双曲线方程为－y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选A． (2)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________. 易知m<0，即双曲线的标准方程为y2－＝1则a＝1，b＝，又双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，所以＝，即＝，解得m＝－3. (1)(2024·九省适应性测试)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为 A． B．2 C． D． ＝|F2A|＝4a，·＝||·||cos∠AF2B＝2a×4acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，则有cos∠F2BF1＝＝＝－，即＝－，即－＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝.故选D． － 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，结合渐近线的特点得，0<≤2，即≤4，所以e＝＝≤ ＝，因为e>1，所以1<e≤. (1，] 1．求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. － B．双曲线C的焦距等于4 C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于 D．双曲线C的离心率的取值范围为 (2)[多选题](2024·河北张家口模拟)已知双曲线C：＋＝1(0<k<1)， 对于A，因为0<k<1，所以9－k>0，k－1<0，所以双曲线C：－＝1(0<k<1)表示焦点在x轴上的双曲线，故选项A正确；对于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝，所以双曲线C的焦距等于2c＝2(0<k<1)，故选项B错误；对于C，设焦点在x轴上的双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)， 焦点坐标为(±c,0)，则渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝＝b，所以双曲线C：－＝1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于，故选项C正确；对于D，双曲线C的离心率e＝＝＝，因为0<k<1，所以1<2－<，所以e＝∈，故选项D正确．故选ACD． 1．已知离心率为2的双曲线－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线的方程为 A．－＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 由双曲线－＝1与椭圆＋＝1有公共焦点，得c2＝a2＋b2＝8－4＝4，又e2＝＝＝4，所以a2＝1，所以b2＝3，所以双曲线的方程为x2－＝1. 故选C． 2．双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程为y＝±x，实轴长为2，则m－n＝ A．－1 B．1－ C． D．1－ 因为双曲线的实轴长为2，所以2＝2，所以m＝1，又渐近线方程为y＝±x，所以＝，解得n＝2，所以m－n＝－1.故选A． 3．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为， A． B． C． D． 由e＝，则＝＝1＋＝5，解得＝2，又C的一条渐近线与已 则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝＝， 所以弦长|AB|＝2＝2＝.故选D. 4．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点 A．2 B． C． D． 5．[多选题]双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是 A．双曲线C的离心率为 B．双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同 C．若PO⊥PF，则△PFO的面积为 D．|PF|的最小值为2 因为a＝2，b＝，所以c＝＝，所以e＝＝，故A正确；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故B正确；因为PO⊥PF，点F(，0)到渐近线x－2y＝0的距离d＝＝，所以|PF|＝，所以|PO|＝＝2，所以△PFO的面积为××2＝，故C正确；|PF|的最小值即为点F到渐近线的距离，即|PF|min＝，故D不正确．故选ABC． 6．[多选题]已知F1，F2是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点， A．∠PF2F1＝60° B．|MF2|＝|PF1| C．E的离心率等于 D．E的渐近线方程为y＝±x 因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2， 所以∠PF2F1＝90°，|MF2|＝|PF1|，故A错误，B正确； 由PF2⊥F1F2知，|PF2|＝，又|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝30°，所以＝2c，即(c2－a2)＝2ac，所以e2－2e－＝0，解得e＝(负值舍去)，故C正确；因为e＝＝，所以c2＝3a2，所以b2＝c2－a2＝2a2，所以＝，所以E的渐近线方程为y＝±x，故D正确．故选BCD． － y＝±x 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝＝＝＝2，所以＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝ ±x. － 由题意得m>0，根据双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF2|－|BF1|＝2a＝2，上述两式相加得(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝4，|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4，即|AF2|＋|BF2|－4＝4，所以|AF2|＋|BF2|＝4＋4，所以△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4＋4＋4＝20，解得 m＝9. S△PF1F2 所以双曲线的标准方程为－＝1. － 依题意，A点满足x＋y＝c2，将①代入得3y＋y＝c2， 即y0＝c，所以x0＝c， 所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1， 所以x0＝y0，① 整理得c4－2a2c2＋a4＝0， 所以34－82＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0. 因为e>1，所以e＝，所以双曲线的离心率为. 所以点A的坐标为， 代入双曲线方程得－＝1， 即b2c2－a2c2＝a2b2.② a＝的双曲线－＝1上且a2＋b2＝2＝4.设点C(x，y)，则x2＋y2＝r2，－＝1，从而y2＝r2(16－r2)，当r2＝8时，y2最大，故|y|≤ ，S△ABC≤2，故B，D正确；当r＝2时，|MA|＝|MB|＝|MC|，∠ACB 12．(2023·天津卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为 A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 如图，因为F2(c,0)，不妨设渐近线方程为y＝x， 即bx－ay＝0，所以|PF2|＝＝＝b，所以 b＝2.设∠POF2＝θ，则tan θ＝＝＝，所以 |OP|＝a，在△OPF2中，ab＝c·yP，所以yP＝，所以tan θ＝＝＝，所以xP＝，所以P，因为F1(－c,0)， 所以kPF1＝＝＝＝＝， 所以(a2＋2)＝4a，解得a＝，所以双曲线的方程 为－＝1.故选D． 13．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y 轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． ＝＝，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，即＝，故e＝＝. 法二：依题意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，令A(x0，y0)，B(0，t)， 因为＝－，所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，则x0＝c， y0＝－t，又⊥，所以·＝·(c，t)＝c2－ t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则－＝1，即－＝1，则－＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝或e＝(舍去)，故e＝. 如图所示，由题意得，|F1O|＝|OP|＝c，|F1P|＝|OP|＝ c，所以在△POF1中，由余弦定理可得cos∠POF1 ＝＝＝－，所以 ∠POF1＝，则∠POF2＝，所以tan∠POF2＝tan＝ ，则渐近线方程为y＝±x. － y＝±x － 该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设M，N，代入双曲线方程可得－＝1，－＝1，即－＝，－＝1，作差可得＝，解得a2＝3，a＝，所以杯身最细之处的周长为2π.故选C． 故有＝－a，且·n＝·，解得m＝＝，n＝.将代入双曲线C的方程得－＝1，化简得c2＝5a2，即e＝. $$