第8章 第7节 抛物线（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教B版2019）

第七节　抛物线 第八章　平面解析几何 课程标准 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实 际问题中的作用．　 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何 性质．　 3.通过抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想．　 4.了解抛物线的简单应用． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 微提醒　当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条 直线． 理清主干知识 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 . 相等 焦点 准线 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 离心率 e＝___ 1 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 准线方程 __________ __________ __________ __________ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝_______ |PF|＝________ |PF|＝________ |PF|＝________ 记牢常用结论 与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角，则： (4)以弦AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 练透教材典题 1．[多选题]下列说法错误的是 A．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0) C．抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y √ √ √ √ 2．(链接人A选择性必修一P133T2)抛物线y＝ x2的准线方程是 A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 因为y＝ x2，所以x2＝4y，所以准线方程为y＝－1.故选A． √ 3．(链接人A选择性必修一P133T3)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 √ 4．(链接人A选择性必修一P135例4)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于 A．9 B．8 C．7 D．6 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B． 返回 5．(链接人A选择性必修一P134例3)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________ _________． y2＝－8x或 x2＝－y 设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y. 考点探究　精准突破 返回 考点一 抛物线的定义及应用 多维练 例1 √ 角度1　求轨迹方程 已知动圆P与定圆C：(x－2)2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是 A．y2＝4x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝－8x 设P点坐标为(x，y)，C(2,0)，动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PC|＝1＋r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是d＝x＋1＝r，所以|PC|－d＝1，即 －(x＋1)＝1，化简得y2＝8x.故选C． 角度2　最值问题 (1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2,1)的距离之和最小，则该点的坐标为________； 如图，因为y2＝－4x，所以p＝2，焦点坐标为(－1,0)．依 题意可知当A，P及P到准线的垂足Q三点共线时，点P与点 F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1 代入抛物线方程求得x 例2 (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为_____； 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1， 由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P 到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P， 使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和 最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值 (3)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为___． 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1(图略)，则|MM1|＝ .因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2. 2 规律方法 应用抛物线定义的两个关键点 1．根据抛物线的定义，把抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化． √ 对点练1.(1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为 ，则m等于 A．4 B．3 √ (2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线 的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x ＋y－4＝0的垂线，如图所示，此时d1＋d2最小，为 点F到直线x＋y－4＝0的距离． (3)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________． 当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①所示，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋ ＝41，解得p＝42；当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②所示，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小． 42或22 考点二 抛物线的标准方程 基础练 例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； 解：准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)． 又 ＝2，所以2p＝8， 故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)过点(3，－4)； 解：因为点(3，－4)在第四象限，所以抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 解：令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. 所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 规律方法 求抛物线标准方程的方法 1．定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可． 2．待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论． 对点练2.(1)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2 ，则该抛物线的准线方程为 A．x＝－ B．x＝－1 C．x＝－2 D．x＝－4 √ (2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为 √ 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D， 准线与x轴的交点设为G，设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由 抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，所以在 Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC| 考点三 抛物线的几何性质 基础练 例4 (1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为 ，则p等于 A．1 B．2 C．2 D．4 √ √ (2)[多选题](2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－ (x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则 A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 对于A选项，直线y＝－ (x－1)过点(1,0)，所以抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，所以 ＝1，p＝2,2p＝4， 抛物线C的方程为y2＝4x，则A选项正确； √ 规律方法 抛物线性质的应用技巧 1．利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． 2．要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 对点练3.(1)[多选题]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为 且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D．若|AF|＝8，则以下结论正确的是 A．p＝4 B． C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线， 垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴 于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为 ，所以其倾 斜角为60°.因为AE∥x轴， √ √ √ 所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°， 则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p ＝4，故A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥ (2)(2024·江苏徐州模拟)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上 易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图， 16 抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，则AF 返回 课时测评 返回 √ 1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点P(－1，－2)，则该抛物线的焦点坐标为 A．(1,0) B．(2,0) C．(0,1) D．(0,2) 因为抛物线的准线经过点P(－1，－2)，则 ＝1，即p＝2，则该抛物线的焦点坐标为(1,0)．故选A． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为 A．6 B．4 C．3 D．2 以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2.故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为 A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝－4x D．y2＝－8x 由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则|PQ|＋d的最小值为 A．5 B． ＋1 C． －1 D．4 因为抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．P到直线x＝－1的距离等于|PF|，所以P到y轴的距离d＝|PF|－1，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|－1.所以当F，P，Q三点共线时，|PQ|＋|PF|取得最小值|QF|.因为Q(－3,3)，F(1,0)，所以|QF|＝5，所以|PQ|＋d的最小值为5－1＝4.故选D． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．[多选题]已知点O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则 A．|AB|＝8 B．OA⊥OB C．△AOB的面积为2 D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y2＝4x，则p＝2，焦点为(1,0)，则直 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故A正确；y1y2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6．[多选题]已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是 A．p＝4 B．抛物线方程为y2＝16x C．直线l的方程为y＝2x－4 D．|AB|＝10 由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确； √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点______． 抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，准线方程为x＋2＝0.因为动圆与直线x＋2＝0相切，所以圆心到直线x＋2＝0的距离等于半径，所以圆心到焦点的距离等于半径，所以焦点F(2,0)在圆上． (2,0) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．则水位下降1 m后，水面宽_____ m. 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2 ＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得 p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽 为2 m. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．(10分)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. (1)求抛物线C的方程； 当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2， 所以1＋ ＝2，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程． 解：因为点M(－2，y0)在抛物线C上， 又直线l过点F(0,1)，所以设直线l的方程为y＝kx＋1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 所以－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0. 当k＝0时，l过点M，不符合题意，所以k＝2， 所以直线l的方程为y＝2x＋1. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程和点P的坐标； 解：由1＋ ＝2，可得p＝2， 故抛物线的方程为x2＝4y， 当y＝1时，x2＝4， 又因为x>0，所以x＝2，所以点P的坐标为(2,1)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)过点 的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的平分线与y轴垂直，求弦AB的长． 解：由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋ ，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得x2－4kx－4k－2＝0， 所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2， 因为∠APB的平分线与y轴垂直， 所以kPA＋kPB＝0， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即x1＋x2＋4＝0，又x1＋x2＝4k， 所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(2024·河南许昌模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于 A．3 B．4 过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN， 如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN ＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM 为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线 方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.故选B． √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．[多选题](2024·河北秦皇岛模拟)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，过F的直线与C分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 A．y1y2为定值 B．∠AOB可能为直角 C．以BF为直径的圆与y轴有两个交点 D．对于确定的直线AB，在C的准线上存在三个不同的点P，使得△ABP为直角三角形 √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设lAB：x＝ty＋1，与y2＝4x联立可得y2－4ty－4＝0，y1y2＝－4，故A正确； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．(2023·天津卷)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为___． 易知圆(x＋2)2＋y2＝3和曲线y2＝2px都关于x轴对称，不妨设切线方程 6 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝________. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 15．[多选题](2024·湖南岳阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F， √ √ 对于A，将点 代入抛物线方程，可得p＝2，故A错误；对于B，焦点F(0,1)，当AB⊥y轴时，令y＝1，得x＝±2，所以|AB|＝4，故B正确；对于C，设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 16．(2024·江苏无锡模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，则 的值是_____． 如图所示，作BE⊥l于E，AD⊥l于D，设|AF|＝a，|BF| ＝b，由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，在梯形 ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，因为AF⊥AB， ∠ABF＝30°，所以b＝2a，则|MN|＝ ，又|AB|＝ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 F (，0) F (－，0) F (0，) F (0，－) y＝－ y＝ x0＋ －x0＋ y0＋ －y0＋ x＝－ x＝ (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝. (3)＋＝. A． B． C． D．0 M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，所以y＝.故选B． ＝－，则点P的坐标为. 为＝. 2．注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋. 由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－，根据抛物线的定义，可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，可得2＋＝，解得m＝.故选D． C． D． 因为F(－1,0)，所以(d1＋d2)min＝＝.故选B． A． B． C．2 D． 由最小值为41，得＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22. 则2p＝，2p1＝. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，将点P的横坐标代入抛物线得y2＝16p，可得y＝±4，不妨令P(8,4)，则S△OFP＝××4＝p＝2，解得p＝2，则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.故选B． A．y2＝x 　　 B．y2＝9x C．y2＝x 　　 D．y2＝3x ＝3＋3a，所以3＋3a＝6，解得a＝1，因为BD∥FG，所以＝，即＝，所以p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x.故选D． 抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B． 对于B选项，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 消去y并化简得3x2－10x ＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所 以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，B选项错误； 对于C选项，设MN的中点为A， M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为 d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，即A到直线l 的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直 线l相切，C选项正确；对于D选项，直线y＝－(x －1)，所以y1＝－×(3－1)＝－2，y2＝－× ＝，所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，又|MN|＝，所以△OMN不是等腰三角形，D选项错误．故选AC． ＝ AE， 所以F为AD的中点，则＝，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．故选ABC． 一点，FM的延长线交y轴于点N，若3＝2，则|FN|＝________. ∥MB∥NC，＝，由3＝2，得＝，又|CN|＝4，|OF|＝4，所以＝，|BM|＝，|MF|＝|BM|＝，又＝，所以|FN|＝16. 由题可知，抛物线的准线方程为y＝－，可得1＋＝2，解得p＝2，所 线y＝x－1过焦点．联立方程消去y得x2－6x＋1＝0， ＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－4，由·＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；原点到直线y＝x－1的距离为d＝＝，所以△AOB的面积为S＝×d×|AB|＝××8＝2，故C正确；因为线段AB的中点到直线x＝0的距离为＝＝3，故D错误．故选AC． 则抛物线方程为y2＝8x，故B错误；焦点F(2,0)，则y＝8x1，y＝8x2，若M(m,2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，所以y－y＝8x1－8x2， 即＝＝＝2，所以直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由可得x2－6x＋4＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．故选ACD． 2 解：抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，焦点为F． 所以y0＝＝1，M点的坐标为(－2,1)． 由得x2－4kx－4＝0. ＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1)． 因为MA⊥MB，所以·＝0， (－1，) 所以|AB|＝|x1－x2| ＝＝4. 所以kPA＋kPB＝＋＝0， 即＋＝0， C． D． 因为x1x2＝＝1，所以kOA·kOB＝≠－1，所以∠AOB≠，故B错误；设BF的中点M，＝，则以BF为直径的圆与y轴相切，故C错误；设AB的中点N，N到C的准线的距离为＋1，因为＝＋1，故有以AB为直径的圆与C的准线相切，对于确定的直线AB，当∠P为直角时，P为切点；当∠A或∠B为直角时，P为过A(或B)的AB的垂线与准线的交点，故D正确．故选AD． 为y＝kx，k>0，所以＝，解得k＝，由解得或所以|OP|＝＝＝8，解得p＝6.当k＝－时，同理可得． 2 由抛物线方程知＝1，所以F(1,0)，易知A，B与C，D 均关于x轴对称，不妨设点A在第一象限，如图所示， 由|AB|＝8，y2＝4x得A(4,4)，所以圆的半径r＝ ＝5，所以|DE|＝2＝2＝2. 过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上，则 A．p＝1 B．当AB⊥y轴时，|AB|＝4 C．＋为定值1 D．若＝2，则直线AB的斜率为± 联立方程消去y并整理得x2－4kx－4＝0，可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，y1y2＝＝1，|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，有＋＝＋＝＝＝1，故C正确；对于D，由题意得(－x1,1－y1)＝2(x2，y2－1)，可得2x2＝－x1， 由得解得k＝±，故D正确．故选BCD． ＝a，故＝＝. $$