第8章 第1节 直线的方程（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版2019）

第一节　直线的方程 第八章　平面解析几何 课程标准 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几 何要素．　 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜 率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．　 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形 式(点斜式、两点式及一般式等)． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 理清主干知识 1．直线的倾斜角 定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们把x轴_____绕交点________旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴____________时，规定倾斜角α＝0 范围 直线的倾斜角α的取值范围为________ 正向 逆时针 平行或重合 0≤α<π 2.直线的斜率 定义 一条直线的倾斜角α 的________k称为这条直线的斜率，即 k＝_____ 过两点的直线的斜率公式 经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线(设直线的倾斜角为 α)的斜率公式为k＝tan α＝___________ 微提醒　所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合). 正切值 tan α 3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 ________________ 不含直线x＝x0 斜截式 ___________ 不含垂直于x轴的直线 两点式 (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0 过任意两个不同的点的直线都适用 _________________ _________________ 不含直线x＝x1和直线y＝y1 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b (x1≠x2，y1≠y2) 微提醒　“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 名称 方程 适用范围 截距式 ____________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ________________ __________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) 4．直线的方向向量和法向量 (1)直线的方向向量：与直线l_____的_____向量v都称为l的方向向量，用它们来表示直线的_____． (2)直线方向向量的性质： ①直线的方向向量相互_____，互为_______． ②斜率为k的直线的方向向量为______的非零实数倍． (3)直线的法向量：与直线l _____的非零向量n＝(A，B)称为直线l的法向量． 平行 非零 方向 平行 实数倍 (1，k) 垂直 记牢常用结论 1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 2．几种特殊直线的方程 (1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1. (2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1. (3)y轴的方程为x＝0. (4)x轴的方程为y＝0. α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 练透教材典题 1．[多选题]下列说法错误的是 A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 D．存在直线l，使得l在x轴上的截距与在y轴上的截距都为0 √ √ √ √ 2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为 A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 √ 3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是 A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 因为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.故选D． √ 4．(用结论)已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为 A．x＋y＝1 B．x－y＝1 C．y＝1 D．x＝1 因为直线l的倾斜角为90°，所以该直线斜率不存在，与x轴垂直，又因为直线l过点(1,1)，所以直线l的方程为x＝1.故选D． 返回 5．(用结论)直线y＝1的斜率为____． 0 因为直线y＝1平行于x轴，所以斜率为0. 考点探究　精准突破 返回 考点一 直线的倾斜角与斜率 基础练 例1 √ (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1,1]，所以－ (2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为______________________． 变式探究 1．(变问法)本例(2)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是________． 2．(变条件)若将本例(2)中“P(1,0)”改为“P(－1,0)”，其他条件不变，则直线l的斜率的取值范围为________． 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.由题意得，A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，所以(2k－1＋k) 规律方法 1．求倾斜角的取值范围的一般步骤 第一步：求出斜率k＝tan α的取值范围； 第二步：利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 2．斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝ (x1≠x2)求斜率． √ 对点练1.(1)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2.故选D． (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为___，_____. －3 如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2， 建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的 倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的 倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角 考点二 求直线的方程 基础练 例2 求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－ ； (2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍； 解：当横截距与纵截距都为0时， 可设直线方程为y＝kx， 又直线过点(2,1)， 当横截距与纵截距都不为0时， 综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. (3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5. 解：当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为k， 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋10－5k＝0. 所以原点到直线的距离d＝ ＝5， 解得k＝ ， 所以所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 规律方法 求直线方程的两种方法 提醒：在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时应注意分类讨论． 对点练2.(1)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为 √ 法二：设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则 ＝(x＋4，y－3)，因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，故直线l的方程为y－3＝ (x＋4)．故选C． (2)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0 C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0 √ 考点三 直线方程的综合应用 综合练 例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 解：法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 故直线l的方程为y－1＝－ (x－2)， 即x＋2y－4＝0. 即x＋2y－4＝0. 1．(变条件)在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 变式探究 2．(变条件)本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1) ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5 当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 规律方法 与直线方程有关的最值问题的解题策略 对点练3.已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为__________ ____． 设直线l的方程为 ＝1(a>0，b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，且 ＝1，则a＋b＝ab，所以|MA|2＋|MB|2＝(a－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b－1)2＝4＋a2＋b2－2(a＋b)＝4＋a2＋b2－2ab＝4＋(a－b)2≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. x＋y－2 ＝0 对点练4.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； 解：证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 所以无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围． 解：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－ ，在y轴上的截距为1＋2k， 要使直线不经过第四象限，则必须有 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞)． 返回 课时测评 返回 √ 1．在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为 A．45° B．135° C．90° D．180° 由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，则k＝tan α＝ ＝1，故倾斜角α＝45°.故选A． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 由AB>0且BC<0，可得A，B同号，B，C异号，所以A，C也是异号，令x＝0，得y＝－ >0；令y＝0，得x＝－ >0，所以直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，则平移后直线的方程为y＝k(x－3)＋b－2＝(kx＋b)＋(－3k－2)，可得kx＋b＝(kx＋b)＋(－3k－2)，即k＝－ .故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．[多选题]若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为 A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0 当直线经过原点时，斜率为k＝ ＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝a，把点A(1,2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选ABC． √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 7．[多选题]已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是 A．直线的倾斜角是π－α B．无论α如何变化，直线不过原点 C．直线的斜率一定存在 D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，所以B正确； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为_________ _____． ＋∞) [ ， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －1)，则直线l的方程为______________________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．过点P(－1,0)且与直线l1： x－y＋2＝0的夹角为 的直线的一般式方程是______________________． x＋1＝0或x－ y＋1＝0 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是 由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，所以直线l1的斜率、y轴上的截距分别与直线l2在y轴上的截距、斜率符号相同，分析选项可知B符合．故选B． √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(知识融合)直线l： x－y＋2＝0与x轴交于点A，把l绕点A顺时针旋转45°得直线m，m的倾斜角为α，则cos α等于 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则 的最大值为 A．1 B． C．－ D．－3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．[多选题]已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若α<β，则下列关系可能成立的是 A．0<k1<k2 B．k1<k2<0 C．k2<k1<0 D．k2<0<k1 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 15．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为 A．2 B．3 C．3 D．6 由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，动直线mx－y－2m＋3 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 16．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为_____． 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 ＝ ＋＝1 由斜率公式得＝1，解得m＝1.故选A． A．[0，π) B．[0，]∪ [，π) C．[0，] D．[0，]∪ (，π) 1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π.故选B． 如图，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，所以k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)． (－∞，－]∪[1，＋∞) (－＋k)≤0，即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤. 为θ＋45°，故kOA＝ tan(θ－45°)＝＝＝，kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3. 解：因为所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，所以y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0. 可设直线方程为＋＝1， 所以1＝2k，解得k＝， 所以直线方程为y＝x，即x－2y＝0； 由题意可得解得 所以直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. A．y－3＝－(x＋4) B．y＋3＝(x－4) C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4) 法一：因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l的斜率k＝，故当△AOB面积最小时，直线l的方程为y－3＝(x＋4)．故选C． 由题意知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－8＝0.故选C. ＝≥×(4＋4)＝4， 则A (2－，0)，B(0,1－2k)， S△AOB＝(1－2k)·(2－) 当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立． 则1＝＋≥2，故ab≥8， 故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4， 当且仅当＝＝时取等号， 此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1， 法二：设直线l：＋＝1，且a>0，b>0， 因为直线l过点M(2,1)，所以＋＝1， ＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当a＝2＋，b＝1＋时，等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋. 解：由本例法二知，＋＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)· ＝2×＝2≥4， 当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号， 解：法一：由本例法一知A (2－，0)，B(0,1－2k)(k<0)． 所以|MA|·|MB|＝· ＝－· ＝(2a＋b)－5 ＝2≥4， 法二：由本例法二知A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，＋＝1， 所以|MA|·|MB|＝||·|| ＋ ＋ 令解得 解得k>0； 2．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为 A．y＝x＋2 B．y＝x－2 C．y＝x－ D．y＝－x－2 直线x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝x＋2.故选A． A．－ B． C．－ D． A．k≥ B．k≤－2 C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤ 直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，因为kPA＝＝－2，kPB＝＝，又直线l与线段AB恒相交，所以－2≤k≤.故选D． 当α＝时，直线斜率不存在，所以C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以D正确．故选BD． 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥. 直线x－y－1＝0可化为y＝x－1，其斜率为，所以其倾斜角为60°，所以直线l的倾斜角为120°，所以kl＝tan 120°＝－，所以直线l的方程为y＋1＝－(x－)，即x＋y－2＝0. 9．直线l的倾斜角是直线x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点(， x＋y－2＝0 直线l1的倾斜角β∈[0，π)且tan β＝，则β＝，因为所求直线与直线l1的夹角为，所以所求直线的倾斜角为或.当所求直线的倾斜角为时，直线为x＝－1；当所求直线的倾斜角为时，直线为y＝(x＋1)，故直线为x－y＋1＝0.综上，所求直线为x＋1＝0或x－y＋1＝0. 设l的倾斜角为θ，则tan θ＝，所以θ＝60°，由题意知α＝θ－45°＝60°－45°，所以cos α＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.故选C． A．－ B． C． D． 设Q(3,0)，则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，因为点P(x，y)是线段AB上的任意一点，所以表示直线PQ的斜率，而kPQ∈，故的最大值为－.故选C． 若0<α<β<，因为y＝tan θ在上单调递增，则0<tan α<tan β，即0<k1<k2，所以A选项可能成立；若<α<β<π，因为y＝tan θ在上单调递增，则tan α<tan β<0，即k1<k2<0，所以B选项可能成立；对于C选项，由k2<k1<0可知α，β∈(，π)，且tan β<tan α，即β<α，与题意矛盾，不可能成立；若0<α<<β<π，则tan α>0，tan β<0，即k2<0<k1，所以D选项可能成立．故选ABD． ＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2,3)，又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为≥2，所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．故选D． 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又因为ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16. $$